基于學生思維培養的數學定理教學的調查與分析
——以“圓周角定理”教學設計為例

伍春蘭

（北京教育學院 數學系，北京 100120）

基于學生思維培養的數學定理教學的調查與分析
——以“圓周角定理”教學設計為例

伍春蘭

（北京教育學院 數學系，北京 100120）

運用“PCK-方式”分析框架，通過對“圓周角定理”教學片段的評議和設計的對比分析與總結，反推教師培養學生思維能力的PCK差異，得到結論：數學教學中關注“過程”已成共識，但缺少思維價值的問題或操作充斥教學過程，而有些教師渾然不知．參訓者浸潤在真實的教學現場——常規課堂中，通過講課或觀課（平均每月兩次的頻率）前后的設計反思、小組合作的磨課互學、培訓者與參訓者的同課異構及專業引領的說課議課等主要形式，能影響教師的教育觀念，進而改變教師的行為．

思維；圓周角定理；浸潤式；PCK

1 問題提出

多年的教師培訓及相關調研，發現不少數學教師雖然贊同“數學教育的基本目標之一就是提高學生的數學思維能力”[1]，也認識到“數學教育作為促進學生全面發展教育的重要組成部分，既要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，更要發揮數學在培養人的思維能力和創新能力方面的不可替代的作用”[2]．但對思維能力培養的認識上有偏差，因此在教學實踐中很難將認同的理念自動地對其教學產生影響．

中學數學學習過程中概念的形成、結論的推導、方法的思考、問題的發現和提出、規律的揭示和證明、習題的解決等過程都是培養學生數學思維能力的極好機會，可是如何挖掘這些內容的思維因素，怎樣培養學生的數學思維能力，學生數學思維水平應達到何種程度等，不少教師對此缺乏系統思考．“深度挖掘教材中各種數學概念、結論等背后的隱性知識，達到與隱性知識的深度對話，有助于提高數學課堂實效和學生的綜合能力”[3]的高水平教師不多．一些農村地區的教師，經常以自己的學生水平差，家長不管不顧為由，在實際教學中代替學生思維，過多地包辦代替．有些教師以極低思維含量的問題串提問學生，得到標準答案后就認為是培養了學生思維．有些內容本應該讓學生獨立思考，卻被所謂的教師引導、自主學習、合作學習或動手操作淹沒了．有些教師“過分重視邏輯思維訓練、而忽略直覺思維培養的傾向，不僅使學生學得辛苦，降低了發現、探索、創造的欲望和意識，也使數學落下了呆板單調、枯燥乏味的‘壞名聲’”[4]．“有相當數量的教師把應試做題作為學生的主要活動，而并沒有把大部分時間用于學生的探究、試驗、討論、交流、歸納、猜想的真正意義的思維活動上”[5]．“一線教師在影響學生數學思維水平的因素方面有著較為清楚的認識，但是在改變這些因素的不利影響方面卻由于現實的多方面問題而沒有根本性的切實行動”[6]．

凡此種種，說明了“常規思維的改進，與專業（數學）思維的學習，從而逐步學會想得更深、更細、更合理、更有效”地促進學生思維發展的目標沒有落實[7]．數學作為思維科學，在培養人的思維的深度、廣度、系統性等方面優于其它學科或其它方式[8]并沒有充分體現．

在中國知網（http://cnki.net）上截止到2016年11月，以“數學思維”為檢索詞，按“主題”搜索的成果有10萬多，按“篇名”搜索的成果有2萬多，按“關鍵詞”搜索的成果有2千多．研究成果來自于高校學者、研究生、教研員，更多地來源于一線教師．這足以說明“數學思維”是數學教育的一個熱點、重點問題，也是難點問題．但是眾多研究成果，從教師培訓的角度，特別是教師行為干預上的研究極少．

2016年初，研究者以北京市某區名師工作室為主體，輻射該區的9所中學的32位初中數學教師，開展了“基于學生數學思維能力培養的教學改進”的浸潤式研修之旅．即參訓者浸潤在真實的教學現場——常規課堂中，通過講課或觀課（平均每月兩次的頻率）前后的設計反思、小組合作的磨課互學、培訓者與參訓者的同課異構及專業引領的說課議課等主要形式，以實現研修之目標．

