勾股定理教學實驗研究
——讓學生真正經歷勾股定理的“再發現”過程

吳增生，鄭燕紅，李宏彥，陳婭芬

（1．浙江省仙居縣教育局教研室，浙江 臺州 317300；2．浙江省仙居縣安洲中學，浙江 臺州 317300）

勾股定理教學實驗研究
——讓學生真正經歷勾股定理的“再發現”過程

吳增生1，鄭燕紅2，李宏彥2，陳婭芬2

（1．浙江省仙居縣教育局教研室，浙江 臺州 317300；2．浙江省仙居縣安洲中學，浙江 臺州 317300）

勾股定理是數學中的重要定理，教學中要力求讓學生進行自然合理的再發現活動，滲透數學文化．通過以下兩項任務引導學生進行探究活動：（1）用大小相同的正方形紙片剪拼成一個大正方形；（2）用大小不同的正方形紙片剪拼成一個大正方形．讓學生在類比任務（1）的基礎上完成任務（2），在解決問題的過程中自然發現勾股定理．把這種教學方案與采用傳說中的畢達哥拉斯發現勾股定理方法的教學方案進行教學對比實驗，結果表明：新的教學方法學生的發現感更強，對發現過程的記憶效果更好．

勾股定理；教學實驗；再發現

勾股定理是平面幾何中的重要定理，它在數學發展史上的赫赫地位使其成為初中數學教育中開展探究活動，滲透數學文化的重要素材．勾股定理教學中只讓學生知道結論并會套用是遠遠不夠的，需要讓學生深入思考、探究發現，并結合內容進行數學文化教育，實現數學育人．

1 問題提出

中國數學教材中“勾股定理”的呈現方式主要有這以下幾種：第一種方式是直接給出命題并用直角三角形相似知識加以證明，這在早期重視平面幾何公理化體系的教材中比較多見[1～2]；第二種方式是采用讓學生直接測量直角三角形三邊的方法發現勾股定理[3～4]，第三種方法是先用測量三角形三邊長方法發現結論，再介紹用如圖1、圖2的正方形面積計算方法證明結論[5]；第四種方式是先在網格中計算正方形面積，發現3個正方形的面積之間關系，再用面積法進行證明或驗證[6]；第五種方式是直接讓學生用4個全等的直角三角形拼圖，用邊的運算表示面積關系，通過運算發現勾股定理，如浙江教育出版社2012年版的教材要求學生用直角三角形拼趙爽弦圖，通過面積計算發現勾股定理，青島版（2012版）則讓學生用4個直角邊長分別為a，b的直角三角形拼邊長為a+b的正方形，通過面積計算發現勾股定理．

日本教材《中學數學》中先讓學生探索直角三角形三邊上的正方形的面積關系來發現勾股定理，再用如圖1的方法證明結論；新加坡的數學教材New Mathematics Counts則是介紹如圖3的拼圖方法發現和證明勾股定理[7]．

由于第一種方式太過強調公理化思想，有“掐兩頭燒中段”的味道，沒有讓學生經歷勾股定理的發現過程，在現行的各種版本教材中基本不用；第二種方式因為這種測量方法本質上不可能發現一般意義上的勾股定理結論，假探究的味道很濃，因此現在也很少采用．現在基本上采用后3種呈現方式，其中第三種方式是第二、第四兩種方式的兼顧與綜合，其主要思路應該歸結為第四種方式．

但是，第四、五兩種方式在教學過程中仍然存在著問題，教師教學起來不自然、不流暢，很難真正讓學生經歷自然合理地發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程，缺乏真正的“再發現”教育價值．例如第五種方式，讓學生用4個全等的直角三角形拼如圖1，圖2的圖形，通過內外兩個正方形面積和4個全等的直角三角形面積關系的計算（用直角三角形的三邊相關字母表示）來發現勾股定理，就會產生這樣一個問題：“為什么要用4個直角三角形拼正方形”？其實，這種方法可以用來證明勾股定理，但用來發現勾股定理，顯然有些牽強．第四種方法，先讓學生觀察網格中的等腰直角三角形，發現其以三邊為邊長的正方形面積之間的關系，提出等腰直角三角形三邊關系，再推廣到一般，在網格中用割補法計算以一般直角三角形三邊為邊的正方形面積之間的關系（如圖4，圖5），從中發現一般的直角三角形三邊關系的猜想；再用如圖1和圖2來驗證或證明，或者用正方形面積剪拼來證明（如圖6）．

