五年級學生對分數意義的理解

范文貴，郝翡翠

（1．天津師范大學 初等教育學院，天津 300387；2．天津濱海新區塘沽三中心小學，天津 300451）

五年級學生對分數意義的理解

范文貴1，郝翡翠2

（1．天津師范大學 初等教育學院，天津 300387；2．天津濱海新區塘沽三中心小學，天津 300451）

在Marilena Pantziara提出學生掌握分數概念的6個水平的基礎上，給出“分數概念理解的3個水平”的思想框架．利用該框架編制測試卷，對天津市564名五年級小學生進行測試，發現：學生在“分數意義”的第三個理解水平較低；學生在“分數意義”各個知識點上表現不同的理解水平；測試總分與5個知識點得分在p<0.01水平上都呈顯著正相關，特別是分數的表征（離散量）對總分變量即分數意義的解釋程度最高．五年級學生關于“分數意義”水平與總分之間在地區學校方面存在差異性．

分數的意義；小學生；理解水平

1 研究背景

小學分數知識是整數概念的拓展，深層次理解分數概念能夠增強學生解決現實世界問題的能力；掌握分數知識結構是學生以后學習小數、比、統計與概率及基本代數運算等的基礎．分數的含義可以概括為6個方面：（1）部分與整體；（2）商：（3）子集和集合；（4）數線（number line）上的一個數值或點；（5）比值；（6）公理化定義：有序的整數對：

(p,q)，其中p10[1]．分數概念還包含許多子概念，如平均分、單位“1”、分數單位等，而這些子概念又會出現在不同的情境當中，包括離散量情境與連續量情境．

分數概念是小學階段最難掌握的內容之一．在國際上，分數概念被認為是小學數學學習階段中最復雜、最容易出現問題、也是最抽象的數學概念[2]．學生學習分數的效果不盡理想，有的學生不理解分數概念的意義，而以機械性的記憶運算法則完成計算．理解分數可以幫助兒童解決更復雜的問題，有助于兒童認知結構達到形式運算水平，并且是兒童日后學習初等代數的基礎[3]．

2 研究框架與方法

2.1 研究框架

學生在具體的情景、程序和過程中完成概念建構，再逐漸將它發展為抽象的數學概念，進一步理解符號和概念的本質．Mack推斷：學生有豐富的分數直觀感覺知識，但是他們難于掌握學校中學習的分數概念及其運算，這是因為他們學習的符號及程序與他們的非正式的知識沒有建立聯系[4]．在理解分數概念過程中，學生必須能將它放入各種不同的表征系統間；在給定的表征系統內，能很有彈性地處理分數概念；能夠很精確地將分數從一個表征系統轉換到另一個表征系統[5]．Aristoklis A提出學生理解分數的7個層級水平：（1）認識分數；（2）分數的定義及其數學方面的解釋；（3）有關分數的論證和說明；（4）分數的相對大?。唬?）分數的表征；（6）分數與小數、百分數及除法的關聯；（7）分數問題解決過程中的反思[6]．A. Sfard提出概念形成的3階段：（1）內化，學生習慣于操作低水平的數學對象的程序，逐漸發展操作這些過程的能力．（2）壓縮（或凝聚），在壓縮階段，學生不再關注細節，而是開始能夠從整體的角度思考一個復雜的過程．（3）對象的實體化或對象化，即在本質上把握概念．學生能夠將形成的具體化的結構與概念的不同形式建立聯系，學生構造概念不再依賴于任何過程[7]．與A. Sfard提出的概念發展的3個階段相關，Marilena Pantziara提出學生掌握分數概念的6個水平[8]：（1）具有程序性理解的特征．在這個水平的學生能夠運用簡單的一步一步的程序（規則）來計算同分母分數的和．（2）與水平1有著共同的特征，學生也能夠運用一步一步的程序來填寫兩個等值分數中缺失的分子，以及找到兩個同分母分數中最大的分數．（3）學生從內化階段過渡到濃縮階段認識分數概念．它既需要學生深度的程序性理解，又需要一般化的概念性的理解．例如，在這個水平的學生能夠找到一組離散物體中的分數；正確地選出等分割整體中的一個分數．（4）完全具有濃縮階段的特征．學生能夠將一個過程看做一個整體，能夠結合不同的過程，能夠做出比較以及在不同的分數表征形式間轉換．處于這個水平的學生能夠結合不同的過程，從給定的數量中重建整體．例如：2/3代表4個物體，找到1/3表示的個數，然后找到3/3代表的個數．（5）從濃縮階段過渡到物化階段，學生將分數作為一個抽象的概念．例如：學生能夠用多種形式比較兩個分數的大?。?）完全具備物化階段的特征．學生能夠明確分數的一般屬性以及各種形式之間的關系，能夠在一個對象和一個過程之間轉換，能從概念和程序的角度理解分數思想．