2 調查設計

調研采用兩組對比方式，組一是研修7個月后的32位初中數學教師，組二是未參加培訓的北京市初中數學教師12名和某地赴京參加培訓的84名初中數學教師．組二與組一教師（見表1）大部分的教齡在10年及以上，職稱一級及以上，入職時學歷大專或中師，學校所在生源相對所在市的背景基本一致，不一致的是組二非京籍教師所任教的每班學生人數更多，考試壓力更大．

調研目的：（1）了解初中數學教師課堂培養學生思維的現狀；（2）了解培訓7個月后教師的變化，以備后面更有針對性地培訓．

表1 教師教齡與職稱及學歷調查

調查問卷分4部分．第一部分是基本情況調查；第二部分了解數學概念、定理教學，被調查者重視學生思維參與的程度（選擇題），培訓過的被調查者還要指出學習前后是否有變化．第三和第四部分，題干是一個概念（圓周角）和定理（圓周角定理）的教學片段，被調查者寫評議，并給出自己的設計要點．

選擇圓周角概念和圓周角定理作為調查內容，主要理由有三點．其一，它們是初中數學“圖形與幾何”領域的核心概念和定理，也是初中數學的重要內容；其二，各版本教材一般將此內容安排在九年級，與其它內容的聯系較多，培養學生的思維點也較多．其三，該內容在7個月的培訓中還沒有作為研究課研討過．

培養學生思維能力的效果，由教師相應的PCK所決定的．研究運用“PCK-方式”分析框架，通過對圓周角概念和圓周角定理教學片段的評議和設計（顯性方式）的分析與總結，反推教師培養學生思維能力的PCK差異．

報告只涉及圓周角定理引入、分類、猜想及證明的調查與分析．

3 評議分析

3.1 片段展示

調查提供了“圓周角定理”第一課時的片段（研究者改編的某獲獎設計），其內容如下．

師：請用量角器量一下圖1的4個角：∠APB、∠AQB、∠ARB和∠AOB，它們之間是什么關系？你能得到什么猜想？

生：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．

師：一條弧所對的圓周角有多少個？

生：無數個．

圖1

師：對，如果能證明猜想，我們還能夠得到同弧所對的圓周角相等．參看圖 1，AB弧上的圓周角與圓心的位置關系歸納起來有幾種情況？

生：3種．

師：哪3種．

生：圓心在圓周角的一邊上、內部和外部．

師：好，我們分3種情況證明猜想．先看圓心在圓周角的一邊上……

3.2 對教學片段所持不同態度的比例

被調查者對圓周角定理教學片段的評議，可歸納為 3種意見：贊同，部分贊同，基本否定，情況統計見表2．

表2 對教學片段所持不同態度的比例

持基本否定態度的教師，認為該設計牽著學生鼻子，學生機械地跟著教師朝前走；禁錮（束縛、綁架）了學生思維，思維沒有得到鍛煉．

持贊同態度的教師，認為設計理念較好，讓學生探究，得出結論，再去證明，符合學生的一般認知規律．

事實上，作為“圓周角定理”第一課時的學習，以下問題應該也適合（啟發到位）學生思考：

為什么要研究圓周角與圓心角的關系？圓周角與其它角（如圓內角、圓外角）的關系值得研究嗎？

為什么研究圓周角與圓心角處于同弧位置的關系？還有其它位置（如同弦）值得研究嗎？從哪些方面研究圓周角與圓心角的關系？

猜想圓周角與圓心角的大小關系，除了借助量角器度量的方法、折疊重合的方法進行，作為初三學生還有其它方法嗎？

如何想到按圓心與圓周角的關系，將圓周角分為三類？

為什么分三類證明猜想（圓周角定理）？

為什么先證明圓心在角的一邊上情形？

……

調查提供的教學片段以上問題一個也沒有讓學生思考，而以低思維含量的問題串牽引學生，學生的思維參與極低．

由表2可以發現，參訓7個月的教師有81%能透過現象發現設計的問題，而對比組僅有17%持基本否定的態度，足以說明干預的效果明顯．

3.3 關注學生思維參與的比例

被調查者對圓周角定理第一課時設計片段，主要環節可概括為：定理引入；圓周角分類；猜想圓周角與圓心角關系；分類證明．有些教師將引入和猜想合一，有的用分類作為引入，分類有在猜想之前，也有在猜想之后或證明之始．表3匯集了被調查者設計的各環節關注學生思維參與的比例．