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

用這種方式組織教學，學生可以從特殊到一般地發現直角三角形三邊的平方關系，但是，從這種思路自然發展延伸出來的任務是要證明直角三角形的斜邊正方形面積等于兩直角邊正方形的面積，其自然證法應該是歐幾里得（Euclid,約公元前300年）的證法（如圖7）．由于證明過程要用到正方形性質（這是后繼學習內容）、全等三角形、等積變換等，比較復雜，學生難以接受，所以教材轉而介紹趙爽證法，這樣，發現結論和證明結論是兩種不同的思路，思維不連貫，思考不自然．還有，按照這種教學方式組織教學，本質上是教師帶著學生“看圖形”，缺少自然合理思考和發現的味道，這種探究的“發現味”不足．而該教學實驗后的問卷調查數據分析也說明了教師這樣組織教學，學生在學習過程中的“發現感”不強，對發現過程的記憶不深．新加坡教材中的方法由于圖形分割方案太復雜，思路太特殊，學生難以想到．

圖7

因此，需要探索一種更合理的教學設計，引導學生在自然合理地提出問題、分析問題、解決問題的過程中自然發現定理，讓大腦體驗成功發現的“A Ha！”快感．

2 教學改進研究：設計更合理的學生再發現活動

2.1 數學史和腦科學的啟發

幾乎所有的文明古國都發現了勾股定理的結論，而且從史料上看，早期勾股定理的發現和證明幾乎都與正方形的面積割補和轉換有關．

西方普遍認同把勾股定理的發現證明歸功于畢達哥拉斯學派，在古希臘文獻里面最早提到畢達哥拉斯跟幾何有關系的是古希臘作家和哲學家普路塔克（Plutarch，約公元前46—120）．普路塔克說畢達哥拉斯因為發現了一個重要的幾何定理，殺了100頭公牛來獻祭，他沒有說是什么定理，說畢達哥拉斯發現并證明勾股定理，這是傳說，缺乏史料證據．普路塔克還介紹了用正方形面積割補證明勾股定理的方法．如圖8，設直角三角形的兩直角邊長分別為a，b斜邊長為c，以此三角形為基礎，作兩個邊長為a+b的正方形，根據大小正方形面積和三角形面積之間的關系，得到，得到[8]．

圖8

比普路塔克更早的歐幾里得采用如圖 7的方法證明勾股定理（《原本》中的命題47，只給出3個正方形的面積關系）．中國古代幾何學中，面積方法應用得很出色，總結出的面積“出入相補”原理運用到許多幾何圖形的研究中，而著名的勾股定理的趙爽證法（如圖9）就是這一原理的經典應用[8]．

用正方形面積割補方法發現和證明勾股定理，無需太多的知識儲備，是一種直觀、簡約而自然的思考方式，它能使發現和證明思路連貫，可以設計教學活動的基本思路．

圖9

雖然與發現勾股定理的古人相隔幾千年，但對于進化進程來說，則是相當短暫的，當代人類與幾千年前的人類的大腦生理結構差異微小，而且，人類個體的大腦思維活動經驗可以通過基因的表達遺傳給下一代，因此，大腦的神經功能在不斷的代際遺傳中得到發展．而更重要的是，人類可以通過文字媒介把思維活動經驗和結果直接記錄并在后代傳播，從而讓后人能更便捷地積累知識和思維經驗．這樣，通過遺傳和思維經驗的直接傳遞，古人思考問題的大腦活動可以在現代人類思考相同問題的大腦活動中表現出相似性，這是數學思考歷史相似性的腦科學原理，也是基于數學史設計教學活動的依據．

