信息技術對促進數(shù)學基本思想教育的價值分析

劉詠梅，吳立寶

（1．江西師范大學 數(shù)信學院，江西 南昌 330022；2．天津師范大學 教師教育學院，天津 300387）

信息技術對促進數(shù)學基本思想教育的價值分析

劉詠梅1，吳立寶2

（1．江西師范大學 數(shù)信學院，江西 南昌 330022；2．天津師范大學 教師教育學院，天津 300387）

信息技術融入數(shù)學教育有利于展現(xiàn)抽象思維的理性文化特點，提升對數(shù)學對象關聯(lián)性的理解；有利于增強歸納推理的客觀性和演繹推理的深刻性；有利于為建模和利用模型解決問題提供豐富素材；有利于將數(shù)學思想的文化背景、數(shù)學思想的關聯(lián)性和數(shù)學思想與數(shù)學知識的聯(lián)系有效展現(xiàn)于課堂，突出基本數(shù)學思想的產(chǎn)生、發(fā)展和應用．

數(shù)學基本思想；信息技術；數(shù)學教育

信息技術是指利用計算機、網(wǎng)絡等各種硬件設備及軟件工具與科學方法，對文圖聲像各種信息進行獲取、加工、儲存、傳輸與使用的技術之和[1]．信息技術的發(fā)展是教育發(fā)展的重要內涵和源泉，推進教育信息化已成為各國搶占教育發(fā)展的制高點[2]．教育實踐中，越來越多的教師意識到信息技術給數(shù)學教育帶來的巨大影響，但還存在“信息技術影響教育方式還是影響教育本質”的爭論，部分教師一直徘徊在“用與不用”的邊沿，還有部分教師使用信息技術一般停留在“利用豐富的動態(tài)效果，提升學生學習的興趣；利用信息技術縮短一些活動的時間，用信息技術代替人的實驗；展示學生或教師的操作過程；展示例題、習題等解題過程”等一些輔助教學的層面上．

對技術作用于教育的過程與效果的認識是信息技術融入教學的關鍵[3]．數(shù)學思想是數(shù)學素養(yǎng)的基本內涵，也是數(shù)學教育的基本目標，如果信息技術的融入不能對這一目標的實現(xiàn)具有較大的促進作用，其價值就大打折扣．因而，探索信息技術與數(shù)學思想的聯(lián)系，是解決信息技術融入數(shù)學教育的基本問題．數(shù)學基本思想具有隱性的特點，信息技術具有直觀性和動態(tài)性，兩者互為補充，從根本上確定了建立聯(lián)系的可能性．抽象、推理和建模思想是基本的數(shù)學思想[4]，也是數(shù)學的基本特點“高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應用性”在思想方法上的體現(xiàn)．

1 信息技術凸顯抽象的價值

抽象是數(shù)學的本質屬性，也是認識事物的一般思想[5]．人獲得知識所憑借的是先天的，同時又依賴于經(jīng)驗的“直觀能力”，數(shù)學抽象能力與這種直觀能力是同構的[6]．數(shù)學抽象是對客觀事物量的抽象．量是指事物存在的規(guī)模、方式以及發(fā)展的程度、速度．信息技術的融入可以使數(shù)學教育突顯數(shù)學的發(fā)生、發(fā)展過程，展現(xiàn)抽象思維的理性文化特點和數(shù)學對象的相互關聯(lián)性．

1.1 展現(xiàn)抽象思維的理性文化特點

數(shù)學是人類抽象思維的創(chuàng)造，是文化的重要組成部分．齊民友先生在《數(shù)學與文化》中指出“一個沒有現(xiàn)代數(shù)學的文化是注定要衰弱的．”[7]信息技術起源于對大數(shù)據(jù)的分析和處理，強調對事物的定量分析，數(shù)字化、全球化、交互性、開放性是信息技術文化的基本特點．這些特點都凸顯著信息技術文化的理性內涵，這與數(shù)學文化是相通的，文化背景的共性是數(shù)學教育與信息技術相融的重要條件，也是展現(xiàn)抽象思維理性文化的有利因素．