表3 關注學生思維參與的比例

100%的被調查者注意到了定理教學的過程，但從表 3可以發現，其教學過程關注學生思維參與的比例較低，特別是未參與相關培訓的教師．不少教師設計的過程是以問題串實現的，而問題串幾乎為“是什么”的問題，未涉及“為什么”的問題，或“怎么樣”的策略問題，沒有營造思維的空間，學生的思維能力也無從發展．這樣的問題串，映射出教師的PCK僅僅將定理作為事實性知識教學．

4 調查結果

持贊同態度的59%的教師（表2中的組二），其設計與所給片段基本相同或稍作調整，比如先讓學生測量 4個角（圖1），將問題具體為：（1）3個圓周角什么關系？（2）3個角和圓心角有什么關系．

有16%的教師換掉圖1，而改為先讓學生任意畫同一條弧所對的圓周角和圓心角，分別測量兩個角的大小．再讓學生畫該弧的另一個圓周角，并思考這樣的圓周角能畫多少個，然后猜想圓周角與圓心角度數之間的關系．

上述兩種設計，前者來源于研究者提供的設計，后者來源于教材．此現象說明：（1）不少教師易受“權威”的影響，教學設計前期分析研究不夠；（2）多數教師滿足于與學生互動的教學過程，沒有意識到這些直接指向結果的操作和問答是低思維參與的活動；（3）不少教師不知怎樣設計“腦動”大于“手動”和“嘴動”的活動．

參與“基于學生數學思維能力培養的教學改進”項目的32名教師，自我陳述“每一個數學定理的教學，我都重視學生思維的參與”，60%的教師由學習前的“基本符合”到現在的“完全符合”，16%由學習前的“不符合”到現在的“基本符合”，3%由學習前的“不符合”到現在的“完全符合”，3種改變合計有79%的教師．結合這些教師參加培訓后的設計、反思及課堂實踐，這種轉變正在發生．表2與表3的對比數據，也表明針對性的持續浸潤式培訓，特別是培訓者參與的同課異構，對參訓教師觀念的轉變與行為的跟進有較大影響．

同時發現，教學是否真正創設了學生思維參與的空間，與教齡、學歷、職稱的相關性較弱，但與教師對數學教育教學內容本質的認識和教育視野的寬度、高度程度密切相關．

5 結論與建議

定理學習是培養學生思維能力的優質素材，創設思維的空間，將思維能力的培養自然融入到教師的教學行為中，需要專業引領．

5.1 結 論

數學教學中關注“過程”已成共識，但缺少思維價值的問題或操作充斥教學過程，而有些教師渾然不知．參訓者浸潤在真實的教學現場——常規課堂中，通過講課或觀課（平均每月兩次的頻率）前后的設計反思、小組合作的磨課互學、培訓者與參訓者的同課異構及專業引領的說課議課等主要形式，能影響教師的教育觀念，進而改變教師的行為．

5.2 建 議

5.2.1 引入要關注問題提出

創設學生經歷研究圓周角度數問題的發現和提出過程，例如從圓周角出發，讓學生思考可研究的問題：研究圓周角角度的范圍、與什么相關（弧、弦、圓心角……）；研究圓周角位置（一個角、兩個角……）、圓周角與圓心角的位置關系……即，不靜止孤立地研究圓周角與圓心角的度數問題，而是站在數學系統的角度有序思考，這既是數學學科本身的要求，也是學生思維發展的需要．

5.2.2 過程要重視為什么及怎么想的問題

為什么及怎么想的問題是最有思維價值，教師在教學內容分析時，要先問問自己，想寬想深想高，然后再進行教學法加工，并合宜地拋給學生．

5.2.3 思考要在做之前

顯然“想”在“做”之前，比“想”在“做”之后思維參與度要高，當然要杜絕“只做不想”的零思維活動．因此隨著學生年齡的增長，“想在做之前”這條原則在數學教學，特別是定理教學更應發揚光大．

