概念教學的課程體系和課堂實踐

摘 要：概念教學的主要內(nèi)容可以歸納為，素材的引入、概念的形成、數(shù)學思想的滲透、數(shù)學的符號表達等部分。數(shù)學概念幫助學生理解數(shù)學命題、方法和體系，把握數(shù)學本質(zhì)。教師授課過程中，要善于給出令學生想解決卻用舊知識難以解決的特殊問題，并采取逐步追問的方式，刺激學生繼續(xù)進行深入思考，進而運用于生活實踐。

關鍵詞：數(shù)學抽象；概念教學；課堂模式

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2017）35-0048-03

數(shù)學概念反映數(shù)學對象的本質(zhì)，是形成數(shù)學思維和指導數(shù)學運算的基礎。數(shù)學概念文字簡約，內(nèi)涵和外延嚴格確定，具有嚴謹性、抽象性、邏輯性和符號化等特征。

數(shù)學概念在學生頭腦中建立的順序，體現(xiàn)了數(shù)學學科系統(tǒng)內(nèi)在的宏觀邏輯關系——已知定義未知，逐層拓寬個人知識范疇和人類學術(shù)領域。對于數(shù)學概念的教學，教師要遵循學生現(xiàn)有的邏輯體系，從學生已有的認知出發(fā)，分析新知識在生本環(huán)境中建立的基礎。因此，教學內(nèi)容和過程的設計，直接影響學生的學習效率，不能搞“一個定義、三項注意”。概念教學的主要內(nèi)容可以歸納為，素材的引入、概念的形成、數(shù)學思想的滲透、數(shù)學的符號表達等部分。例如，單調(diào)性概念的建立，需要從學生對函數(shù)概念的理解出發(fā)。教師需要通過具體的、大量的、有代表性的具體實例讓學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，體會函數(shù)單調(diào)性概念是用來刻畫函數(shù)在其定義域某區(qū)間上的變化趨勢。在學生對單調(diào)性有了基本感性認識基礎上，進一步體會“解析法”在刻畫函數(shù)單調(diào)性方面的價值，在頭腦中形成對函數(shù)單調(diào)性這一概念的清晰印象并用數(shù)學語言記憶和表達，最終在處理實際問題時投入使用。

一、教學體系主要構(gòu)成

（一）概念引入

概念的引入立足于學情基礎，圍繞導學素材逐步促進學生形成對新概念本質(zhì)的認識與思辨，從而自主建立新知識與其已有知識之間的聯(lián)系。首先，教師要尊重學生現(xiàn)有的生活經(jīng)驗與數(shù)學學習經(jīng)驗，引導學生在觀察與思考中自然建立數(shù)學概念。學習活動必然基于學習者的觀察與直觀感受才能使大腦進行有價值的分析活動，因此教師在課程活動中的切勿令學生倉促記憶并盲目投身題海。此外，就數(shù)學學科所指的“直觀”除了具體生活實例，更側(cè)重“幾何直觀”——數(shù)形結(jié)合思想，重視讓學生在實踐中主動觀察，形成“萬物皆數(shù)”的直觀感受。這個過程兼具指向性和開放性，要因材施教、因勢利導。

以任意角概念的教學為例。此知識點建立在初中課程的基礎上，隨著學生學習的深入和生活經(jīng)驗的積累，教師要篩選導學素材從而指出“擴充角的范圍”的必要性——可以從數(shù)學知識的發(fā)展要求引入，也可以從生產(chǎn)、生活實際的現(xiàn)實問題引入——使學生在客觀實例中觀察圓周運動的位置規(guī)律，理解三角函數(shù)是用來精確刻畫“角度的周期性變化規(guī)律”的數(shù)學模型——把有限的一次圓周運動拓展到無限次。讓學生始終明確三角函數(shù)的實際意義，消除其“為什么而學”的困惑，更有效地在教學過程中感悟這一概念的內(nèi)涵與外延，最終學以致用——讓三角函數(shù)模型成為解決數(shù)學和其他學科實際問題時的工具。

（二）數(shù)學抽象

導學素材無論取自現(xiàn)實生活還是學生已經(jīng)掌握的數(shù)學經(jīng)驗，教師在教學過程中要注意引導學生關注其中的數(shù)學特征，使這些材料數(shù)學化，促進學生形成數(shù)學抽象。概念建立的思維過程是一個從特殊到一般、從具體到抽象、從感性到理性的過程。教師要引導學生進行有目的的思考，并讓學生在實際問題中體會概念的價值。實踐證明學生對新知識的掌握過程是“螺旋式上升”的——從具體實例到主觀抽象，然后還原到客觀生活并在未來繼續(xù)發(fā)現(xiàn)和探索，在千錘百煉的過程中使得自身的核心素養(yǎng)得以發(fā)展。

