解代數(shù)應用題的認知模型建構

張 玲，劉 靜

（西南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，重慶 400715）

解代數(shù)應用題的認知模型建構

張 玲，劉 靜

（西南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，重慶 400715）

問題解決的認知研究一直是熱點問題，扎根于數(shù)學學科中解代數(shù)應用題的重難點教學內(nèi)容，運用認知分析法，對已有“問題解決”認知研究進行文獻梳理與述評，歸納細化出解代數(shù)應用題的三維認知過程模型．基于此模型的特點與規(guī)律、認知心理學和認知診斷理論，從“操作”和“圖式”兩大認知成分出發(fā)，析出解代數(shù)應用題的7個認知屬性：基本算術運算A1、多步運算A2、基本數(shù)量關系A3、復雜知識的圖式A4、識別隱含條件A5、算式表征A6、正規(guī)代數(shù)策略A7，從而建構解代數(shù)應用題的認知結構模型．最后運用口語報告法及流程圖分析法來質(zhì)性評估認知屬性及屬性間層級關系．為此，將理論反哺于教學實踐，為教師數(shù)學應用題的有效教學、自上而下測驗的編制、以及教師針對學生問題解決的補救性教學提供可操作化的理論基礎．

代數(shù)應用題；認知過程；認知診斷；認知屬性；認知結構

1 引 言

1980年美國數(shù)學教師聯(lián)合會（NCTM）正式提出“問題解決”的觀念，指出“數(shù)學課程應當圍繞問題解決組織……問題解決的成績將是衡量數(shù)學教育成效的有效標準”．而中國2011年頒布的《課標》也將“問題解決”作為重要的四維課程目標之一[1]．解應用題是問題解決的一個重要體現(xiàn)形式，其中區(qū)別于算術應用題的代數(shù)應用題是小學生問題解決中最突出的重點內(nèi)容．分析解代數(shù)應用題的認知過程能幫助學生深入理解學習的過程，是提高學生解應用題能力的有效途徑，亦是教師強化問題解決教學理論的重要路徑之一．

對于問題解決的認知研究，不同學者一直莫衷一是，但很難定于一尊．從聯(lián)結主義桑代克的試誤說、行為主義斯金納的強化說、格式塔柯勒的頓悟說，到信息加工認知心理學的發(fā)展，其代表人物紐厄爾和西蒙認為問題包括一個問題空間，即問題的初始狀態(tài)、目標狀態(tài)、中間狀和所有的算子及步驟構成，問題解決是運用算子，從一個狀態(tài)轉向另一個狀態(tài)的過程[2]．研究者亦是在此基礎上分化出問題解決認知過程的不同階段．從問題解決的心理機制研究視角出發(fā)，歸納具體化解代數(shù)應用題的認知過程，基于認知診斷的研究目標，建構解代數(shù)應用題的認知模型，運用口語報告法對認知模型進行質(zhì)性分析驗證．

2 數(shù)學問題解決認知模型研究述評

通過對國內(nèi)外與（數(shù)學）問題解決認知過程相關的文獻整理分析，從主要認知模型間的同異之處和模型研究的發(fā)展空間兩部分進行綜述研究．在此基礎上，歸納細化出解代數(shù)應用題的認知過程模型，為后文認知結構模型的建構搭建理論橋梁．

2.1 主要認知模型間的同異之處

2.1.1 模型建構均以思維邏輯發(fā)展順序展開

基于認知加工理論建構的問題解決模型，多以其代表人物紐厄爾和西蒙提出的關于問題和問題解決的定義為理論基礎．即運用算子，從問題的一個狀態(tài)轉向另一個狀態(tài)的過程，最終實現(xiàn)從問題的初始狀態(tài)到目標狀態(tài)[2]．這個狀態(tài)的轉換過程是以問題解決的思維邏輯發(fā)展順序展開的，符合解決問題的心理發(fā)展規(guī)律．對于狀態(tài)轉換的描述不盡相同，如楊東從“表征”的視角出發(fā)，認為問題解決者內(nèi)部表征與外部表征不斷地進行雙向建構的過程[3]．綜合言之，對于認知模型均以解決問題的思維過程時間段來進行劃分．但是這個思維的過程并不是線性的，當所選擇策略無法執(zhí)行時需重新分析問題制定計劃并開展新一輪的認知過程，所以認知模型中階段間邏輯思維的發(fā)展具有非線性的特點．