5.2.4 特例既是猜想也是證明的突破口

問題1：Rt△ACB中（圖2），點O是斜邊AB中點，則點A、B、C在同一圓上嗎？為什么？

問題2：在圖3中，你看見幾個圓周角，幾個圓心角，它們有關系嗎？證明你的發現．

問題3：問題2證明的結論，你還能得到什么猜想？如何證明？

圖2

圖3

3個問題是遞進的，也是開放的．

利用斜邊中線等于斜邊一半，學生很快得到A、B、C在同一圓上．圖2是數學的基本圖形，斜邊中線性質也是學生熟知的，但A、B、C共圓的結論是新的，這個結論將原問題的元素（點、線、角）轉化為圓中的相關元素（圓心、圓上點；半徑、直徑、弦；圓周角、圓心角），不僅起到了承上啟下之目的，也為將來的幾何問題相互轉化，借助圓的旋轉不變性、對稱性、圓周角的靈活性解決問題打下伏筆，同時也激發了學生挑戰的欲望．

在問題2中，學生很易發現3個圓周角：∠ABC、∠BCA、∠CAB，其和為180°；3個圓心角（當然不止3個）：∠COA、∠COB，∠BOA（此角有些學生意識不到，需稍加提示），其和為360°；∠BCA=1/2∠BOA．于是學生能猜想到另兩組同弧的圓周角與圓心角的半倍之間的關系，并能證明．在此基礎上，學生自然會討論圓周角與圓心角的位置關系，順利得到圓周角與圓心角角度關系的猜想，繼而分情況并轉化為特例情形證明．

上述設計關注到學生已有的經驗，溝通了知識間的聯系．這個特例的選取，一方面突破了猜想、分類證明的困惑，避免了度量猜想的低思維活動，也增大了學生思維的空間．

提升學生思維能力，首先需要在實踐中讓教師清醒地認識到：“數學中最重要的是動腦、而不是動手”[9]；“數學思維往往以已有的東西（活動、運演、概念、理論等）作為直接的分析對象，并就主要表現為由較低的抽象層次上升到了更高的層面”[9]．其次，提升教師對數學教學內容本質和教育價值的把握，繼而轉化為相應的PCK．

[1]普通高中數學課程標準（實驗）[M]．北京：人民教育出版社，2003．

[2]義務教育數學課程標準（2011年版）[M]．北京：北京師范大學出版社，2012．

[3]李祎．高水平數學教學到底該教什么[J]．數學教育學報，2014，23（6）：31-35．

[4]寧連華，涂榮豹．中國數學基礎教育的繼承與發展[J]．數學教育學報，2012，21（6）：6-9．

[5]宋輝，惠群，余水．高中數學教學現狀調查研究——基于教師專業素養的視角[J]．數學教育學報，2014，23（6）：58-62．

[6]周超，鮑建生．形成學生高水平數學思維的策略——一線教師之觀點[J]．數學教育學報，2012，21（4）：36-39．

[7]鄭毓信．“數學與思維”之深思[J]．數學教育學報，2015，24（1）：1-5．

[8]單墫．數學是思維的科學[J]．數學通報，2001，（6）：0-2．

[9]鄭毓信．數學教育改革十五誡[J]．數學教育學報，2014，23（3）：1-7．

Investigation and Analysis of Mathematical Theorems Teaching Based on the Training of Students’ Thinking——Taking Teaching Design of “Inscribed Angle Theorem” as an Example

WU Chun-lan
(Mathematical Department, Beijing Institute of Education, Beijing 100120, China)

Adopting the framework “PCK-way” analysis, through comparative analysis and summary to review of “inscribed Angle theorem” teaching segments and design, a conclusion can be drawn out with inverse method to investigate PCK difference for teachers training students’ thinking ability: in the mathematics teaching focus on “process” has become a consensus; but the problem or operation are lack of thinking value are full of the teaching process; and some teachers are not aware of them. Trainees present at the scene of the real teaching site, i.e., a regular classroom, through reflection of teaching design before and after the lecture or observation (twice a month on average frequency), mutual learning among members of small group, discussion among trainers and trainees on heterogeneous forms for the same subject and professional guides as main form, the teacher’s education idea can be affected, and their behavior can be changed.

thinking; inscribed Angle theorem; infiltrating type; PCK

G632

A

1004–9894（2017）01–0055–04

[責任編校：周學智]

2017–01–10

北京市教育學會“十三五”規劃課題——基于學生數學思維能力培養的教學改進研究（FS2016-032）；天津市哲學社會科學規劃重點項目——立德樹人背景下中學生學科核心素養測評——以語數外為例（TJJX16-007）

伍春蘭（1963—），女，廣東臺山人，副教授，主要從事數學教育研究．