1.1.1 體現(xiàn)抽象思維的繼承性

文化的基本屬性是傳承性，數(shù)學思想是數(shù)學文化傳承的基本元素，信息技術的運用可以更好地展示前人對數(shù)學問題的思考，啟發(fā)當下學生．數(shù)學教材中有一些內容是經(jīng)歷長期發(fā)展的，歷史上人們的研究過程，對今天學習面臨的問題具有啟發(fā)性，這些內容體現(xiàn)了數(shù)學的繼承性，也體現(xiàn)了信息技術運用的重要性．數(shù)學史主要是數(shù)和形兩大基本概念的產(chǎn)生、發(fā)展、變遷的歷史[8]．歷史上對無窮問題的思考往往也是借助數(shù)與形的轉換進行的，信息技術的展示可以使學生更好的認識無窮問題．如由于中學生對無窮的認識和理解處于初級階段，對是等于1還是小于1的問題，學生理解會有一定的困難．教學中，借助兩個長期被運用的基本幾何圖形面積的特點（圖1，圖2），不僅可以幫助學生理解問題，而且可以通過借鑒歷史的思想，幫助學生對問題進一步的抽象，從而認識和解決問題．

圖1 對正方形的分割(1)

圖2 對正方形的分割(2)

1.1.2 體現(xiàn)抽象思維的審美性

數(shù)學教學在抽象思想的形成過程中，還應使學生全面理解數(shù)學，培養(yǎng)學生對數(shù)學美的鑒賞能力和對真、善、美的追求．史寧中指出：認為數(shù)學是一門創(chuàng)造性的、受審美因素支配的學科，比認為數(shù)學是一門別的、特別是經(jīng)驗的學科要更確切一些[4]．學生學數(shù)學的過程，本質上就是感受數(shù)學、領悟數(shù)學、欣賞數(shù)學、從事再創(chuàng)造的過程[5]．數(shù)學美表現(xiàn)在數(shù)學本質上，表現(xiàn)在數(shù)學思想、精神上[9]．數(shù)學美的鑒賞體現(xiàn)在對數(shù)學內涵的理解之中，信息技術運用于數(shù)學抽象思想教學，應由提升興趣過渡到傳承文化，追求數(shù)學美的本質．數(shù)學研究基本特點是揭示對象本質內涵，用直觀的方式展示對象的本質是信息技術的重要運用．如三角函數(shù)的本質是周期性，其重要性也體現(xiàn)在周期性上，同一周期的不同函數(shù)具有的特點用信息技術呈現(xiàn)，不僅能加深學生的理解，而且給學生美的體驗．如圖 3在同一坐標系中畫出，的函數(shù)圖形，學生不僅能夠理解3者之間的關系，還能形成一種和諧之美．借助動畫還能形成波浪的美麗畫卷，對培養(yǎng)學生美的鑒賞能力具有積極才的意義．再如教學勾股定理時可以借助信息技術展示趙爽弦圖、歐幾里得的證明圖、勾股定理的迭代圖等，學生通過比較各種證明方式，體會不同文化對美的追求和理解．

圖3 3個正弦函數(shù)圖象

1.2 提升對數(shù)學對象關聯(lián)性的理解

理解是對對象本質的認識，也是內在概念網(wǎng)絡的建構，數(shù)學知識相互關聯(lián)性決定了借助知識的聯(lián)系形成新的知識是理解的重要環(huán)節(jié)，也是解決問題的基本依據(jù)[10]．數(shù)學抽象的特殊性使對抽象對象關聯(lián)性的理解成為教育的重點和難點．信息技術的運用可以使學生借助大量的、多角度的信息建立知識之間的聯(lián)系，從而獲得解決問題的途徑．