2.1.2 模型建構的劃分階段雖呈現(xiàn)方式不同但經(jīng)歷大抵相同

在模型的建構中，以階段劃分為主，提煉的結果、呈現(xiàn)方式雖不同，但大抵經(jīng)歷相同．主要可以概括為以下 5個階段．

（1）審題，即對問題中的文字信息進行理解，明確已知條件、未知條件和各條件間的相關關系．對應為不同研究者提出的問題解決模型中“理解問題”[4]、“讀題”[5]、“問題轉化”[6]等階段；（2）分析問題，即分析問題的數(shù)量結構和情境結構，從已有認知結構中找到與之相關或許匹配的圖式，也即模式識別，問題整合的過程．對應為“分析”和“探索”[5]、“問題整合”[6]、“理解題目”[7～8]、“表征問題”[9]、“問題轉移、問題整合”[10]等階段；（3）計劃解題，即組合相關提取出的圖式，選擇對應的解題策略，制定符合邏輯的解題計劃．對應為“制定計劃”[4]、“計劃”[5]、“解答計劃”、[6]“選擇算子”[7]、“擬定方案”[8]、問題解決計劃[10]；（4）執(zhí)行計劃，即對所制定的解題計劃中對應的解題策略驗證的過程．對應為“執(zhí)行計劃”[4]、“執(zhí)行”[5]、“解答執(zhí)行階段”[6]、“應用算子”[7]、“執(zhí)行方案”[8]等階段．此過程不是一蹴而就的，不同的解題計劃會經(jīng)歷不同的往復過程；（5）回顧反思，即對解題過程進行再驗證并形成新的認知結構儲存于原有認知體系中．對應為“反饋與檢查”[4]、驗證[5]、“結果評價”[7]、“思路總結”[9]等階段．

2.1.3 歸納具體化解代數(shù)應用題的三維認知過程模型

經(jīng)過文獻梳理，以經(jīng)典 Mayer的解應用題問題解決的認知加工過程為理論基礎，述評已有數(shù)學問題解決認知加工模型，綜合歸納得出宏觀上的解代數(shù)應用題認知加工過程為：審題—分析問題—擬定計劃—執(zhí)行計劃—反饋反思 5個階段．再依據(jù)Sebrechts等的每個階段進行細化過程，即個體數(shù)學認知結構與特定問題情境之間不斷交互作用的動態(tài)細化過程[11]，即細化個體由最初已有的圖式表征的初始表征狀態(tài)轉換到最終問題的答案的表征過程[3]．建構如圖1所示的三維認知過程模型．

圖1 數(shù)應用題認知過程模型

2.2 認知模型研究的發(fā)展空間

2.2.1 研究對象的具體化以反哺教學實踐

數(shù)學問題解決過程、解應用題認知過程已有大量研究，取得了較大成就，但仍有可研究的切入視角與空間．對于問題解決的認知過程分析能夠帶給執(zhí)教者一定的理論基礎，能夠揭示問題解決過程中的一般性規(guī)律，理論提煉于實踐，但如何將理論反哺于實踐的研究較少，這也就是為什么一線教師擁有理論卻無法用理論指導教學的原因．故研究者從研究對象出發(fā)，將學科知識具體化為建構認知模型的研究對象、內(nèi)容．因數(shù)學學習心理有其自身的特殊性，喻平在對《數(shù)學問題解決的實證研究述評》中提到，不同的數(shù)學知識學習有不完全相同的心理過程，不同的問題解決階段也有不同的思維形式[12]．基于不同教學內(nèi)容建構具體化的認知模型不僅對學生問題解決內(nèi)部心理機制的研究具有重要意義，對教師針對具體內(nèi)容的問題解決的建構教學模式和選擇實踐操作策略等的重要性程度亦可見一斑．

2.2.2 研究視角的多元化以提高模型的針對性

綜述已有認知模型，以思辨式的建構方法為主．結合實證研究能在一定程度上客觀地揭示問題解決的內(nèi)部心理發(fā)展機制，某種程度上又受到如樣本的選取、不可控制變量等客觀因素的影響和局限．最近不少新的視角方法匯聚至學生問題解決過程研究中，如黑田恭史曾使用真實課堂教學的教學任務，測量學生問題解決過程的腦活動數(shù)據(jù)，從而獲得腦活動與學生理解過程之間的關系[13]；岳寶霞等提出心理學中眼動分析法對數(shù)學解題的研究更接近于純實證研究，有利于探索出培養(yǎng)學生解題的最佳訓練策略[14]；另陸珺等也提到在數(shù)學認知結構研究領域有些問題無人問津，如沒有針對如何測查學生的數(shù)學認知結構進行相關深入研究等[15]；基于信息加工理論研究問題解決的認知模型是開辟內(nèi)部心理機制研究的新出口，而隨著計算機科學、認知科學及數(shù)理統(tǒng)計等學科不斷深入心理與教育測量學領域，建構符合教育測評發(fā)展趨勢的問題解決認知模型也是應時代之需．作為新一代測驗理論——認知診斷理論（CDT），它強調(diào)從個體宏觀能力水平和微觀內(nèi)部加工過程評估并重，也符合將微觀的問題解決過程評估融合入宏觀的問題解決能力測評中，為問題解決認知模型的建構和測查學生認知結構提供新的理論視角．