在以上研究基礎上，結合中國小學分數概念教學實際，給出“分數概念理解的3個水平”的思想框架：（1）學生會運用簡單的程序步驟來表示分數概念（如，平均分、確定單位“1”）、把握分數之間可逆關系（如，分數的分解與組合）．（2）辨識不同背景分數的特征；會處理分數的多種表征形式；根據問題需要轉換分數的率與量．（3）學生能夠結合問題變式條件表征分數；對單位量“1”具有彈性的思考．

2.2 研究方法

（1）文獻法：通過分析國內外相關文獻，了解分數的不同含義、學生理解分數概念的發展歷程、學生學習分數概念可能存在的錯誤類型及其原因．在此基礎上確定研究的問題，明確研究的方向．

（2）測驗法：根據教材中分數的意義這節課的內容要求，測試卷包括以下5個方面的內容：平均分、單位“1”、分數的表征（連續量）、分數的表征（離散量）和分數單位．在測試卷設計完成之后，對相應學段的學生進行了預測試，檢驗其是否合理．

（3）訪談法：根據需要對學生和教師進行開放性訪談，以便作為分析的依據．

除了上述3種方法外，在整個研究中，收集整理問卷測試數據，通過去粗取精、化繁為簡以及必要的概括，并且以恰當的形式呈現出來，解釋數據蘊含的規律．用平均數、標準差、百分比等描述性統計量表達學生對“分數的意義”3個理解水平．用積差相關分析表達測驗總分與5個知識點之間的相關性．用單因素方差分析表達學生對“分數的意義”的理解是否存在區域上的差異．

3 研究問題

研究目的——調查天津五年級學生對分數意義的理解水平，具體研究問題：（1）小學生在“分數的意義”3個理解水平上的表現；（2）小學生在“分數的意義”各個知識點上的表現；（3）測驗總分與5個知識點之間的相關性分析；（4）小學生關于“分數的意義”在水平數值與總分之間在3個區（縣）方面的差異性分析．

4 研究設計與實施

4.1 研究對象

五年級學生：A學校（天津市內）144人（男：90；女：54）、B學校（天津郊區）259人（男：148；女：111）、C學校（天津縣城）161人（男：90；女：71），總計564人．

4.2 測試卷的設計與數據編碼及評分方案

測試卷共有16道大題（共20道小題）．題型有填空題、選擇題、畫圖分析題和說明題．對試卷包含的試題進行編碼，從第一大題按順序編碼到16大題，分別用1、2、3、…、16來表示．其中第一題包含4個小題，分別用1（1）、1（2），1（3）、1（4）來表示，第八題包含兩個小題，分別用8（1）、8（2）來表示，共計20個小題．

在編碼方案的基礎上制定評分方案，這20道小題每題滿分為3分．除3、7、12題之外的填空題和選擇題，答對給3分，答錯和未作答的給0分．3題第一個空答對1分，答錯或未作答0分，第二個空答對2分，答錯或未作答給0分；7題第一空答對2分，答錯或未作答0分，第二個空答對1分，答錯或未作答0分；12題每答對題中的一個要求給1分，共計3分．對于畫圖分析的題型，13題將圖形平均分成3份給1分，畫出全部圖形的給2分；14題圈出涂黑的圓形的，給1分，填空正確給2分；15題答對給3分，答錯和未作答的給0分．對于解釋類型的回答，完全正確的解釋給3分，不完全正確但講到關鍵點的解釋給2分，有點正確沒講到關鍵點的解釋給1分，錯誤的和未作答的給0分．