1.2.1 由表及里深化理解

知識之間的差異性體現(xiàn)了認識的發(fā)展性．借助信息技術的運用，展示發(fā)展的特點，是學生深化理解的重要途徑．如當實數(shù)和復數(shù)的乘法運算學生都掌握后，引導學生思考實數(shù)與實數(shù)相乘和復數(shù)與復數(shù)相乘差異產(chǎn)生的本質、幾何表示的特點、二維空間與一維空間的屬性等問題．學生可以借助信息技術發(fā)現(xiàn)兩者在“形”上的區(qū)別和聯(lián)系，從而更好地思考理解算法的一致性，認識知識的聯(lián)系和發(fā)展性．

1.2.2 借助圖形探索問題解決的方向

數(shù)學作為文化的一部分，其最根本的特征是它表達了一種探索精神[7]．這種探索精神的重要體現(xiàn)是數(shù)學研究不斷思考問題解決的依據(jù)，尋找問題解決的方向．教師借助信息技術提供問題解決的正反方兩方面的信息，學生在不斷辨析中獲得理解，并發(fā)現(xiàn)問題解決的途徑．如在學習兩角和的余弦公式時，動態(tài)演示及變化時及的幾何變化特點，學生可以發(fā)現(xiàn)它們之間是相互關聯(lián)的但又不是簡單的“去括號”的關系．進一步在學生探索的變化與的變化關聯(lián)性后，尋找這一關系的數(shù)學表達，從幾何意義上把表示出來就成為關鍵，于是作出就水到渠成了．

2 信息技術凸顯歸納與演繹的關系

推理是由一個或幾個已知的前提，推導出結論的思維過程．歸納推理和演繹推理相互依賴，形成不可分割的整體．傳統(tǒng)數(shù)學教學更強調演繹推理，信息技術的融入使數(shù)學實驗日益受到關注，通過問題的動態(tài)表現(xiàn)，學生有了更多的觀察和歸納的機會，對形成猜想，獲得頓悟都有積極的意義，在此基礎上，借助邏輯推理檢驗猜想，形成歸納推理、演繹推理共同構成的推理鏈，使學生經(jīng)歷推理的全過程，對推理客觀的依賴性、相互之間的依賴性有更好的理解．

2.1 歸納推理的客觀性

歸納推理是從個別前提出發(fā)，經(jīng)過觀察和經(jīng)驗的分析得出一般結論的過程．數(shù)學知識是客觀存在的，數(shù)學教育應該使學生的學習基礎建立在客觀事物認識之上．借助信息技術展示客觀事物的特點，能使學生形成的歸納猜想更可靠．

2.1.1 依賴客觀現(xiàn)象認識規(guī)律

信息技術能模擬動態(tài)的或平常無法觀察到的現(xiàn)象[11]，使學生的學習更多地依賴客觀．數(shù)學是一門抽象的科學，對其抽象過程，徐利治教授指出：一般說來，數(shù)學抽象共有4個步驟，即觀察實例、抓住共性、提出概念、構筑系統(tǒng)或框架（理論）[12]．信息技術的動態(tài)效果，使學生能夠經(jīng)歷 4個完整的步驟，將解決問題主要依賴主觀思考，轉變?yōu)橹饔^思考和客觀驗證相統(tǒng)一的過程．如以下問題的思考．

這一問題的分析可以借助動態(tài)演示，觀察圖形的變化過程，歸納出圖4是由一種極端到另一種極端的兩種情況，從而得出m的取值范圍的直觀結論．

圖4 圓及其兩條切線

2.1.2 依賴圖形確定論證方向

在數(shù)學教學中，利用信息技術有利于培養(yǎng)學生探索的意識，形成利用信息發(fā)現(xiàn)問題的能力，引導學生關注問題的產(chǎn)生原因，并依賴經(jīng)驗探索解決問題的途徑．如已知a,b為非負數(shù)，，求M的最值．利用信息技術的作圖工具可以作出的草圖，提出最值存在的猜想，這為問題的解決確定了方向．分析作圖過程，進一步探索最值產(chǎn)生的原因．只由難以確定M的最值情況，M的最值決定因素是這一條件．依據(jù)以往的經(jīng)驗，和的最值一般是在兩數(shù)相等或一些極端情況的時候獲得．于是可以得到猜想：當時，M有最小值；當a,b有一個為0時，M有最大值1．借助信息技術進行驗證使這一猜想更為可靠，在此基礎上的證明便可以根據(jù)猜想依據(jù)的相關不等式尋找思路．