故基于具體化的研究對象——解代數(shù)應用題，心理統(tǒng)計的研究視角——認知診斷理論，以及已有問題解決的理論基礎，建構解代數(shù)應用題的認知結構模型，以為教師數(shù)學應用題的有效教學、試卷編制、學生解代數(shù)應用題的認知診斷、學生解代數(shù)應用題的補救性教學提供可操作化的理論基礎．

3 解代數(shù)應用題的認知模型構建

3.1 認知模型構建

標準測驗理論通常把其所測的宏觀心理特質(zhì)視為一個心理學意義并不明確的“統(tǒng)計結構”，從而導致其測驗結果的解釋缺乏心理學的證據(jù)[16]．同一個問題，不同被試得分相同，但內(nèi)部心理加工機制以及已有認知結構并不相同，故教師并不能有針對性地給予學生補救性教學．這里基于認知診斷理論建構解代數(shù)應用題的認知結構模型．在測量學中，認知診斷是指用于測量個體特定的知識結構（knowledge structure）和加工技能（processing skills）．

3.1.1 認知屬性

認知診斷是基于認知加工過程的診斷，是對個體認知加工過程中所涉及的認知屬性的診斷（congnitive attribute）．Leighton等認為：“屬性”是對完成某一領域問題所需的陳述性或程序性知識的描述[17]．按照功能分類，斯騰伯格認為分析性智力可分為元成分（Metocomponents）、操作成分（Performance components）和知識獲得成分（Knowledge-acquisition components）[18]．在此基礎上，楊東把信息加工的方法論和因素分析的方法論結合起來，構建了兒童解決數(shù)學應用題認知結構模型圖（MOSD模型）[3]．（如圖2）

圖2 兒童解決數(shù)學應用題認知的基本結構模型圖

基于認知診斷理論，從MOSD模型的操作成分和圖式成分析出認知屬性．圖式指個體頭腦中的知識（包括經(jīng)驗）結構．操作指個體的一種心理運算，是個體對表征符號的一種認知加工．運用認知分析法，即借助認知心理學的研究成果如問題解決、數(shù)學應用題問題解決的認知加工過程以及前文建構的解代數(shù)應用題的三維認知過程模型等，基于大量文獻論證析出解代數(shù)應用題的屬性（見表 1）．對應屬性的可操作性定義見表2．

表1 認知屬性及屬性來源分布

表2 認知屬性操作化定義

在操作性屬性成分中，“基本算術運算”A1及“多步運算”A2屬于個體的運算技能屬性，它運用于三維認知結構（如圖1）“編碼重組”、“解題計劃”和“執(zhí)行計劃”階段；“識別隱含條件”A5貫穿認知結構的前4個階段，主要為“情境結構表征”和“推理結構表征”；“算式表征”A6主要運用于“解題計劃”階段；“正規(guī)代數(shù)策略”A7主要運用于“執(zhí)行計劃”階段．這5個操作屬性是個體對借代數(shù)應用題時各表征符號的加工技能．在圖式屬性成分中，基本數(shù)量關系A3是“數(shù)量結構表征”和“推理結構表征”的基礎，而“復雜知識圖式”A4是進行“結構表征”的基礎，對于復雜知識圖式的掌握能大大縮短“解題計劃”階段的進程．

3.1.2 屬性層級關系

Leighten等認為認知屬性不是獨立操作，而是從屬于一個相互關聯(lián)的網(wǎng)絡，認知屬性間可能存在一定的邏輯順序或?qū)蛹夑P系，認知模型即為用來表征相關任務的屬性層級關系圖[17]．從解代數(shù)應用題的邏輯關聯(lián)性建構如下的層級關系（見圖3）；其中基本算術運算（A1）是掌握屬性多步運算（A2）的基礎；基本數(shù)量關系（A3）是掌握復雜知識圖式（A4）、識別隱含條件（A5）和對問題進行算式表征（A6）的前提；對于復雜應用題，需要在A4和A6的基礎上運用正規(guī)代數(shù)策略（A7）進行解答．

