四版本高中數學教材“統計與概率”內容比較研究

摘 要：以教材中“統計與概率”內容為研究對象，對中國大陸、日本、中國臺灣三個地區四個版本高中數學教材進行比較研究。通過研究，得到以下結論：（1）在知識點數量上，臺灣教材是最多的，其次是人教A版，原人教版教材知識點最少。（2）除臺灣教材外，另三種教材都是概率的內容多于統計內容。（3）從四種教材對知識點的處理看，中國教材更追求定義的嚴格性，日本教材比較注重數學科學內部知識的聯系，強調數學是一個整體。

關鍵詞：數學教材；統計與概率；比較研究

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2017）35-0018-05

一、引言

統計與概率的基礎知識已經逐漸成為一個未來公民的必備常識。從我國數學教育改革的趨勢來看，對“統計與概率”的重視逐步加強。1996年大綱的選修部分首次引入；2000年，以古典概率概念為考點，統計學正式進入我國高考數學試題考察范圍； 2004年新課程改革進一步強調了對中學概率統計知識的重視；直到今年提出的六大數學學科素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析，將統計意識推向新高度。

從國際數學教育改革的趨勢來看，“統計與概率”在各國中小學數學教學內容中占據的地位同樣越來越重要。以《美國州際核心數學課程標準》（2010）為例，其高中數學部分包括的“統計與概率”內容有：解釋分類數據和量化數據；做出統計推斷，說明結論的合理性；條件概率和概率的計算法則；用概率做決策。再如國際上著名的TIMSS測試、PISA測試，它們的內容測試框架中都包含了“統計與概率”的內容。如PISA（2015）測試中的第二部分——數學內容知識，包含了變化與關系、空間與圖形、數量、不確定性和數據。依據國際國內對數據分析技術依賴程度與日俱增的學科現象，筆者預見“統計與概率”知識在基礎教育中的受重視程度還會繼續增加。

近年來，中小學數學教材的比較研究已成為數學教育研究的一個熱點。然而多數研究都集中在代數、幾何、三角、向量和微積分等方面，針對“統計與概率”部分的研究成果相對少得多。而“統計與概率”作為我國新課程改革中變化較大的內容之一，同時其思維方式又和傳統的代數、幾何等內容有所不同，是數學教育研究中需要給予更多關注的一個知識領域。因此，本研究以中國大陸、日本、中國臺灣三個地區四種教材版本（原人教版、人教A版、日本數研版和臺灣南一版）的“統計與概率”知識體系作為研究對象，希望能為教材編寫、教師備課提供一些參考。

二、研究對象及內容

為了從時間和空間縱橫兩方面動態展示我國大陸地區數學教材的特點，筆者確定了表1中所列的四種教材。

表1 教材樣本及基本信息

（一）四種教材統計概率部分知識廣度的比較

筆者整理四種教材關于“統計與概率”知識體系構成如表2（“+”表示有此知識點，“—”表示無此知識點）。（見附表）

就高中數學而言，概率論知識有：概率及其基本性質、隨機變量及其分布，隨機變量的數字特征、條件概率和一些常見的概率分布等。統計知識分為收集數據和分析數據兩方面，前者是抽樣調查，包括隨機抽樣方法等內容；后者是統計推斷，包括估計、假設檢驗、相關分析、回歸分析等。

從表2可以看出，粗略整理四版教材共涵蓋46個知識點。從知識點數量上看，中國臺灣高中數學教材包含的知識點數量最多，達38個；其次是人教A版教材，有33個，然后是日本高中數學教材，涉及的知識點數量為31個，最少的是原人教版，僅有25個知識點。此外，筆者計算各教材關于統計與概率兩部分各自所占的比重如圖1的所示：

圖1 四種教材中知識點“概率”和“統計”各占的比重

從四種教材中統計、概率各自的知識點數量來看，人教A版中統計、概率知識點數量分別為19、14；原人教版中統計、概率知識點數量分別為12、13；日本教材中統計、概率知識點數量分別為18、13；臺灣教材中統計、概率知識點數量分別為19、19。除臺灣教材外，其余三種教材的傾向是一致的，就知識條目而言重視概率超過統計，臺灣教材統計和概率各占一半。由圖1可知，日本教材中統計和概率的知識點各自所占比例分別為41.94%、58.06%，相比中國教材，日本教材更重視概率。比較中國大陸的兩種教材知識覆蓋角度上可以發現，統計部分雖然在知識點的數量上有所增加，所占比例卻減少了。當然，這不完全代表教學實踐的力度。

