基于質量檢測的初中學生數學建模發展狀況的調查研究

李 賀，張衛明

（1．江蘇省徐州高級中學，江蘇 徐州 221000；2．江蘇鹽城中學教育集團，江蘇 鹽城 224001）

基于質量檢測的初中學生數學建模發展狀況的調查研究

李 賀1，張衛明2

（1．江蘇省徐州高級中學，江蘇 徐州 221000；2．江蘇鹽城中學教育集團，江蘇 鹽城 224001）

數學建模是數學核心素養的基本成分．在2016年江蘇省中小學生學業質量監測測試中，對與數學建模相關的題目得分及水平分布作了統計和分析，結果表明：（1）江蘇省初二年級學生的6個數學核心素養的發展不平衡，與其它5個核心素養的發展相比較，數學建模優秀水平相對較高．（2）江蘇省初二年級學生的數學建模水平發展也不平衡，兩極分化現象比較突出．（3）江蘇省初二年級學生的數學建模水平表現依次是城區好于鎮區，鎮區好于鄉村；蘇中好于蘇南，蘇南好于蘇北；民辦學校明顯好于公辦學校；不存在性別上的顯著差異．

數學核心素養；數學建模；初中生；學業質量監測

1 問題提出

數學建模是高中課程標準修訂組專家提出 6個數學核心素養成分之一，具體描述為：數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學知識與方法構建模型解決問題的過程．主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、構建模型，求解結論，驗證結果并改進模型，最終解決實際問題．數學模型構建了數學與外部世界的橋梁，是數學應用的重要形式．數學建模是應用數學解決實際問題的基本手段，也是推動數學發展的動力．在數學建模核心素養的形成過程中，積累用數學解決實際問題的經驗．學生能夠運用數學知識求解模型，并嘗試基于現實背景驗證模型和完善模型；能夠提升應用能力，增強創新意識．

模型思想是修訂《義務教育課程數學標準（實驗稿）》新增的核心概念．《義務教育數學課程標準》對模型思想的描述是：模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑．建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果、并討論結果的意義．這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識[1]．

史寧中教授在《數學思想概論》中提出這樣的觀點：“數學發展所依賴的思想在本質上有3個：抽象、推理、模型……通過抽象，在現實生活中得到數學的概念和運算法則，通過推理得到數學的發展，然后通過模型建立數學與外部世界的聯系．”[2]從數學產生、數學內部發展、數學外部關聯 3個維度上概括了對數學發展影響最大的3個重要思想．數學建模過程可以使學生在多方面得到培養而不只是知識、技能，使學生更有思想、方法，也有一些經驗積累，其情感態度（如興趣、自信心、科學態度等）也會得到培養．另外，模型思想還體現在《義務教育數學課程標準》其它方面．如《義務教育數學課程標準》中有如下提法：“經歷數與代數的抽象、運算與建模過程．”（數與代數總目標）；“結合實際情境，經歷設計解決具體問題的方案，并加以實施的過程，體驗建立模型、解決問題的過程”（“綜合與實踐”內容標準）等[3～5]．那么，當下初中學生的數學建模能力狀況到底如何？特別是數學建模作為核心素養提出再次成為數學教育研究的熱點，有必要對這個問題作研究．

這里就2016年江蘇省初中二年級學生數學學業質量監測中，與數學建模相關的題目得分情況和水平分布作出分析，以反映江蘇省初中二年級學生的數學建模水平的基本狀況．

2 調查結果

2.1 不同群體在數學建模各水平的分布

圖1給出了江蘇省及不同群體學生在數學建模各水平上的人數比例．

圖1 不同群體學生在數學建模各水平上的人數比例

從圖1中可以看出，在數學核心素養之數學建模上，江蘇省學生在不合格水平上的人數比例為15%，說明江蘇省有85%的學生達到了合格及以上水平．城區、鎮區和鄉村學校學生在不合格水平上的人數比例分別為13%、17%和25%；蘇南、蘇中和蘇北學校學生在不合格水平上的人數比例分別為12%、12%和20%；公辦和民辦學校學生在不合格水平上的人數比例分別為17%和7%；男生和女生在不合格水平上的人數比例分別為16%和13%．

2.2 題目中涉及數學建模的得分情況

從表1中可以看出，本次測試中，學生總體能力處于A、B、C、D四個水平的學生在M8AO041這道題目上的平均得分率分別是99.2%、97.6%、87.5%、52.0%；從學生的得分分布情況看，在 9個小題中，學生表現優異的小題有 2個，表現中等的小題有6個．表現較弱的小題有1個．