在這些經典的勾股定理證明思路中，趙爽弦圖（圖9）問題自然、目標明確、思路清晰，而且更便于動手操作，因此，趙爽的方法更便于學生的探索和發現．但趙爽的方法思路學生還是難以想到，需要設計更有效的“腳手架”幫助學生更自然合理地思考．設計逐步深入的兩個任務：（1）用兩個相同的正方形及其內部剪拼成一個大正方形及其內部；（2）用兩個不同的正方形及其內部剪拼成一個大正方形及其內部．引導學生通過類比把簡單問題研究的經驗遷移到變化的情境中．這是比較自然的教學設計，只所以說這種方法自然，是因為它符合了“大腦總是通過重復或修飾已有反應模式來預測和適應新的環境，而反應模式的修飾遵從貝葉斯原理”這一基本規律[9]．

2.2 教學改進方案設計

介紹幾何學起源于古代土地測量和圖案設計，指出面積問題是古代幾何學研究的一類重要問題，而正方形面積是最簡單的圖形面積．接著出示任務1：用兩個邊長相等的正方形紙片，讓學生把它剪拼成一個大正方形（如圖10）．

圖10

在學生完成任務1并進行反思總結和再給出任務2：再讓學生把兩個大小不同的正方形紙片剪拼成一個大正方形（如圖11）．

圖11

在學生完成任務1后，對探究操作過程進行如下分析，以便為學生完成任務2提供啟發線索：在任務1中，是怎樣想的呢？是先通過連接兩個小正方形的對角線把正方形等分成兩個全等的三角形（如圖10右），這樣做的目的是找到拼成的大正方形的邊，根據小學學過的正方形定義（4個角都是 90o，四邊相等），因此，確定的鄰邊既要相等又要互相垂直，而如圖10右邊的圖這樣連接兩個正方形的對角線則恰好能滿足這兩個要求．

在學生進行任務2前，需要引導學生類比任務1，比較兩者的相同點和不同點：相同點是都要求用兩個正方形紙片剪拼成大正方形（總面積不變），不同點是兩個正方形從大小相同變成了大小不同，怎么辦？引導找到下面邊沿上的適當一點，構造大正方形的一對鄰邊（如圖11）．這樣，學生能自己找到從兩個連體正方形的下底邊上找到恰當的分割點．在學生完成每一個任務后，對拼圖過程進行幾何畫板動畫展示，加深學生的認識．

在學生完成上述兩個任務后，引導學生把這種面積數量關系轉譯成直角三角形的三邊關系，這樣，由于學生可以從易到難地通過類比形成探究思路，學生就可以自然發現勾股定理的結論．

在學生發現勾股定理后，組織學生辨別勾股定理的內容，介紹相關的數學史及不同的證明方法，介紹傳說中的畢達哥拉斯發現勾股定理的過程和趙爽弦圖，比較該方法發現的勾股定理及證明，實質上與趙爽的證明方法相同．讓學生體會自己發現的價值，學習數學文化，享受發現的快樂．在此基礎上，讓學有余力的學生在課外自己書寫出勾股定理的證明過程，查閱勾股定理證明的相關文獻．

3 教學對比實驗過程

3.1 樣本的選擇

在浙江省仙居縣安洲中學選擇3個平衡班A、B、C，這 3個班級近 3個學期的期末考試成績總體平均分用SPSS19.0進行獨立樣本的均值t檢驗，結果如表1—4．

表1 各班3個學期期末考試成績均值及標準差

表2 A班B班均值t檢驗結果

表3 A班和C班均值t檢驗結果

表4 B班和C班的均值t檢驗結果

經檢驗，A、B、C班3個學期的期末考試成績的均值檢驗中Sig值均大于0.2>0.05，因此沒有顯著性差異．

A、B兩個班級為實驗班，C為控制班，實驗班采用改進后的教學方案進行教學，其中 A班由研究者親自實施教學，B班由任課教師在學習并觀摩研究者教學后自己去實施教學，C班則在教師觀摩研究者教學前由教師本人按照人教版教材中的內容呈現方式實施教學．實驗過程進行錄像，拍攝學生拼圖的照片，實驗后進行問卷調查，問卷的題目是：