為進一步比較四種教材的不同之處，我們統計了四種教材具體知識點的差異，詳見表3。

依據表3可以發現日本教材和臺灣教材在內容上是比較接近的。大陸教材中有些獨有內容，如系統抽樣、幾何概型、超幾何分布、假設檢驗等，其他兩種教材都沒有涉及；而日本教材和臺灣教材都包括的如標準正態分布、連續性隨機變量的概率密度函數、隨機變量的和與積、樣本空間等內容則大陸教材未涉及。

表3 四種教材知識點異同的總結

說明：表中的“T→ZA”表示臺灣教材有，而人教A版教材沒有的知識點，其它類似。

A版和原人教版教材相比，首先在知識點數量上有所增加。進一步，從知識體系的建立過程比較，原人教版在“統計與概率”部分知識的順序是“概率→概率→統計”，人教A版的順序是“統計→概率→概率→統計”——這是兩個版本教材非常顯著的一個變化，筆者分析認為這是教材和課堂教學隨著“生本”理念推行所做的改進——統計學知識內容更貼近學生的生活實際，更有助于教學過程的導入和輸出——既利于學生接受教材，又便于促進學生從書本回歸實際應用。

（二）四種教材在知識點細節處理上的比較

從教材的具體內容來看，大陸教材對有些知識僅僅列出名稱簡單加以介紹而已。如“二項分布”，A版教材用了3頁來介紹，和原人教版相比，內容豐富了一些；臺灣教材則用了整整一節詳細討論，并利用Excel來對二項分布的性質做了非常細致的討論；日本教材討論的內容和中國教材基本一致，只不過在正態分布一節討論了二項分布與正態分布的關系。大陸的兩種教材對一些重要卻比較難的內容都沒有介紹，如大數定律、中心極限定理、貝葉斯公式。

從內容表述看，日本教材比較注重數學科學內部知識的聯系，更強調數學知識是一個整體，這和其課程目標中提到的“通過數學活動，加深對數學基本概念、原理、法則體系的理解”是一致的。下面以“隨機抽樣”和“數據分析”兩種分內容為例具體討論。

1.隨機抽樣

在“隨機抽樣”這一內容的處理上，四種教材有著較大的差異

首先，人教A版教材中，隨機抽樣的內容是放在必修部分的，而在中國臺灣教材、原人教版和日本教材中，這一部分內容是放在選修教材中的。

其次，從四種教材介紹的內容看。中國的兩種教材都分別介紹了三種隨機抽樣方法：簡單隨機抽樣、系統隨機抽樣、分層隨機抽樣。中國臺灣教材在介紹總體和樣本后，介紹了非概率抽樣法、簡單隨機抽樣和分層隨機抽樣。日本教材對此部分涉及的內容最少，在介紹總體和樣本的定義后，只通過一個實例介紹了隨機數表法。

最后，從四種教材的處理方式來看，大陸教材對隨機抽樣這一內容非常重視，A版教材和原人教版都專門用了一節內容來詳細討論了三種隨機抽樣方法。對于每一種抽樣方法都給出了比較嚴格的定義，并給出實例。相比而言，原人教版更追求概念的嚴格性，比如在介紹系統抽樣時，A版教材是通過實例來說明什么樣的抽樣方法是系統抽樣。原人教版則給出了較明確的定義：“將總體分為幾個部分，然后按照預先給定的規則，從每一部分抽取一個個體，得到所需的樣本，這種抽樣方法叫系統抽樣”。再通過例子來介紹系統抽樣的操作過程，然后指出了系統抽樣和簡單隨機抽樣的聯系。在介紹完分層抽樣后，兩種大陸教材之間同樣存在一些變動——人教A版是讓學生通過探究的形式，比較3種隨機抽樣方法的特點及適用范圍，而原人教版則是直接列表總結了三種抽樣方法的各自的特點、共同點及適用范圍。但兩種教材都沒有進一步介紹對樣本統計量分布的處理，如樣本均值的分布。

日本教材在簡單的介紹隨機數表抽樣法后，還討論了樣本均值的分布。臺灣教材樣本處理細致程度介于二者之間，先介紹非概率抽樣方法，以此引入概率抽樣法（簡單隨機抽樣，分層隨機抽樣），然后通過實例討論了簡單隨機抽樣法和分層抽樣法的特點，最后還介紹了隨機數表。

2.數據分析

統計學主要包括兩部分，收集數據和分析數據。在得到數據后，就要對數據進行處理。樣本數據可進行單變量（描述性統計量）與多變量分析（相關性分析）。

首先，從四種教材涉及的內容看，臺灣教材的內容是最多的，主要有：算術平均數、中位數、眾數、極差、方差、標準差、數據的標準化；散點圖、相關系數、最小二乘法、回歸直線。日本教材主要內容有：平均數、中位數、眾數、極差、方差、標準差、四分位數和箱線圖；散點圖、相關關系、相關系數。A版教材主要有：直方圖、平均數、中位數、眾數、極差、方差、標準差；散點圖、線性相關、最小二乘法、回歸直線。就這一部分而言，從內容上看臺灣教材和大陸教材是比較接近的，只是內容比大陸教材更為深入一些。