表1 學生在數學建模各題得分的水平表現

3 分析討論

3.1 不同表現水平學生在每道題目上的平均得分率比較

從調查結果看，學生在以下兩個方面表現優異：（1）用數學符號建立一次函數表示問題中的數量關系和變化規律（2）從具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立函數表示問題中的數量關系和變化規律．在以下方面表現較差：從具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立一次函數表示問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義．方程、函數、不等式是刻畫現實世界數量關系的模型，用數學符號建立方程、函數、不等式表示問題中的數量關系和變化規律對于大部分學生來說，表現優異．但是對于題目中反應出的復雜生活背境，進而結合函數圖象，運用數形結合的思想解決問題是學生的難點．這個結果說明，學生問題解決能力和應用意識值得關注．

4個水平的學生在每道題目上的平均得分率基本呈正態分布，其中優秀、良好水平學生平均得分率低于20%的題有1道，合格水平學生平均得分率低于10%的題有3道，不合格水平學生平均得分率低于1%的題有4道．

3.2 數學建模與6個核心素養總體情況的比較

從兩者優秀的得分人數占比看，在所統計的11項數據中，蘇南與民辦超出3%，另外9項均超出2%，說明對優秀學生來說，數學建模超出核心素養總體情況高度．從兩者良好的得分人數占比看，在所統計的11項數據中，數學建模數據均高于核心素養總體，最多低10%，最少低7%，說明對良好學生來說，數學建模低于核心素養總體．從兩者合格的得分人數占比看，在所統計的11項數據中，蘇南、民辦超出 1%和 2%，城區、公辦沒有差異外，其它數學建模數據均低于核心素養總體的1%，說明對兩者合格學生來說，數學建模略低于核心素養總體．從兩者不合格的得分人數占比看，從所統計的11項數據看，數學建模數據均高于核心素養總體，最少高出4%，最高高出10%，說明數學建模不合格的學生遠超于核心素養總體不合格的學生．

這個結果說明，與核心素養整體的發展相比較，數學建模發展不太平衡，兩極分化現象比較突出，這可能與數學建模的題目背境大多來源于生活實際有關，學生“概念性理解”能力強，“問題探究”能力差．

3.3 數學建模自身的差異性比較

城鄉比較：從優秀的得分人數占比看，數學建模的表現城區要遠好于鎮區，鎮區要好于鄉村；從良好的得分人數占比看，數學建模的表現城區、鎮區要好于鄉村；從合格與不合格的得分人數占比看，數學建模的表現鄉村人數高于鎮區，鎮區高于城區．

不同地域比較：從優秀的得分人數占比看，數學建模的表現蘇中要好于蘇南，蘇南要好于蘇北；從良好的得分人數占比看，數學建模的表現蘇南、蘇中、蘇北大致相當．從合格與不合格的得分人數占比看，蘇北的人數要高于蘇南、蘇中．

不同性質學校比較：從得分人數占比看，民辦優秀的人數要遠高于公辦，合格、不合格的人數遠少于公辦．

不同性別比較：從優秀的得分人數占比看，數學建模的表現男生略好于女生；從良好的得分人數占比看，數學建模的表現女生略好于男生；而男生不合格的人數又多于女生．

從以上結果看出，男女學生在數學建模水平上沒有太大差異．鄉村學校和蘇北地區的學校初中二年級學生的數學建模水平相對較低，民辦學校的學生在數學建模水平方面較許多公辦學校更有優勢．

3.4 出現的問題分析

對平均得分率為23.4%和61.3%的小題，進行了典型錯誤的記錄，并對錯因進行了項目組的討論與分析．

案例1 M8AS174 水果店張阿姨以每千克2元的價格購進某種水果若干千克，銷售一部分后，根據市場行情降價銷售，銷售額y（元）與銷售量x（千克）之間的關系如圖所示．當銷售量為多少千克時，張阿姨銷售此種水果的利潤為150元？

錯誤分析：

（1）學生沒有理解降價前后應是兩種不同情況，缺乏分類討論的意識．

（2）學生錯誤地將銷售額理解為利潤，混淆了這兩個概念．

（3）學生對降價后的單件利潤在函數圖象理解上出現錯誤，或對銷售額與利潤兩個概念理解不清．

（4）學生錯誤地將降價后的售價理解為直接用 260÷80＝3.25（元/千克），這反應了學生對函數圖象不理解．

（5）運算能力不強．

案例2 M8AS151 小麗跟隨旅行團到風景區游覽．游覽過程中，她被景區內的紀念品商店所吸引，用了5 min購物后，立即沿團隊行走路線追趕，恰好與團隊同時到達距離商店600 m處的景點A．已知她追趕的平均速度是團隊行走平均速度的2倍．求團隊行走的平均速度．