2.2 增強演繹推理的深刻性

信息技術有效運用于數(shù)學教學，應著眼于對學生數(shù)學思維品質的培養(yǎng)，尤其是數(shù)學思維深刻性的培養(yǎng)[13]．數(shù)學對象的表現(xiàn)形式是多樣的，借助信息技術演示變化過程，能夠提升對變化中不變的認識，及對思維對象本質的完整把握和認識．在此基礎上形成嚴密的論證能揭示研究對象的本質，體現(xiàn)推理的深刻性．

2.2.1 揭示研究對象的本質

要全面認識數(shù)學對象，揭示研究對象的本質，離不開直覺思維．徐利治說：直覺是對數(shù)學真正理解的重要途徑，直覺能使相應的內容在頭腦中真正成為“非常直接淺顯的”和“非常透徹明白的”，從而真正達到“真懂”或“徹悟”的境界．信息技術的使用有利于形成直覺思維．如函數(shù)的圖象是“雙勾”，通過旋轉坐標系進一步猜想圖形可能是雙曲線，由此便把握了對象的本質特點，在此認識基礎上的論證可以將函數(shù)表達式轉化為雙曲線的標準方程．

2.2.2 宏觀把握研究對象

借助信息技術可以從宏觀上把握研究對象．如探究圓錐曲線的關系，可以借助幾何畫板等軟件動態(tài)演示三類圓錐曲線之間的關系，形成對圓錐曲線的動態(tài)認識和統(tǒng)一定義的理解，為演繹論證提供整體的思路和方向．借助信息技術，對一些數(shù)學問題也可以整體把握其特點，如以下問題．

圖5 函數(shù)圖象(1)

圖6 函數(shù)圖象(2)

從圖象分析可以得出一般結論：兩種不同情況實質上是x軸上下平移的結果，而且隨著常數(shù)的改變，x軸可以任意上下移動，但無論怎樣移動，函數(shù)圖象的關系不會改變，兩函數(shù)圖象交點所對應的x的值不會改變．由此便能夠較為宏觀的把握對象，為深化研究提供基礎．

2.3 增強數(shù)學學習中歸納與演繹的不可分割性

數(shù)學化是人類文明進步的產(chǎn)物，是人類發(fā)現(xiàn)活動在數(shù)學領域里的具體體現(xiàn)．所謂數(shù)學化就是由現(xiàn)實問題到數(shù)學問題，由具體問題到抽象概念的認識轉化[14]．歸納推理和演繹推理是數(shù)學化的重要組成部分，兩者互為補充，共同將實際問題轉化為數(shù)學問題，并形成數(shù)學的結論．信息技術融入數(shù)學課堂，使數(shù)學課堂的信息更加豐富，便于學生多視角的收集信息．信息技術融入數(shù)學課堂，也可以使抽象的問題具體化，便于學生認知的轉化．

2.3.1 由現(xiàn)實問題歸納出數(shù)學對象的性質

信息技術的融入可以將豐富的現(xiàn)實資源展現(xiàn)在數(shù)學課堂．教師不僅需要對信息進行選擇，而且需要引導學生收集信息，將現(xiàn)實問題轉化為數(shù)學問題，提升學生的信息素養(yǎng)，體驗發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析和解決問題的過程，使學生獲得具有生命力的數(shù)學知識．

精確的定義是邏輯推理的基礎，數(shù)學對象性質研究和論證往往是從定義出發(fā)的．實際上數(shù)學對象很多重要的本質屬性的抽象都依據(jù)客觀原型．借助信息技術使學生體驗由實際對象提煉數(shù)學模型性質的過程，對學生形成正確的認知具有重要意義，特別是一些具有邏輯起點的概念的性質．如向量的概念是介于幾何與代數(shù)之間的概念，又是學生需要綜合考慮兩個屬性的概念，因而這一概念是數(shù)學教學的重要內容．在向量運算性質的教學中，可以借助視頻、截圖等，在現(xiàn)實情境中體會大小和方向在客觀對象中的意義，體驗加法等運算性質的現(xiàn)實依據(jù)．