其次，從四種教材對內容的處理方式來看， A版教材用了2節分別來介紹這兩部分內容。首先介紹了利用樣本的頻率分布估計總體分布和用樣本的數字特征（平均數、眾數、方差等）估計總體的數字特征，并未引入極限定理、置信區間等內容來說明怎樣對“樣本估計總體”的可接受性作出判斷。教材也僅從感性經驗說，“可以用樣本平均數和標準差去估計總體的平均數和標準差，只要樣本的代表性好，這樣做就是合理的，也是可以接受的。”但這個“好”的標準是什么，怎樣去刻畫？教材則沒有提及。接著另用一節內容討論了“兩個變量的線性相關”。原人教版涉及的內容最少，先介紹了“用樣本頻率去估計總體分布”，然后介紹了線性回歸分析的內容。

日本教材、中國臺灣教材都專門用了一章來討論，日本教材用了21頁，臺灣教材則用了44頁。日本教材先介紹了一些描述性統計量，如均值、眾數、中位數、極差、方差等，然后討論了兩變量之間的相關關系，最后介紹了用Excel來計算這些描述性統計量和相關系數。臺灣教材的處理與此接近，在介紹了單變量數據分析的描述性統計量后，討論了雙變量數據分析，利用最小二乘法計算回歸直線，最后和日本教材一樣介紹了利用Excel計算一些描述性統計量。

三、結論與建議

（一）結論

通過對原人教版、人教A版、日本數研版和臺灣南一版高中數學教材中“統計與概率”的比較研究，得出了以下結論：

1.在知識點數量上，臺灣教材是最多的，其次是人教A版，原人教版教材知識點是最少的。人教A版較原人教版而言，從內容到形式都有所改進。從教材選擇的內容看，臺灣教材涉及的統計概率知識面也是最廣的，其次是日本教材。

2.除臺灣教材外，另三種教材都是概率的內容多于統計內容。從教材呈現的內容來看，日本教材和臺灣教材比較接近。人教A版較原人教版而言，統計概率的知識點數量都有所增加，但統計知識點數量增加的幅度比概率部分小。

3.從四種教材對知識點的具體處理來看，大陸教材對有些知識點僅列出名稱簡單的介紹，如正態分布、二項分布；對知識點的處理上，大陸教材更追求定義的嚴格性，日本教材則比較注重數學科學內部知識的聯系，強調數學是一個整體。

（二）建議

1.知識點的安排應當注意知識體系的連續性和整體性

統計概率的內容不是孤立存在的，數學的各個分支是一個不可分割的有機整體，使用著相同的邏輯工具，存在的概念間的親緣關系。弗賴登塔爾也多次強調，不要教孤立的片斷，要教連貫的材料，因為有聯系的事物學得快，記得牢。然而在我國目前的實際教學和教材編寫過程中常將數學按學科分支領域或模塊劃分，將統計概率作為獨立的內容。

2.加強與現實生活的聯系

我國“統計與概率”非常注重對統計過程的體驗和統計思想方法的理解，相對忽視了“統計與概率”思想在現實生活中的應用，教材中仍然存在應試教育體制遺留的種種缺陷。數學來源于現實，存在于現實，并應用于現實。現實的數學除了不同學科之間的聯系外，還要考慮與現實世界的聯系。“統計與概率”作為數學中應用性較強的內容，更應該聯系“生本”的實際生活來促進學生的學習，加強學生的應用意識，這樣學生才有可能利用所學知識去分析和解決實際問題。

3.引入數字化應用程序

如前面提及的，日本教材和臺灣教材都專門用了相關材料來介紹怎樣利用統計軟件計算一些描述性統計量，如均值、眾數、中位數、極差、方差以及回歸直線、相關系數等的計算。在中國教材中，除了介紹利用科學計算器計算一些描述性統計量和在“變量間的相關關系”一節中簡單介紹了利用Excel來計算回歸直線外，對于計算機其它更重要的作用沒有涉及。

實際上，在“統計與概率”的教學過程中，計算機的使用是很有益的，除了作為計算工具，更重要的是利用計算機進行模擬實驗，可以幫助學生將概念可視化、可操作化，通過計算機模擬來發展學生對抽象概念的理解。以蒲豐投針為例，這樣的實驗完全可以通過計算機模擬來實現，而不是讓學生分組試驗，把大量的時間花在觀測重復的投針活動中。

【責任編輯 馮夢陽】