例如，運用解析法分析橢圓，實際上就是將一個幾何問題代數(shù)化過程——通過建立表達式揭露曲線幾何特征與代數(shù)形式的“雙向”關系——深刻認識橢圓概念的真實含義不僅是幾個例子或頭腦中的粗淺印象——該圖形包含很多學生前所未見的特殊屬性。而學生為了透徹理解這個幾何圖形需要借助代數(shù)工具來研究，通過化形為數(shù)實現(xiàn)從將紛繁的表象還原到簡潔的代數(shù)式進行解析。這就是該概念教學過程的中心環(huán)節(jié)，使得學生的“數(shù)學抽象”這個學科素養(yǎng)在此課程中的實現(xiàn)發(fā)展。

（三）數(shù)學思想方法

教學過程要著重明確概念的內(nèi)涵與外延。數(shù)學概念內(nèi)涵價值在于其中蘊含著的數(shù)學思想，這才是數(shù)學學科素養(yǎng)綜合發(fā)展的核心內(nèi)容。基于對數(shù)學思想的把握，才能令學生“做一道題會一類題”，使學生處理數(shù)學問題時達到觸類旁通的境界。數(shù)學思想是學生在不斷經(jīng)歷“辨析案例、回歸定義、認識本質(zhì)”的過程后達到的學科宏觀高度，絕非熟練掌握幾個難題套路就能成就的。

（四）數(shù)學符號化

數(shù)學抽象素養(yǎng)是指舍去外在物理屬性，得到數(shù)學研究對象的思維過程。符號化的思維隨之貫穿在數(shù)學學科的產(chǎn)生、發(fā)展、應用的過程中，使學人能更好地理解數(shù)學概念、命題、方法和體系，把握事物的數(shù)學本質(zhì)，最終主動運用數(shù)學思維解決其他學科在生產(chǎn)生活實踐中遇到的問題。數(shù)學符號是表述數(shù)學概念的基本元素。數(shù)學符號簡化了數(shù)學思維的表述過程，從而實現(xiàn)高度抽象。教學過程中，教師要強調(diào)數(shù)學符號的抽象性和科學性——數(shù)學術(shù)語與描述性語言在具體數(shù)學問題上可以實現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化——用數(shù)學符號使語義表述更為簡潔和精確，使實際問題處理更加高效，絕不會演變成象征性的、寫意的、含義不確定的結(jié)論。

二、授課活動的主要模式

（一）自主

學生已經(jīng)了解的內(nèi)容是其思維的出發(fā)點，也就是其學習新知的基礎。導學的意義不止是復習舊知和炒熱氣氛，關鍵是抓住學生新舊知識的節(jié)點，給出一個令學生想解決卻用舊知識難以解決的特殊問題，進而引發(fā)學生的認知沖突，激發(fā)其學習欲望。從特殊到一般，逐步擴大學生的見識。這個學習過程不追求認知建立的一步到位，重點是“因材施教”——要根據(jù)學生的認識水平提出恰如其分的挑戰(zhàn)性。教師要把課堂主體地位讓給學生，始終做到“學生沖在前面、教師斷后”，給予學生發(fā)展空間，讓學生獨立思考。

（二）合作

學生可能犯錯，會因為不能擺脫原有的認知水平而產(chǎn)生自相矛盾或者違背客觀的結(jié)論。而且學生群體中的錯誤可能五花八門，往往只有極少數(shù)情況下達成“所見略同”。但思維偏差是有分析價值的，教師在課堂上要組織多邊的、多樣的、合理有效的師生交流和生生交流，放手讓學生體會和表達，促進在切磋中迸發(fā)思維的火花。學生提出的見解不到位時，教師作為主導可以采取逐步追問的方式，刺激學生繼續(xù)進行深入思考。

（三）探究

概念探究的環(huán)節(jié)是檢驗效果的課堂核心過程，要重點關注“課堂生成”，調(diào)節(jié)學生理論構(gòu)建與實踐運用的平衡發(fā)展——教師要引導學生在分析問題的過程中回歸概念，也要指導學生理論學習的過程中強化實踐。一堂好課應該讓學生經(jīng)歷“問題形成和解決”的完整體驗，教師要讓學生有值得思考的問題，進而看破問題，最終放下問題——看破問題是“探索”，放下問題方才“究竟”——在觀察、分析、操作、交流的“探究”過程中，問題的價值已經(jīng)得以充分利用，學生的核心素養(yǎng)已經(jīng)得到充分發(fā)展，一課之后師生都可以繼續(xù)坦然前行。

【責任編輯 馮夢陽】