2.3.2 關注具體現(xiàn)象到一般結論的推理

任何數(shù)學問題研究都是從具體到一般的探索，教學中需要關注具體問題到一般問題的轉化．如函數(shù)的教學，《高中數(shù)學課程標準》明確指出：“學會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)性質．”教師在教授函數(shù)的奇偶性、單調性等性質時，借助信息技術的融入，將畫圖和研究圖作為重要的教學內容，并對特殊的函數(shù)進行研究，使學生很好地理解任意、增減、對稱等概念，這對學生形成函數(shù)性質的理解和認識是不可或缺的環(huán)節(jié)．正如李大永、白永瀟、張思明等老師在對北京大學附中辛華老師的函數(shù)單調性教學點評中指出的：華羅庚先生提出的“以退求進”的學習策略“先足夠地退到我們所容易看清楚的地方，認透了，鉆深了，然后再上去”[15]，易使學生理解概念的產(chǎn)生、發(fā)展和解決過程．

3 信息技術為建模與用模提供豐富素材

數(shù)學并非是對客觀事物或現(xiàn)象的直接研究，而是借助定義和推理進行的邏輯建構[16]，最終表現(xiàn)為模式化．模型建立的情況決定了問題解決的情況．信息是客觀世界中各種事物的運動狀態(tài)和變化的反映，表現(xiàn)的是客觀事物運動狀態(tài)和變化的實質內容[17]．依據(jù)信息的認識和理解，可以得出客觀實際、信息與數(shù)學之間的關系（如圖7）．由圖7可以看出，數(shù)學模型是從實際問題中通過提取信息并進行模型化而成的．沒有信息技術的支持，課堂主要由教師的表達來傳遞信息，教師的語言、文字和繪圖等表現(xiàn)能力決定了課堂信息的狀況，成為模型建構局限性的影響因素．信息技術使得學習空間具有開放性的特點，是一個生態(tài)系統(tǒng)．教師多角度、多層次將信息引入課堂，形成課堂教學的動力源，為學生構建數(shù)學模型提供依據(jù)．信息技術的融入可以為學生學習數(shù)學知識和解決問題提供豐富的背景，可以將模型建構、模型運用等思想凸顯于數(shù)學課堂．

圖7 客觀實際、信息與數(shù)學之間的關系

3.1 突出實際原型對模型的影響

數(shù)學結論的正確性取決于基本方法，也就是公理化方法．公理化的起源是公理，公理的形成是實踐提供的信息的整理，因而，數(shù)學研究建立在信息收集和整理之上．學生的學習首先要學會信息的收集和整理，從實際原型中提煉出數(shù)學模型，再對模型進行分析，形成一般的認知．“所謂數(shù)學模型，指的是對現(xiàn)實原型為了某種目的而作抽象、簡化的數(shù)學結構．”[18]信息技術融入數(shù)學教育能夠獲得更多的現(xiàn)實原型，為學生的模型建構提供大量的素材．

3.1.1 體驗客觀現(xiàn)實在模型建構中的作用

“格物致知”是我國清代顏元最早提出的，數(shù)學建模學習也不例外，在信息技術的環(huán)境下，需要經(jīng)歷信息的收集、加工等“格”的過程才能達到“知”的目的．模型的建構過程是感性思維到理性思維的認識過程，是從信息中抽取一類對象的本質屬性，形成對對象的抽象認識，并用數(shù)學語言將認識固定．