4.3 測試卷內容和水平的雙向細目表及信度分析

測試卷內容和水平的雙向細目表和可靠性如表1所示．

表1 測試卷內容和水平的雙向細目表

信度分析：測試卷的信度指標 Cronbach’s Alpha為0.791，信度較高，說明這份測試卷有比較好的內在一致性（具體如表2所示）．

表2 可靠性統計量

5 研究結果

5.1 學生在“分數的意義”3個理解水平上的表現

運用SPSS19.0對測試數據處理，得到總分、平均分、標準差、得分率，結果顯示（見表 3）：學生在“分數的意義”總的情況平均分為42.48（得分率70.80%），參加測試學生總體成績不錯．學生在3個理解水平上平均分為18.40（得分率87.62%）、12.82（得分率71.22%）、11.26（得分率53.62%）．參加測試學生在“分數的意義”理解水平 1、水平2表現較好，說明學生在理解分數概念過程中，能將它放入各種不同的表征系統間，會運用簡單的程序步驟來計算、操作，能夠從整體的角度思考一個復雜的過程；而在水平3處于較低水平，說明學生理解分數概念還依賴于具體操作過

程，將分數從一個表征系統轉換到另一個表征系統的能力稍差．這與一些研究結果“學生可以機械地比較分數的大小，但要求學生有意義的解釋如何比較分數大小卻是很困難的”[9]相吻合．

表3 學生在“分數的意義”3個理解水平上的表現（N=564）

5.2 學生在“分數的意義”各個知識點上的表現

從表 4可以看出，學生在“分數的意義”得分率為70.80%，說明學生分數概念的發展是漸進性的，學生可以按程序比較分數的大小，但要求學生有意義地解釋比較分數大小的意義是很困難的．學生在“分數的意義”的每一個方面具備相應的特點，其中分數的連續量表征得分率（71.56%）高于分數的離散量表征（64.00%），說明學生解決離散量情境的分數概念問題要比解決連續量情境中的問題更困難，特別是，有的學生不理解分母及分子數字所代表“份數”的意義，對于初學分數概念的小學生來說，要求他們主動想到將兩個物體視為一份不是一件容易做到的事情．學生在平均分得分率為 67.00%，學生能夠平均分割一般連續量或離散量物體，但是分割后各部分的形狀和面積會影響學生建立平均分概念，特別是學生不能對給定的“平均分”圖形進行有機整合來正確地表示分數．

表4 學生在“分數的意義”各個知識點上的表現（N=564）

5.3 學生在“分數的意義”各個知識點上的理解水平表現

5.3.1 學生關于“平均分”在3個水平的表現

學習分數時，學生首先要學會將整體等分割，建立等分的觀念是學習分數的基礎．從表5看到，學生對平均分的概念的認識是不全面的．在處理水平1分數問題時，學生得分率比較高．解決水平2分數問題時，學生的平分概念不穩固，來自于圖示的判斷受單一因素影響，缺乏整體的考慮；有的學生只是將具體情境中的整體進行分割而忽略對其平均分割；或者有的學生不按照正確分割標準將整體進行等分割，而只是從視覺上估計是否平均分．在水平3問題，學生得分率較低，顯示有的學生會誤認為平均分就必須是分割后的每一部分的形狀、面積都相同，學生缺乏將給定的圖形進行整合重組的能力，以至于無法正確地表示分數．

表5 學生關于“平均分”在3個水平的表現

5.3.2 學生關于“單位‘1’”在3個水平的表現

通過訪談幾位教師，看到他們能夠明確教學目標：理解單位“1”的意義；能夠準確把握教學重點、難點：建立單位“1”的概念．總得分率較好．

由具體到抽象，由個別到一般，需要學生在對具體事物感知的基礎上讓學生認識多個物體可以看成單位“1”．在解決水平2問題：“水果籃中有7個紅蘋果和5個青蘋果，青蘋果是全部蘋果的（ ）”，需要學生將“7個紅蘋果和5個青蘋果”合在一起，形成12個蘋果，構成“單位‘1’”，學生尋找這個隱含的單位“1”有點困難．在解決水平3問題，有的學生傾向于自我假設在同一情境中出現的各個分數具有一樣的“單位1”；有的學生自己給出“單位1”，或分解“單位1”．具體見表6．

