有機滲透數形結合思想方法 切實提高初中生解題能力

陳立順

摘要：本文主要探究了如何有機地滲透數形結合思想，才能提高學生的解題能力。若有不之處，還望同仁批評指正。

關鍵詞：數形結合；初中生；解題能力

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）02-0093

新課標在課程目標設置上明確提出：通過義務教育階段的數學學習，學生能夠獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學基本知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗?？梢?，新課標把數學思想擺到了十分重要的位置。我們知道，作為從三大數學基本思想之一的“抽象思想”派生出來的數形結合思想方法在初中數學中有特殊的地位和作用，它是學生形成良好數學素養和解題能力的重要因素。因為“數”和“形”是數學中兩個最基本的概念。“數”是數量關系的體現，而“形”則是空間形式的體現。它們兩者既對立，又統一。我們在研究數量關系時，有時要借助于圖形直觀地研究，而在研究圖形時，又常常借助于線段或角的數量關系去探求。而數形結合思想方法，正是把問題的數量關系和空間形式結合起來考查的一種思想，即以數論形構形，由形思數解數。也就是斟酌問題的具體情形，把圖形性質的問題轉化為數量關系問題，或者把數量關系的問題轉化為圖形性質的問題，從而使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易。

那么，在初中數學教學中，怎樣有機地滲透數形結合思想才能大力提高學生的解題能力呢？

一、要科學制定數形結合思想方法在整個初中階段的滲透計劃

數學教材體系有兩條基本線索：一是顯性的數學知識線，二是陰性的數學思想方法線。在教學中，我們?？吹?，很多教師忽視數學思想方法線的設計與教學。數學思想方法教學絕不是一蹴而就的，它以滲透為主要特征，具有長期性和反復性。因此，教師對初中重要的數學思想方法包括數形結合思想方法在內要有詳盡的教學計劃。數形結合思想方法的滲透應貫穿在整個初中數學教學過程。從有理數到實數，從代數式、方程、不等式到函數，從平行線相交線、三角形、四邊形到圓，從數軸、坐標系到線性方程，從代數、幾何到三角，無一內容不體現數形結合的思想方法。針對這些內容，教師要制定詳細的滲透計劃并加以實施，在每一塊內容學習時都要不失時機地進行數形結合思想方法的滲透，并適時地開設數形結合思想方法專題課加以強化。讓學生時刻都感受到，數形結合思想方法不僅是推動數學本身發展的重要方法和巨大動力，更是解決數學問題的重要法寶?！半S風潛入夜，潤物細無聲”，只有這樣，數形結合思想方法才能植入學生的思想意識，甚至變成學生的潛意識。從而在以后的學習和工作中發揮巨大而持久的作用，解題當然就更不在話下了。

二、在知識的教學過程中不失時機地歸納提煉數形結合思想方法

數學思想方法的滲透有兩條基本途徑：其中一條就是要在知識的教學過程中不失時機地歸納提煉數學思想方法，數形結合思想方法的滲透也是如此。我們對“數形結合”中的“數”應有廣義的理解，它可以是一般意義上的數，如實數：可以是表示數的式，如代數式、方程、不等式；也可以是函數等變數。“形”當然是各種形式圖形表示。我們知道，數學中很多“數”和“形”的概念、性質、定理都是可以用數形結合思想方法來進行描述和研究的。教師在這些知識的教學過程中一定要不失時機地歸納提煉其中蘊含的數形結合思想方法。即在進行“數”的教學時，要以數論形構形，在“形”的教學時也要由形思數解數。如在實數的相反數、倒數、絕對值的教學中可以引進數軸，用數軸加深學生對這些知識的理解；在方程（組）及不等式（組）的解的教學中，可以引進相應函數的圖像，用函數的圖像加深學生的理解；一些圖形的位置關系及大小關系也可以用數、代數式、方程、不等式及函數等數的模型來刻畫等。這樣，不僅能使學生理解知識變得容易，而且理解得更為廣闊和深刻。久而久之，學生在遇到“數”或“形”的難題時，會自然地想到從“形”或“數”的領域去突破，從而提高學生解決問題的能力。如當學生習慣了看到代數式|x-1|就聯想到它的幾何意義時，面對下列問題：“求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值（x為實數）”。學生就不難找到解題思路了。

例1. 已知x為實數，求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值。

分析 由于x的任意性、無限性，逐個求值解題明顯困難，若按x<1、1≤x<2、2≤x<3、x≥3四種情況分段討論后求最小值也較繁。繁則思變，可聯想到絕對值的幾何意義：|x-1|表示數軸上實數x和1所對應的兩點之間的距離，于是求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值可轉化為在數軸上找出表示x的點P，使它到表示1，2，3各點的距離之和最小?，F退到更簡單的情形，如圖①，如果直線上有兩個點A1和A2，很明顯設在A1和A2之間的任何地方都行，因為甲和乙所走的距離之和等于A1到A2的距離。如圖②，如果直線上有3個點時，不難判斷，當點P在點A2處最合適。因為如果P放在A2處，則點P到A1、A2、A3的距離之和恰好為A1到A3的距離。而如果把P放在別處，例如D處，那么點P到A1、A3的距離之和仍是A1到A3的距離，但多了一段點A2到D的距離。因此，P放在A2處是最佳選擇。當x=2時，|x-1|+|x-2|+|x-3|的值最小。

解：當x=2時，原式的值最小。

最小值是：|2-1|+|2-2|+|2-3|=1+0+1=2

類似地，如果上述直線上有奇數點，P就放在中間的點的位置，如果有偶數點，P就放在中間兩個點之間（包括最中間兩個點）的任何一個位置，即當n為偶數時，P應設在第 臺和（ +1）臺之間的任何地方，當n為奇數時，P應設在第 臺的位置。

又如，在講勾股定理時，要使學生聯想到直角邊分別為a和b的直角三角形斜邊可表示為代數式 ，在講二次根式 時，又要使聯想到它可表示直角邊分別為a和b的直角三角形的斜邊。這樣，學生就可以自主解決下列問題了。

例2. 求出代數式 + （x為實數）的最小值。

分析：利用代數方法求代數式 + 的最小值很困難，可聯想勾股定理構造直角三角形來求。