數(shù)學產(chǎn)生于問題，而問題的提出離不開語言描述，問題的解決又需要建立數(shù)學模型，最后才能形成結論，數(shù)學教學需要展示這個完整的過程[19]．在概念的形成教學中，借助信息技術的幫助，學生可以更好地理解概念的建構過程．如傾斜角的概念是高中數(shù)學的重要概念，這一概念的教學應該突出產(chǎn)生、形成和理解3個重要環(huán)節(jié)．可以通過多媒體演示生活中的不同傾斜狀況引起對象性質和特點的不同狀況，構建對傾斜問題的感性認識；接著經(jīng)過抽象、建立坐標將實際問題轉化為直角坐標系中直線與水平坐標軸之間夾角的問題，構建數(shù)學模型；在形成概念過程中，引導學生在4個交角中合理選擇一個作為傾斜角，并描述傾斜角的特點；在概念理解中，用數(shù)學思維重新理解和認識實際問題，辨析數(shù)學概念并通過建立概念的聯(lián)系不斷完善認知結構．

3.1.2 體驗模型的性質運用于客觀現(xiàn)實問題的解決

數(shù)學特點的重要體現(xiàn)是研究對象的確定[20]．學生在對確定的數(shù)學對象進行研究后，獲得理性認識，有利于對問題的理解和解決．如研究圓錐曲線過焦點的直線經(jīng)圓錐曲線反射后直線的特點，教師可以借助多媒體演示一系列燈的反射面（如電影放映機上聚光燈泡的反射鏡面、牙科醫(yī)生用于輔助治療的燈的反射鏡面、探照燈的反射鏡面、路燈的反射鏡面等），引導學生思考這些燈的反射面的特點，以及與水平面相截的曲線特點，并進一步思考選擇怎樣形狀的燈以及燈泡應該裝在什么位置才能適合不同的需要．學生從已有的認識出發(fā)，思考實際問題的解決，如電影放音機需要一束平行光、牙醫(yī)需要聚光、路燈需要照射面積大的光等，不同的需要應該選擇不同的圓錐曲線形作為燈的反射面，將實際問題的研究與數(shù)學模型的性質研究進行有機的結合，體驗運用數(shù)學模型性質解決實際問題．

3.2 凸顯信息對模型研究的意義

數(shù)學教學中對于解決問題的程序過程或探索法（heuristics）的掌握，幾乎一定代表著生長[21]．數(shù)學上所采取的符號、概念、公式、法則、定理、公理的教學，本質上就是一種信息加工模塊的教學[22]．數(shù)學學習中，學生需要經(jīng)歷從感性認識到理性認識的升華過程．這一過程是探索的過程，也是數(shù)學概括的過程，需要豐富的信息作為基礎．3.2.1 依據(jù)多角度信息認識規(guī)律

信息技術的融入可以擴大課堂信息的容量，學生的學習可以在大量案例中探索規(guī)律，形成概括的結論．如以下數(shù)列中的典型問題的教學．

3.2.2 依據(jù)特殊化發(fā)現(xiàn)規(guī)律

數(shù)學是研究事物一般性質的科學，但研究過程往往需要將問題特殊化為若干具體問題．借助信息技術可以使特殊化的信息更加豐富，從中抽象出一般規(guī)律．如由余弦定理到勾股定理、由指數(shù)函數(shù)研究到的研究等，都是將問題特殊化尋找一般規(guī)律，再在一般意義上進行證明．

借助信息技術可以對特殊情況的大量信息進行分析，如探索直線與平面垂直的判定定理，借助動畫演示，對與平面內一條直線垂直、兩條直線（各種位置）垂直的情況進行分析，從而得出一般猜想．

4 思考與建議

上述以抽象、推理及模型3種數(shù)學思想為例，結合案例分析了信息技術融入數(shù)學教育對學生數(shù)學思想的形成的價值．數(shù)學可以被教得更好，讓學生興趣盎然，也可以被教得更壞，讓學生望而生畏[23]，重要的是看教師怎樣提供信息，怎樣引導學生加工信息．“如何發(fā)揮用巨大投入建設起來的信息化設施的作用，提高教育教學的實際效果，應當是我們著重探索的問題．”[24]縱觀數(shù)學教育史，世界各國的數(shù)學教育目的大致始終徘徊于技術和科學兩者之間，前者關注數(shù)學教育的實用性，后者關注數(shù)學教育的素質性．只有兩者辯證地結合，才能正確把握數(shù)學教育的基調[25]．數(shù)學思想具有科學和技術的共同的屬性，數(shù)學思想教學不僅為信息技術融入數(shù)學教育提供了切入點，而且是科學與技術結合的重要途徑．教師需要具備整合技術的學科教學知識[26]，需要在對教材全面理解的基礎上深入挖掘信息技術的功能，努力發(fā)揮其在提升數(shù)學素養(yǎng)方面的作用．將數(shù)學思想的文化背景、數(shù)學思想的關聯(lián)性和數(shù)學思想與數(shù)學知識的聯(lián)系有效展現(xiàn)于課堂，突出基本數(shù)學思想的產(chǎn)生、發(fā)展和運用教學，才能充分發(fā)揮信息技術融入數(shù)學課堂的價值．