表6 學生關于“單位‘1’”在3個水平的表現

5.3.3 學生關于“分數的表征（連續量）”在3個水平的表現

在“分數的表征（連續量）”部分，水平1問題是比較常見的線段被分割成4份，陰影部分有1份，表示為1 4，問題簡單，學生得分率非常高（98.33%）．水平2問題需要學生用語言描述圖中分數，有的學生不能用完整的語言表述一個分數代表的實際意義．水平3問題：“下列兩個相同的長方形，哪一個的黑色部分面積比較多？（如圖）”該題得分率較低（40.67%）．有學生認為：“因為圖的形狀不一樣，陰影部分不一樣，所以無法比較”；“因為第一幅圖黑色部分是3個三角形，第二幅圖黑色部分是3個長方形，所以一樣多”．說明學生在比較圖形面積的時候，不能與分數的意義建立聯系，得不出正確的分數，因此無法比較．

學生關于“分數的表征（連續量）”在3個水平的表現，具體見表7．

表7 學生關于“分數的表征（連續量）”在3個水平的表現

5.3.4 學生關于“分數的表征（離散量）”在3個水平的表現

在“分數的表征（離散量）”部分，水平1問題“將10個圓片裝成一袋，要圈出袋．請問下面哪一幅圖是正確的”，大多數學生能夠選對答案，學生得分率為79.33%；答錯的學生的主要表現：“當離散量的分數問題的分子不是 1時，學生受分子的影響較大”．面對水平2的問題4，學生沒有按照題目要求作答，忽略題目中給定的單位1；面對水平2問題14：“圈出下面涂黑的圓形的，那么圈出的黑色圓形是下面全部圓形的幾分之幾？（如圖）”學生得分率為71.17%．有的學生不能正確理解整個分數的含義，把分子看做一組，而并未將分母分組，導致分數表示錯誤；還有學生將題目中第二問的單位“1”誤認為是“4個黑色的圓形”，因此寫了．說明學生面對離散量情境不能根據題目中的要求正確確定單位“1”，而是自己確定一個錯誤的單位“1”來表示分數．學生解決水平3的問題（問題7和13）得分率為49.17%．反映出學生不能理解題目中的信息，不能用分數意義的整體含義來解決問題，特別是學生不能根據題目背景確定單位“1”．學生關于“分數的表征（離散量）”在3個水平的表現見表8．

表8 學生關于“分數的表征（離散量）”在3個水平的表現

5.3.5 學生關于“分數單位”在3個水平的表現

在學習分數時，學生必須掌握的要素之一就是建立分數單位．分數單位是造成分數加減能由整數加減來解釋、來理解的最重要理由．以分數單位來處理同分母分數的加減法問題，就類似于整數的加減法問題．能理解同分母分數單位加減的概念，就自然而然能夠理解異分母分數的加減概念了．

5題和6題考查學生認識分數單位的含義，理解“分數是分數單位累加”，認識到分數也是由“一個個小單位累積”的．這兩個題屬于水平 1問題，學生得分率比較高（92.00%）．透過分數單位的累加認識分數，為下一步引導學生以整數加減的概念處理分數加減做好鋪墊．學生解決水平2問題得分率為72.33%．有的學生不能把分數單位與分數意義建立聯系．從整數“自然單位”到“新的分數單位”，這個單位建立的過程是復雜的，有的學生停留在過去處理“自然單位”的學習方法，無法用舊經驗來同化處理這個新單位，這是造成學生解決水平3問題得分率較低（48.67%）的原因之一．學生關于“分數單位”在3個水平的表現見表9．

