通過一道題談課堂內容教學的有效性

王輝

課堂的上課方式有很多形式，如多媒體輔助、自主探究。如今流行的與提倡的微課堂等等形式。但本人認為除以上課堂教學的方式方法外，對所講內容的處理方式也是同樣重要的。以2016年某市高三質檢第十二題為例，提出自己的一些看法。

原題：（12） 已知x>0，y>0，且4x+1x+y+9y=26，則函數F（x，y）=4x+y的最大值與最小值的差為

（A）24 （B）25 （C）26 （D）27

課前與學生交流，絕大多數學生對此題無從下手，個別學生竊喜蒙對了。那么此題對學生就沒有一點利用價值嗎？本人想通過以下途徑使得本題具有實際的意義。

首先、要精心備課。雖然本題是一道難題，但學生不可能都放棄，那么在考試過程中就有很多解題的想法，也有思維的鍛煉。學生在進行了大量思考而沒有解決問題，在心理上會有一定的影響，這時候應與學生交流，在心理上也要有輔導，同時對學生的想法也要善于利用。

閱卷后對該題的基本情況作好統計與分析：如本題市平均分0.9466；標準差1.9588；區分度0.1652；難度0.1893等。數據表現出來的實際問題可對學生解釋（與統計學相聯系）。另外，需要準備教學資料，這樣可以很快的找出相關的練習。

其次、注重學生的想法參與。在評講此題時，可以提問學生："讀題后，有什么樣的解題想法和念頭，或者從感性上認識到什么，聯想到什么相關的知識點？"這樣，大多數知識性的，運算馬虎粗心所導致的錯誤學生自己可以解決掉。教師那種面面俱到，一人講評的低效教學狀態也得以改變，而且能夠調動學生的學習主體性，培養學生自我糾正能力。

如：在講本題時學生聯系想到4x+1x，y+9y，x>0，y>0，可以產生定值，得到最小值，這樣與基本不等式有關；令z=4x+y寫成學生習慣的式子，即聯系到是否線性規劃題型有關呢？；是否可以轉化為關于某個自變量的函數有關，求函數的最值呢？等等這些都是在與學生互動時，學生在考試或上課時的想法。五花八門的想法是解題的源泉，但真正與題相關的還要提練。

那么對于題本人提出，若對要求與已知對照會發現，原式可以變形成4x+y+1x+9y=26，分成兩個部分。于是聯想到題型：已知x>0，y>0，x+y=1求1x+1y的最小值（學生對此類題相對較熟悉），可求出某種范圍。則有（4x+y）（1x+9y）=4+36xy+yx+9≥25（等號可取或利用柯西不等式）對求最值有幫助。

又利用函數與方程，整體化歸思想，可得（1x+9y）=26-（4x+y）

即：（4x+y）[26-（4x+y）]=（4x+y）（1x+9y）≥25

解得：1≤（4x+y）≤25所以最大值與最小值的差的絕對值為24。

本題主要講清為什么突然提出（4x+y）（1x+9y） ，理清如何聯想到此式并得到解，怎么樣才能更好的利用學生想法，最后得出結論。

3.難點的點撥，教師重點講解"為什么"

對學生所提問題的分析，要從原因入手，從概念、規律認識、理解的深刻性、全面性方面。從解題方法、技巧的靈活性方面，從解題過程的規范性方面，從題干情景和設問的變化性等方面進行重點分析、舉一反三。

4.變式拓展，對于本題考查基本不等式應用，函數方程、整體化歸思想

可以投放一些題補償訓練，以強化對問題的進一步理解。訓練題的選擇可以是變式處理，或相類似一起講解，增強適應能力和遷移能力。

如：（1）可以把本卷的解答題（17）提前講解在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c。若sin（A-B）+sinC=2sinA。（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若b=2，求a2+c2的最大值，并求取得最大值時角A，C的值。

（2）已知a>0，b>0，a+b+ab=8，求a+b，ab的取值范圍。

解析：本題同樣考查基本不等式的應用，當求a+b時，應用ab≤（a+b2）2，即有

8=a+b+ab≤a+b+a+b22，令t=a+b>0，解得t≥4，當a=b取等號，即a+b≥4。

又a+b≥2ab，即有8=a+b+ab≥2ab+ab，令t=ab>0，解得0

（3）已知兩正數x，y滿足x+y=1，則z=（x+1x）（y+1y）的最小值為________。

解一：因為對a>0，恒有a+1a≥2，從而z=（x+1x）（y+1y）≥4，所以z的最小值是4。

解二：z=2+x2y2-2xyxy=（2xy+xy）-2≥22xy·xy-2=2（2-1），所以z的最小值是2（2-1）。

【錯因分析】錯解一和錯解二的錯誤原因是等號成立的條件不具備，因此使用基本不等式一定要驗證等號成立的條件，只有等號成立時，所求出的最值才是正確的。

【正確解答】z=（x+1x）（y+1y）=xy+1xy+yx+xy=xy+1xy+.x+y.2-2xyxy=2xy+xy-2，令t=xy，則0

（4）（2011年浙江）設x，y為實數，若4x2+y2+xy=1=1，則2x+y的最大值是____。

解析：4x2+y2+xy=1，∴4x2+4xy+y2-3xy=1

∴（2x+y）2-1=3xy=32·2x·y≤32·（2x+y2）2

∵（2x+y）2-1≤38（2x+y）2 ∴（2x+y）2≤85

即-2105≤2x+y≤2105當且僅當2x=y時取等號，∴（2x+y）最大值=2510。

（5）已知x>0，y>0，且x+y=8，求3x+4y的最小值。解略以上盡管不是運用絕對相同的思路，但在基本不等式變形方面大致相同，這樣讓學生感到熟悉又新奇，對學生變形能力的薄弱之處進行了充分地針對性的訓練，滿足了學生在聽懂了教師的講解之后需要加強鞏固的心理需求。

進行變式拓展是試卷講評的重要環節。這一環節可以解決學生由聽懂到通過簡單的模仿學習再到操作性學習而真正掌握，也為學生的創造性學習提供了充分的機會。

5.最后指導學生建立錯題集，學生建立錯題集時應該把題目抄下來，自己重新做一遍

另外，錯題集需要不斷刪改，對于以前未掌握后來掌握的東西要及時刪除，提高復習效率。教師在指導學生建立錯題集的同時，對學生的錯題自己也建立相應的題集，并對錯題進行研究，那么對教師教學來說，這無疑是積累了一筆豐富的課程資源，對教師個體的專業化發展也起到一定的推動作用。

以上是本人對一道題講解的一些看法，沒有特別的課堂表現形式，只是對內容的一些深化理解，并引導學生如何理解這道題。總之，當過于注重課堂形式的現在，應留時間思考如何使學生思維得到鍛煉，數學思想方法在課堂中的滲透，如何利用數學邏輯思維解決問題等實質的話題。