錯誤分析：

（1）對數學模型的理解有誤，不能正確理解幾個變量間的關系，并找到相等關系，不能用代數式表示出相應的量．

（2）不會正確解分式方程，對基本變形如去分母、移項、合并同類項、系數化為“1”等步驟出錯，不知道方程每一步變形的依據．

（3）不知道解分式方程要檢驗，主要是在新課學習過程中，對為什么要檢驗的理由不理解，對檢驗的必要性不重視．

4 結論與建議

4.1 結 論

（1）江蘇省初二年級學生的6個數學核心素養的發展不平衡，與其它5個核心素養的發展相比較，數學建模優秀水平相對較高．

（2）江蘇省初二年級學生的數學建模水平發展也不平衡，兩極分化現象比較突出．

（3）江蘇省初二年級學生的數學建模水平表現依次是城區好于鎮區，鎮區好于鄉村；蘇中好于蘇南，蘇南好于蘇北；民辦學校明顯好于公辦學校；不存在性別上顯著差異．

4.2 建 議

（1）建立數學模型的過程，是把錯綜復雜的實際問題簡化、抽象為合理的數學結構的過程．要通過調查、收集數據資料，觀察和研究實際對象的固有特征和內在規律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實際問題的數量關系，然后利用數學的理論和方法去分析和解決問題．這就需要深厚扎實的數學基礎，敏銳的洞察力和想象力，對實際問題的濃厚興趣和廣博的知識面．

（2）改變過去以教師為中心、以知識傳授為主的傳統教學模式．教學中應以學生為中心、以問題為主線、以培養能力素養為目標來組織教學工作．

（3）教學過程中要讓學生充分體會一次函數、方程、不等式的意義，關注概念、法則、性質等形成的過程，重視法則、性質在解決實際問題中的運用，培養識別圖表信息的能力．

（4）加強對學生基本技能的訓練，如：解方程或方程組．

（5）將數學與現實、靜態與動態結合在一起．教學中不僅關注數學內容的掌握，還特別注重應用意識[6]．

（6）重視數學文化的熏陶，引導學生善于用數學知識和思想方法分析生活中的數學現象．

（7）改變學生的學習方式．數學建模是一個綜合性的過程，它具有問題性、活動性、過程性、探索性，因而它不同于單純的數學解題，這給學生學習方式的改變帶來了很大的空間．

[1]中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2011版）[M]．北京：北京師范大學出版社，2011．

[2]史寧中．數學思想概論[M]．長春：東北師范大學出版社，2015．

[3]鄭毓信．數學教育視角下的“核心素養”[J]．數學教育學報，2016，25（3）：1．

[4]喻平．數學學科核心素養要素析取的實證研究[J]．數學教育學報，2016，25（6）：1．

[5]王光明，張楠，周九詩．高中生數學素養的操作定義[J]．課程·教材·教法，2016，（7）：50．

[6]何小亞．學生“數學素養”指標的理論分析[J]．數學教育學報，2015，24（1）：13．

Survey on the Development of Mathematical Modeling Capabilities of Junior High School Students Based on the Academic Level Monitoring

LI He1, ZHANG Wei-ming2
(1. Jiangsu Xuzhou Senior School, Jiangsu Xuzhou 221000, China; 2. Jiangsu Yancheng Middle School Education Group, Jiangsu Yancheng 224001, China)

Mathematical Modeling is one of the six mathematical key competences. In this paper, we conducted a survey on the questions related to mathematical modeling and its scores in 2016 Education Quality Monitoring Tests of Jiangsu Province. The data which we collected shows that: (1) there are many imbalances between six mathematical key competences’ training in the junior-middle school students of Grade Two in Jiangsu Province; by comparing with the other five mathematical key competences, mathematical modeling capabilities of the students showed a higher level; (2) the development of mathematical modeling capabilities of the junior-middle school students of Grade Two in Jiangsu Province is lack of balance, which has resulted in the polarization significantly; (3) in particular, the mathematical modeling capabilities of the junior-middle school students of Grade Two in urban areas is better than rural areas; the capabilities of the students in middle Jiangsu is better than in southern Jiangsu, and the later is better than in northern Jiangsu; the capabilities of the students in private-run schools is better than in public-run schools; and there is no significant gap between boys and girls. According to the analysis of the survey above, we finally gave some suggestions to improve the situation.

mathematical key competences; mathematical modeling; junior-middle school students; education quality monitoring

G632

A

1004–9894（2017）01–0019–03

[責任編校：周學智]

2017–01–20

江蘇省教育廳基于測試分析的跟進式改革重大研究項目——義務教育學科核心素養和關鍵能力研究（2015JYKTZD-02）；江蘇省中小學教學研究第十一期重點課題——初中數學學業水平評價研究（2015JK11-Z085）；江蘇省社科基金——中小學生數學核心素養體系建構與教學實踐研究（15JYD001）

李賀（1979—），女，江蘇徐州人，中學高級教師，主要從事數學教育研究．