表9 學生關于“分數單位”在3個水平的表現

5.4 測驗學生在總分與5個知識點之間的相關性分析

從表10中可以看出，問卷的測驗總分與5個知識點以及5個知識點之間在p<0.01水平上都呈顯著正相關．其中平均分與單位“1”、分數的表征（連續量）、分數單位之間都呈低度相關關系；分數的表征（連續量）與分數的表征（離散量）、單位“1”、分數單位之間也呈低度相關．分數的表征（離散量）與平均分、單位“1”、分數單位之間都呈中度相關關系；分數單位與單位“1”之間呈中度相關．平均分、分數的表征（連續量）與總分之間呈中度相關關系，單位“1”、分數的表征（離散量）、分數單位3者與總分均呈高度相關關系．上述決定系數2R是積差相關系數的平方，平均分與總分之間的決定系數是0.448，表示平均分變量可以解釋總分變量總變異的 44.8%；單位“1”與總分之間的決定系數是 0.585，表示單位“1”變量可以解釋總分變量總變異的58.5%；分數的表征（連續量）與總分之間的決定系數是0.340，表示分數的表征（連續量）可以解釋總分變量總變異的34.0%；分數的表征（離散量）與總分之間的決定系數是0.637，表示分數的表征（離散量）可以解釋總分變量總變異的63.7%；分數單位與總分之間的決定系數是0.533，表示分數單位可以解釋總分變量總變異的53.3%．這表明，分數的表征（離散量）對總分變量即分數意義的解釋程度最高，其次是單位“1”變量．

表10 測驗總分與5個知識點之間的相關矩陣

5.5 五年級學生關于“分數的意義”在水平分數與總分之間在地區方面的差異性分析

對五年級學生關于“分數的意義”在水平分數與總分進行單因素方差分析，并進行進一步比較，結果見表11．

表11為不同地區的五年級學生在“分數的意義”3水平上的差異比較的方差分析摘要表，從表中可以發現：不同地區的五年級學生在1水平、2水平、3水平和總分之間均有顯著性差異，p值均小于0.05．在此基礎上進行事后檢驗可以發現：在1水平、總分方面，天津市內A學校學生和郊區B學校學生的成績均顯著高于縣城C學校學生成績，而A學校和B學校之間無顯著性差異．在2水平上，不僅A學校學生和B學校學生的表現均顯著高于C學校學生，而且A學校和B學校之間也存在顯著性差異，且B學校學生顯著高于A學校學生的水平．在3水平方面，采用Scheeffe法事后檢驗可知，A學校學生和B學校學生的成績均顯著高于C學校學生，A學校和B學校之間無顯著性差異．而采用LSD和HSD方法檢驗發現，不僅A學校學生和B學校學生的成績均顯著高于C學校學生的，而且A學校和B學校學生之間也有顯著性差異，且A學校學生顯著高于B學校學生的水平．

表11 不同地區的五年級學生在“分數的意義”3水平上的差異比較的方差分析摘要

6 教學建議

6.1 強調平均分的概念

教師引導學生在描述分數形成過程，重點強調表示分數的前提就是將整體“平均分”．面對學生解決動態變形背景、不規則圖形（第三個理解水平）的平均分問題能力偏低現狀，在“3次備課兩次反思”的框架下，教師有針對性地設計多樣平均分問題，一方面，學生按照規則平均分規則的圖形；另一方面，學生學會利用平移、旋轉方式重新組合圖形，有效解決了學生片面理解平均分意義的困難．

6.2 深度理解分母和分子的意義

教師引導學生將整數的觀念過度類推至分數的概念上，將分子與分母做有意義的連結．結合具體案例，幫助學生理解分母表示的是將整體平均分割的份數；利用操作實物或者電腦動畫特殊強調：在分數單位內容物是多個的問題背景下，分子表示的是取得其中“一份或幾份”（一份可以是一個，也可以是多個）．例如，教師通過比較不同情景中1 4的相同點與不同點，不僅能夠發現分數的本質，還能夠認識到整體不同會導致分子“1”所代表的物體的個數（或形狀大?。┎煌肿拥摹?”表示的是“一份”，而不是“一個”．學生要理解份數與個數之間的關系，以便成功解決問題．

