關于“平行線分線段對應成比例”的證明

劉琴

摘要：平行線分線段對應成比例定理是推導三角形相似的性質和判定的預備定理。本文通過面積法將平行線分線段對應成比例的結論由直角三角形到一般三角形，進而再推廣到一般的情形。

關鍵詞：平行線；面積；成比例

中圖分類號：G648 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2017）02-0144-01

正文：人教版九年級下在講解平行線分線段對應成比例定理部分用的是度量法，此方法對于線段為整數時，容易測量出，但對于線段不為整數，特別是無理數時，不便測量，而且度量有時可能會有誤差。本文用面積法來證明其結論。

（一）預備知識：比例性質

已知ba=dc可得性質①b+aa=d+cc，性質②b-aa=d-cc，性質③b+da+c=ba=dc。

（二）命題1：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE∥BC，求證：ADAB=AEAC=DEBC。

證明：用面積法證明，連接DC，BE，如圖2.由DE∥BC，△BDE和△BCE等底等高因而SVBDE=SVDCE，則SVABE=SVADC。過點E作EF⊥AB于F。

由面積公式可得12·AB·EF=12·DE·AC，即EFDE=ACAB⑴

且SVADE=12·AD·EF=12·AE·DE，即EFDE=AEAD⑵

由⑴⑵可得ACAB=AEAD，即ACAE=ABAD，由比例性質②，可得AC-AEAE=AB-ADAD即ECAE=BDAD，也有ECAC=BDAB.過D點作DG⊥BC于G，四邊形DGCE為矩形，因而DE=GC，由于DG∥AC，由前面的證明可得GCBC=ADAB，因而有DEBC=ADAB，綜上可得ADAB=AEAC=DEBC。

（三）命題2：如圖3，在△ABD中，EF∥BD，交AB于E，交AD于F，求證：AEAB=AFAD=EFBD。

證明：過A點作AC⊥BD于點D，交EF于點G，如圖4，

由命題1可得，在Rt△ABC中，AEAB=EGBC=AGAC，在Rt△ACD中，AFAD=GFCD=AGAC，因而有AEAB=AFAD=EGBC=GFCD，對后面兩個式子運用比例性質③可得EGBC=GFCD=EG+GFBC+CD=EFBD，因而有AEAB=AFAD=EFBD。

（四）命題3：如圖5，任意兩條直線11，12，與另外三條平行直線13，14，15，求證：AEAB=GHGI。

證明：過A點做AD平行于GI交14于F，交15于D，如圖6.由于AG∥DI，AD∥GI，因而四邊形ADIG是平行四邊形，故AD=GI，同理可得在YAFHG中有AF=GH，由命題2可得，AEAB=AFAD，等量代換可得AEAB=GHGI。命題得證。

再由比例性質可得另外的兩個結論：AEBE=GHHI，BEAB=HIGI。

參考文獻：

[1] 謝賢忠.引導學生知其所以然 . 初中數學教與學，2015，3

[2] 謝裕宏.重視教材"探究活動"，專業自主增設課時. 中學數學，2015，4