問卷中的問題 1是為了解學生在不同的教學方法下對自己的發現感的評價；為了進一步明確學生是否真的是自己發現定理的，采用問題2通過讓學生回顧發現過程及發現時所用的典型圖形來進行確認，若學生能完成回憶起操作步驟及典型圖形，說明學生是經過自己的操作和思考經歷了再發現過程．

4 效果分析

4.1 實驗過程分析

教學實驗過程中，學生完成任務1用了6分鐘，對方法總結用了3分鐘，而在進行任務2操作前，教師進行5分鐘的分析引導（主要強調類比，比較任務1和任務2的相同點和不同點，把任務1中先確定拼成的大正方形一組鄰邊的方法遷移到任務 2，再分析方案的不同點，確定剪拼方案），然后讓學生獨立思考和相互合作進行剪拼活動，用時20分鐘．介紹數學史用時3分鐘，解決勾股定理的實際應用問題“已知一旗桿的影子長為3 m，陽光光線與地面夾角為60o，求旗桿高度”，體會勾股定理的價值，讓學生知道已知直角三角形中的兩邊長可以求出第三邊的長，用時3分鐘；課堂小結用了3分鐘．教學過程中，大部分學生能自己獨立或與同伴合作完成兩個拼圖任務，快的學生在任務 2中用了 6分鐘，慢的則用了20分鐘．

下面是A班學生課堂探究中拼成正方形的兩張照片（如圖12）．

圖12

4.2 問卷調查分析

對于問卷中的兩個問題的數據分析如表5.

表5 問卷調查統計分析

從中可以看出，實驗班A、B認為自己發現定理的比例比控制班C分別高出近50%、15%，實驗班A、B能完整回憶起探究步驟并能畫出關鍵圖形的比例分別比控制班高出37%、17%，實驗班A、B能說出步驟不能準確畫出圖形的比例分別比控制班高21%和7%，實驗班A、B不能說出步驟也不能準確畫出圖形的比例分別比控制班低44%和20%．

此時的公共空間則象征性地存在于貴族行為和個人行為上，已不再像是古希臘時期所呈現的個人自我價值實現的意義場所。“在那里它們只有私人的重要性，從而真正的公共領域蕩然無存”[6]。公共空間只是領土主權的權利表達，不再能把國家和人民相互聯結起來。教堂和其附屬的廣場充當了人們的公共空間，教會占據了人生活的一切，控制著人的活動，這使孕育體育運動的土壤逐漸消逝。人自身受到擠壓，人的權利、地位、歷史都在此失去色彩。慶幸的是，隨著商品貿易和信息的全球化，人逐漸走向自我覺醒和解放，人的公民意識開始建立在公眾的共識上，開始營造平等、自由、公開的公共交往，這為塑造更人性的公共空間提供了前提條件。

對于能說出探究步驟并能畫出典型圖形，能說出探究步驟但不能準確畫出典型圖形，不能說出探究步驟但能畫出典型圖形，不能說出圖形也不能畫出典型圖形的學生分別賦分5、3、1、0，在收集數據后用SPSS19.0軟件進行獨立樣本的均值t檢驗，結果如表6—9．

表6 各班問卷調查賦分成績均值和標準差

表7 A班和B班問卷調查賦分均值t檢驗結果

表8 A班和C班問卷調查賦分均值t檢驗結果

表9 B班和C班問卷調查賦分均值t檢驗結果

表7、表8和表9中的Sig值都小于0.05，說明3個班級問卷調查的賦分成績均值有顯著性差異．

上述數據表明采用改進方案進行教學，學生認為自己發現定理的人數多了，能回憶起探究步驟和圖形的人數多了．在實驗班中，也有學生創新性地應用三角形版輔助設計方案，其作品如圖13．