6.3 融入多種表征形式（連續量及離散量）并理解分數概念的本質

從表4可以看出，學生解決分數概念（特別是離散量）問題面臨更多困難，有的學生即使能夠在課堂上用語言概括分數的意義，但是面對不同的問題情境時，他們仍不能很好地理解分數的意義．教師在教學時注重融入多種表征形式（連續量、離散量），讓學生操作具體物，表示各種圖形、線段中的分數，用語言概括分數，用數學符號來表征等，通過將多種表征形式相結合，從直觀到抽象，逐漸讓學生在頭腦中建立抽象的分數概念．通過實踐活動，學生理解連續量與離散量的關聯，避免了隨意改變單位“1”而導致結果錯誤．

6.4 深刻認識單位“1”及分數單位

學生掌握離散情景中（整體是多個物體）的分數的含義，而整體由“一個”過渡到“多個”，需要學生調動高水平的認知過程進行理解．通過多種途徑讓學生學會找到情景中的單位“1”，逐漸引導學生理解單位“1”既可以表示一個物體也可以表示多個物體．學生理解分子的本質，認識到單位“1”不同會導致分子“1”所代表的物體的個數不同．

不管是整數或是分數的乘除法，都涉及了單位量轉化問題，是一種逐漸復雜的單位結構歷程，而單位量的轉化過程亦可視為以新的參考單位來重新詮釋新的數量情境，因此是發展學生基準化能力的關鍵．

[1]范文貴．分數的內涵有多大[J]．人民教育，2011，（7）：43-47．

[2]Taylor E V, McIntosh C, Gearhart M. Representing Fractions with Standard Notation: A Developmental Analysis [J].Journal for Research in Mathematics Education, 2005, (36): 137-157.

[3]辛自強，張睆．兒童的分數概念理解的結構及其測量[J]．心理研究，2012，（1）：13-20．

[4]Mack, N K. Earning Fractions with Understanding: Building on Informal Knowledge [J].Journal for Research in Mathematics Education, 1990, (21): 16-32.

[5]Charalambos C Y, Pitta-Pantazi D. Drawing on a Theoretical Model to Study Students’ Understandings of Fractions [J].Educational Studies in Mathematics, 2007, 64(3): 293–316.

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[7]Sfard A. On the Dual Nature of Mathematical Conception, Reflections on Processes and Objects as Different Sides of the Same Coin [J].Educational Studies in Mathematics, 1991, 22(1): 1-36.

[8]Marilena Pantziara, George Philippou. Levels of students’ “conception” of fractions [J].Educational Studies in Mathematics, 2012, (79): 61–83.

[9]Cramer K A, Post T R, del Mas R C. Initial Fraction Learning by Fourth and Fifth-Grade Students: A Comparison of the Effects of Using Commercial Curricula with the Effects of Using the Rational Number Project Curriculum [J].Journal for Research in Mathematics Education, 2002, 33(2): 111-144.

Understanding the Meaning of the Fraction of Fifth Grade Students

FAN Wen-gui1, HAO Fei-cui2
(1. Primary Education College, Tianjin Normal University, Tianjin 300387, China; 2. Tanggu Third Central Primary School, Tianjin Binhai New Area, Tianjin 300451, China)

Based on the six levels that students grasp concept of fraction proposed by Marilena Pantziara, we give the thinking framework about “three levels of understanding fraction concept”. Using this conceptual framework to devise a test, We have 564 Tianjin Grade five students tested, found: Students’ third understanding level in the “fraction of meaning” is low; Students’ the performance is on the different levels of understanding in the each knowledge point of “fraction of meaning”. The total score of the test was significantly positive correlated with the score of 5 knowledge points onp<0.01 level. In particular, the fractional representation (discrete quantity) is to the highest score meaning interpretation degree. There are differences between the scores level of fifth grade students in schools about “the meaning of fraction”.

the meaning of fraction; pupils; levels of understanding

G622

A

1004–9894（2017）01–0070–06

[責任編校：周學智]

2016–09–20

人民教育出版社課程教材研究所“十三五”課題——小學數學教材國際比較研究（KC2016-006）

范文貴（1965—），男，遼寧錦州人，教授，博士，碩士研究生導師，主要從事小學數學教材比較、小學數學課程與教學論研究．