4.1 展現(xiàn)數(shù)學抽象思想的文化背景

數(shù)學思想是數(shù)學抽象的產(chǎn)物，無論如何抽象的數(shù)學對象都是基于相對具體的事物本體，有其產(chǎn)生的文化背景．文化是人類的思維方式和行為方式[27]，數(shù)學文化是一種精神，這種精神來源于理性的思維方式和觀念形成的力量[28]．在教學中，教師要對教學內容的文化特點和抽象的意義有全面的認識和理解，并借助信息技術的融入，呈現(xiàn)數(shù)學基本思想的產(chǎn)生背景．

如函數(shù)概念的教學在中學經(jīng)歷了兩個重要的階段，給出了“變量說”、“對應說”兩個定義．為什么函數(shù)要介紹兩個定義、為什么用函數(shù)思想貫穿基礎教育數(shù)學課程的觀點得到廣泛認可？教師應對函數(shù)所包含的文化因素進行分析，才能引導學生更好地理解這些問題．世界萬物共同的本質屬性是運動和變化，函數(shù)以運動變化為研究對象，用模型的方式對客觀現(xiàn)實共同本質屬性進行探索，是數(shù)學與世界聯(lián)系的重要橋梁，運動變化也成為函數(shù)概念產(chǎn)生基礎．但是數(shù)學文化的特點決定了數(shù)學研究不能停留在事物的直觀認識，因而需要在運動變化中揭示“變中不變”的規(guī)律，并用“數(shù)”進行描述，形成數(shù)集之間的關系，這也是對函數(shù)概念的進一步抽象．對函數(shù)的認識是人類思維方式和行為方式的體現(xiàn)，也就是人類的文化特點在數(shù)學中的重要體現(xiàn)．教師應基于對函數(shù)發(fā)展的認識，借助信息技術，展示從自然界運動變化到數(shù)集對應的抽象過程．

4.2 展現(xiàn)數(shù)學思想之間的關聯(lián)性

數(shù)學基本思想是相互聯(lián)系的，在教學中應突出其關聯(lián)性．如歸納是建立在一定的邏輯之上的，即每個歸納的結果都隱含著許多復雜三段論式的邏輯推理，每一個演繹推理又是基于一定的猜想，學生的歸納推理能力與演繹推理能力應協(xié)調發(fā)展，教師在教學中應將兩種推理模式進行有機結合．

圖8 關于原點對稱的兩條直線

4.3 展現(xiàn)數(shù)學知識對數(shù)學思想的基礎性

數(shù)學基本思想蘊含于數(shù)學問題解決過程中，是現(xiàn)實問題抽象而成的，數(shù)學問題解決不僅能形成數(shù)學結論，而且滲透著數(shù)學基本思想，數(shù)學結論又為形成數(shù)學基本思想奠定了新的基礎．數(shù)學的形式化特點使知識中蘊含的數(shù)學思想不能完全顯現(xiàn)，教師應引導學生借助知識的關聯(lián)性理解數(shù)學思想的關聯(lián)性．

