向量法求二面角中法向量方向的控制

董培曉

向量法求二面角大小原理簡單，容易被學生理解并采用，但是教材上沒有講清楚平面法向量夾角大小和二面角平面角的大小之間是相等還是互補，實際解決問題時往往是對二面角大小進行“預判”之后，再進行計算，這種憑著經驗的做法難免會有差錯，下面我們通過控制法向量的方向，使所求得的法向量夾角大小即為二面角平面角的大小.

一、向量法求二面角的原理

如圖1所示，P是二面角棱上任意一點，過P作PA和PB分別垂直棱l，則∠APB即為二面角的平面角，法向量n1和n2的夾角大小等于二面角平面角的補角，如圖2所示法向量n1和n2的夾角大小等于二面角平角的大小.

圖1圖2

顯然，我們在用賦值法求法向量時，希望出現圖2中的兩個法向量，這樣就可以排除互補情形，下面我們來探討賦值法求法向量時方向的控制問題.

二、法向量的方向控制

圖3如圖3，空間被二面角分為兩部分，分別記為內和外，把形如n1和n2的記為內法向量，把形如n3和n4記為外法向量.為了實現圖2中法向量夾角大小等于二面角平面角大小，對于二面角的兩個半平面來說，一個內法向量，一個外法向量的夾角即為二面角的平面角.

在空間直角坐標系中，設n1=（x1，y1，z1）和n3=（x3，y3，z3），因為n1和n3方向相反，則λ<0，有n1=（x1，y1，z1）=λn3=λ（x3，y3，z3），即x1=λx3，

y1=λy3，

z1=λz3.

∵λ<0，∴x，y，z值異號.∴當n1和n3方向相反時，其在三個坐標軸正方向上的分向量方向也都是相反的，所以可以通過控制其中一個分向量方向，來控制法向量的方向.

圖4例如，如圖4，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為棱中點，求二面角P-BC-A的余弦值.

分析：若取n=（0，0，1）為面AC的一個內法向量，則需平面PBC的一個外法向量n1，容易觀察n1在z軸正方向上的分向量為正，在賦值時可首先令z為一個正值，再解出x，y；若取n=（0，0，-1）為平面AC的一個外法向量，則需平面PBC的一個內法向量n2，易觀察n2在z軸正方向的分向量是負，在賦值時可首先令z為負值，再解出x，y值.

三、實例應用

圖5例如，（2016年浙江）如圖5，在三棱臺ABC-DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，求二面角B-AD-F的余弦值.

解：延長AD，BE，CF相交于一點Κ，則△ΒCΚ為等邊三角形.取ΒC的中點Ο，則ΚΟ⊥ΒC，又平面ΒCFΕ⊥平面ΑΒC，所以，ΚΟ⊥平面ΑΒC.以點Ο為原點，分別以射線ΟΒ，ΟΚ的方向為x，z的正方向，建立空間直角坐標系Οxyz.則Β（1，0，0），C（-1，0，0），Κ（0，0，3），?。?1，-3，0），因此，ΑC=（0，3，0），ΑΚ=（1，3，3），ΑΒ=（2，3，0）.設n1=（x1，y1，z1）是平面ΑCΚ的一個法向量，n2=（x2，y2，z2）是平面ΑΒΚ的一個法向量，由ΑC·n1=0，

ΑΚ·n1=0， 得3y1=0，

x1+3y1+3z1=0， 令x1=3，則z1=-1，∴n1=（3，0，-1）；由ΑΒ·n2=0，

ΑΚ·n2=0， 得2x2+3y2=0，

x2+3y2+3z2=0， 令x2=3，代入解得y2=-2，z2=3，∴n2=（3，-2，3）cos〈n1，n2〉=n1·n2|n1|·|n2|=34.所以，二面角Β-ΑD-F的平面角的余弦值為34.

控制法向量方向時，在其三個分向量中，哪一個方向易觀察就先賦值，再代入方程解另外兩個，本例中首先給x賦值就是這個道理.