圖13

實驗班和控制班學生問卷中回憶出的探究發現勾股定理的典型圖形如圖14和15．

實驗班A和B（如圖14）：

圖14

控制班C（如圖15）：

圖15

4.3 討 論

從問卷調查分析可以看出，A班效果好于B班，B班效果好于C班．由于A班由研究者親自執教，對于難點的引導和啟發比較到位，這樣，學生能較為順利地從任務1的操作中提取探究經驗并遷移到任務2中去，B班由原任教師執教，在教學中對難點的啟發不夠到位，影響了學生任務 1的經驗形成和遷移，效果與A班有差異．但是，由于B班和 C班是同一個老師用兩種不同方法進行教學，其學生表現出的差異更具有說服力．問卷調查結果表明，采用改進設計后的教學方案，能有效改善教學效果．

改進設計后的教學能有效改進教學效果，其原因是：

（1）任務簡單自然，把兩個相同的正方形剪拼成一個大正方形，由于在人教版教材七年級下冊的實數一章中已經做過，有經驗支撐，是原有經驗的提取，容易完成，從任務1到任務2是問題的一般化，其發展也是極為自然的．而且，由于課堂中只有兩項任務，減少了課堂容量，從而學生的探究和思考時間更加充分（學生自己探究時間超過26分鐘）．

（2）任務之間有內在必然的關聯，任務1的探究活動可以為任務2操作積累有效的活動經驗，這種基于任務的類比探究可以幫助學生形成并遷移拼圖活動經驗．

（3）探索發現和證明思路連貫，探索發現的過程能啟發證明（驗證）的思路，這樣便于學生自然合理地分析和思考．

（4）學生學習過程是真正的發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的探索發現和驗證的過程，通過自身探究發現的知識更容易被理解和記憶．

[1]劉熏宇．高級中學課本平面幾何[M]．北京：人民教育出版社，1954．

[2]余元慶，奚今吾，管承仲，等．高級中學課本平面幾何[M]．北京：人民教育出版社，1955．

[3]北京市中學數學試用課本第一冊下冊[M]．北京：北京人民出版社，1977．

[4]范良火．義務教育初中數學實驗教科書（八年級上冊）[M]．杭州：浙江教育出版社，2006．

[5]馬復．義務教育教科書·數學八年級上冊[M]．北京：北京師范大學出版社，2013．[6]林群．義務教育教科書·數學八年級下冊[M]．北京：人民教育出版社，2013．

[7]朱哲，張文忠．中日新數學教科書中的勾股定理[J]．數學教育學報，2011，20（2）：84-87．

[8]李文林．數學史概論[M]．北京：高等教育出版社，2011．

[9]Chris Frith．心智的構建—腦如何創造我們的精神世界[M]．楊南昌譯．上海：華東師范大學出版社，2012．

Experimental Study on Teaching Method of Pythagorean Theorem

WU Zeng-sheng1, ZHENG Yan-hong2, LI Hong-yan2, CHEN Ya-fen2
(1. Xianju Teaching Research Office, Zhejiang Taizhou 317300, China; 2. Anzhou Middle School, Zhejiang Taizhou 317300, China)

The Pythagorean theorem is an important theorem in mathematics, in the teaching, we should strive to enable students to engage in activities of refinding the theorem aturally and reasonably, to infiltrate the mathematical culture. Through the following two tasks to guide students to carry out research activities: (1) to cut spell a big square with the same size of two square piece of paper; (2) to cut spell a big square with different sizes of two square piece of paper. let the students complete the task (2) by analogy of task (1), to find the Pythagorean theorem naturally in the process of solving the problem. to design the following teaching experiment research scheme: comparing this teaching method and use method that Pythagoras found the theorem in legend. The results show that the new teaching method has a stronger sense of discovery, and it has better effect to find the memory of the discovery process.

Pythagorean theorem; teaching experiment; found again

G632.0

A

1004–9894（2017）01–0050–05

[責任編校：周學智]

2016–08–21

浙江省2014年教育科學規劃課題——基于腦、適于腦和發展腦的數學教學實踐研究（2014SC295）

吳增生（1962—），男，浙江仙居人，浙江省特級教師，教育部國培專家庫成員，浙江師范大學教育碩士實踐導師，主要從事中學數學教育研究．