在一定程度上屬性層級關系體現(xiàn)的是個體心理加工過程中各認知屬性掌握的難易程度和認知發(fā)展先后順序，例如多步運算A2操作屬性比基本算術運算A1屬性更難，而且也需個體在先熟練掌握基本運算的基礎上才能掌握多步運算．從三維認知模型（如圖1）出發(fā)，屬性層級關系的邏輯起點是“編碼重組”階段，從操作和圖式知識為落腳點，以非線性的方式執(zhí)行問題解決各階段．這也將評價個體解代數(shù)應用題能力是否存在缺失，落腳到細化的具體的知識屬性的掌握上．（如圖3）

圖3 認識結構模型（屬性層級關系）

3.2 認知模型的質(zhì)性驗證

運用認知心理學研究中的口語報告法（出聲思維），要求被試在進行解答時同步大聲思維，以了解被試在作答過程中的思維過程，識別完成任務所需的內(nèi)容知識與心理過程，驗證已析出的解代數(shù)應用題的認知屬性和建構的認知模型．

3.2.1 被 試

運用分層抽樣選取某小學6年級20名學生，20名學生平時數(shù)學成績存在差異．

3.2.2 測試材料

測試材料由出聲思維的測試題、進行作答所需文具和錄音筆構成．測試題依據(jù)所界定的認知屬性及其層級關系而編制，共8題．

3.2.3 數(shù)學應用題解決的流程圖分析

由于篇幅原因，僅呈現(xiàn)其中一個項目（案例1）的分析結果．

案例1：豹子每秒跑31 m，羚羊每秒比豹子慢9 m，一只豹子正在快速追趕奔跑中的羚羊，當距離羚羊150 m時，還需多久能追到羚羊？

案例1中考察了A1（基本算術運算）、A2（多步運算）、A3（基本數(shù)量關系）、A4（復雜知識的圖式）、A5（識別隱含條件）、A6（算式表征）、A7（正規(guī)代數(shù)策略）7個認知屬性．一類被試完整完成本項目，一類被試僅完成部分，一類被試不會對此項目作答．通過對被試的口頭報告和草稿，及作答進行分析，運用Gierl、Wang和Zhou提出的流程圖分析法來評估項目的認知屬性以及它們之間的層級關系[27]．整理出的典型3種正確作答的認知流程如圖4．

（1）被試認知過程特點分析及認知屬性認定．

由口語報告及認知流程圖的認知過程分析學生解決案例1的基本認知過程特點為：① 問題編碼及編碼重組階段：即為對問題的陳述的理解，其中問題語義關系（語義類型）復雜性和問題語言陳述結構的復雜性主要影響個體對問題編碼的語義表征[28]．個體首先閱讀問題陳述，將每句話表征為對應的文本基，如：“豹子每秒跑31 m”指“豹子的速度=31 m/s”；“羚羊每秒比豹子慢9 m”指“羚羊的速度比豹子慢，值小 9”；第三句指“豹子在后，羚羊在前，豹子在追趕羚羊”；“當距離羚羊150 m”指“豹子在后，羚羊在前，相距150 m”；“還需多久能追到羚羊”指“豹子在追奔跑的羚羊，從兩者相距150 m到相距0 m需要的時間”．② 形成問題模型階段：是在建立情景結構的基礎上，運用已有認知結構，形成問題數(shù)量結構中各變量之間的具體數(shù)量關系，即問題模型[29]．在案例1中，最主要基本數(shù)量關系（A3）：路程=速度×時間；最主要的聯(lián)通架構為：豹子的行程比羚羊的行程多150 m，也為串聯(lián)起速度與問題目標“時間”的橋梁．③ 制定解題計劃階段：即對問題模型中聯(lián)通的關系分步制定實施計劃，在此階段某些關系間將直接運用已有認知結構中數(shù)量關系進行類比遷移，即結構表征，對應本例中的豹子的行程(未知)=豹子的速度(已知)×追及時間(目標)，羚羊的行程(未知)=羚羊的速度(未知)×追及時間(目標)；例 1中羚羊的速度(未知)=豹子的速度(已知)-9，識別“羚羊的速度”隱含條件（A5）是前提．④ 執(zhí)行計劃階段：即對制定的計劃運用策略實施求解出問題階段．在案例1中當個體儲存了追及問題的圖式知識（A4）時，即追及時間(目標)=路程差(150 m)/速度差(9 m/s)=50/3(s)即可；先運用非正規(guī)代數(shù)策略（A6）表示出羚羊的速度(隱含條件)=豹子速度(31m/s)-9=22(m/s)；然后運用正規(guī)策略表征（A7）“豹子行程(豹子速度×相遇時間)-羚羊行程(羚羊速度×相遇時間)=150”，最后運用四則運算法則（A1、A2）等求解最終結果．