如函數(shù)和數(shù)列是兩個重要的數(shù)學模型．學生雖然能夠體會數(shù)列是函數(shù)的特殊情況，但對兩者數(shù)學思想的內在聯(lián)系的認識還難以全面．教師應引導學生在掌握數(shù)列和函數(shù)基本知識的基礎上，理解函數(shù)的研究需要特殊化為數(shù)列，數(shù)列的結論需要依據(jù)函數(shù)的本質才能加深認識．如引導學生發(fā)現(xiàn)函數(shù)研究需要借助圖形，畫圖需要描點，描點需要列表，列表的本質就是用表格的方式展示自變量的取值對應的數(shù)列與因變量的結果對應的數(shù)列之間的關系，也就是將函數(shù)特殊化為數(shù)列進行分析．再如教學等差數(shù)列求和公式時，引導學生探索等差數(shù)列的求和可以轉化為相同數(shù)的加法，進而轉化為乘法，從而由等差數(shù)列的通項公式轉化為求和公式后次數(shù)的變化就好理解了．對模型關系的認識是一個由知識到思想，又由思想到知識的辯證發(fā)展過程．信息技術的融入，可以將這一過程直觀化，使學生不但理解了各個模型的特點，還進一步抽象出模型之間的聯(lián)系．

數(shù)學根植于客觀現(xiàn)實世界，是現(xiàn)實世界的高度抽象．推理是數(shù)學內部之間的聯(lián)系，體現(xiàn)著數(shù)學間的邏輯性．模型是數(shù)學與現(xiàn)實世界之間的橋梁，體現(xiàn)著數(shù)學應用的廣泛性．教學中應借助信息技術將形式化的數(shù)學知識回歸實際原型，培養(yǎng)學生現(xiàn)實世界與數(shù)學之間雙向翻譯的能力，展現(xiàn)知識的發(fā)生和發(fā)展的過程．

改善教學的環(huán)境因素是促進學生發(fā)展的有效手段，因而要讓學生感悟數(shù)學基本思想，就需要具有相應的、全面的環(huán)境[31]，有效促進學生的思維應當成為判斷數(shù)學課成功與否的主要標志[32]，信息技術融入數(shù)學課堂對改善數(shù)學思想教學環(huán)境起到了不可替代的作用，使數(shù)學思想與數(shù)學知識的教學形成整體，互為補充．在課堂教學中，信息技術提供的大量信息，可以使不同的學生采用不同的方式進行學習，也可以使教師靈活地在傳統(tǒng)教學與現(xiàn)代教學方法之間切換，形成教學方法的綜合運用．另外，信息技術融入數(shù)學教育將促進傳統(tǒng)教學方式與現(xiàn)代教學方式的融合，形成任何一個都不能 單獨擁有的教學力量．

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Value of Information Technology in Mathematical Thought and Method Education

LIU Yong-mei1, WU Li-bao2
(1. College of Mathematics and Information Science, Jiangxi Normal University, Jiangxi Nanchang 330022, China; 2. College of Teacher Education, Tianjin Normal University, Tianjin 300387, China)

Integration of IT into mathematics education is conducive to show the characteristics of abstract thoughts’ rational culture, to enhance the understanding of the relevance of mathematical objects. IT helps enhance the objectivity of inductive reasoning and profound of deductive reasoning, provides abundant materials for the modeling and solving problems with model. Also IT is beneficial to show the cultural backgrounds of mathematical thoughts, the links of mathematical thoughts and the relevance between mathematical thoughts and mathematical knowledge in classroom, and then highlights the produce, development and application in teaching of basic mathematical thoughts.

mathematical thought; information technology; mathematical education

G424

A

1004–9894（2017）01–0041–06

[責任編校：陳雋]

2016–10–05

江西省高等學校教學改革研究課題——基于卓越型教師的“課堂教學技能實訓·數(shù)學”課程建設與實踐（JXJG-14-2-25）；全國教育科學“十二五”規(guī)劃 2013年度教育部青年專項課題——內容分布與認知要求雙重視角下的義務教育課程標準國際比較研究——以數(shù)學課程為例（EHA130395）；天津市教育科學“十三五”規(guī)劃課題——“幼小”“小初”學段銜接的課程建設實踐研究（BE3330）

劉詠梅（1961—），女，河北邯鄲人，教授，碩士生導師，主要從事數(shù)學教育與數(shù)學文化研究．吳立寶為本文通訊作者．