（2）屬性層級關系驗證和典型錯誤作答分析．

能正確作答該項目的前提是能識別項目為追及問題并且熟知其數(shù)量關系：路程差=速度差×時間或情境關系：路程差=豹子行程-羚羊行程，即圖式知識（A4）；在此基礎上，能夠運用數(shù)量關系（A3）進行基本變換表示并求取目標變量“時間”亦很重要．對于使用非正規(guī)代數(shù)策略的被試而言，分為將“羚羊比豹子慢10 m/s”直接表征為速度差，和先通過識別隱含條件（A5）求取“羚羊的速度”再表征速度差，再運用算式表征（A6）列出解答該題的算式．對于使用正規(guī)代數(shù)策略（A7）的被試而言，熟知圖式知識（A4）是前提，再對應表征出豹子的行程=21x，羚羊的行程=(21- 11)x，列出方程，運用基本（A1）和多步運算（A2）計算出最后結果．

在錯誤報告該項目的被試中，典型的錯誤表現(xiàn)在：（1）能判別是追及問題并能列式表征，但操作成分中的運算屬性未掌握（A1、A2）；（2）能判別是追及問題，但不能列式表征或列方程表征；（3）能判別是追及問題，知道行程問題的基本數(shù)量關系（A2）不知追及問題的圖式知識（A4），故僅能正確識別并計算隱含條件（A5）“羚羊的速度”；（4）無法作答．

4 教學啟示

4.1 自上而下測驗的設計

數(shù)學教育的本質(zhì)是構建學生良好的數(shù)學認知結構，而要構建良好的認知結構，在教學實踐中，教師需要通過各種手段來了解學生原有認知結構，了解其認知結構中的優(yōu)勢和不足，然后才知道教什么和怎么教以完善學生的認知結構[30]．那么如何編制測驗項目以評價學生對于解代數(shù)應用題問題解決能力上的掌握情況顯得尤為重要．同樣的測驗分數(shù)能反饋被試宏觀能力水平一致，但不足以評價被試微觀上能力的差異．認知模型是測驗設計的基石，基于認知結構模型中認知屬性的特征以及屬性間層級關系，自上而下設計具體考察一個或幾個滿足層級關系的屬性的項目，以確切反饋學生每個項目上屬性的掌握情況，正確評價學生無法正確解答項目的原因．

4.2 補救性教學

針對具體學生作答測驗的分析，基于認知過程模型，可以從語義表征、情境結構表征、數(shù)量結構表征、結構表征、推理表征、正規(guī)代數(shù)策略表征和非正規(guī)代數(shù)策略表征等 7個解題認知過程分析學生表征過程及表征過程轉化中存在的薄弱點．基于認知結構模型，深入探討學生問題解決中其知識結構的優(yōu)勢與不足，如具體哪個認知屬性掌握不好，并針對這些不足，提出補救性教學建議，因才更因其不足以施教，從而達到補充學生頭腦中隱性但可知的所欠缺的知識，有效有針對性地提高每個個體的問題解決能力．

圖4 案例1口語報告流程分析

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Research on Building the Cognitive Model of Solving Algebra Word Problems

ZHANG Ling, LIU Jing
(School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China)

The research about the cognitive of problem solving has always been a hot topic. In this paper, we focus on the difficult point of teaching content of solving the algebra word problems in mathematic. Through using the cognitive analysis, do comb and review about the existing research about the cognitive of the problem solving, to construct the cognitive process model of algebra word problems. Based on the theory of cognitive psychology and cognitive diagnosis, starting from the two cognitive component of operation and schema, we has precipitated seven cognitive properties of algebra word problems: basic arithmetic operations (A1), muti-step operations (A2), basic quantitative relationship (A3), complex knowledge schemata (A4), recognition the implied condition (A5), formula characterization (A6), formal algebraic strategy (A7), to construct cognitive structure model of algebra word problems; Finally we use oral report method and flow chart analysis to qualitatively evaluate the cognitive properties and the hierarchical relationship between attributes. Therefore, feedback the theory in teaching practice, for teachers’ effective teaching of mathematics word problems and the preparation of the top-down test, and provide the theoretical basis for teachers’ remedial teaching.

algebra word problems; the cognitive process; the cognitive attributes; the cognitive structure

G40-03

A

1004–9894（2017）01–0064–06

[責任編校：周學智]

2016–09–29

張玲（1991—），女，湖北黃岡人，碩士研究生，主要從事數(shù)學教育心理統(tǒng)計與測評研究．劉靜為本文通訊作者．