簡(jiǎn)述分形理論特點(diǎn)及其在機(jī)械工程中的具體實(shí)踐

蔡昊旻

摘 要：分形理論是目前發(fā)展起來的一種新型理論，分形理論的基礎(chǔ)理論是分形幾何學(xué)。在對(duì)分形幾何學(xué)進(jìn)行研究的過程中，為了能更加直觀、準(zhǔn)確地對(duì)現(xiàn)實(shí)中的幾何問題進(jìn)行反映，由此衍生出了相應(yīng)的分形信息和分形結(jié)構(gòu)。這樣的分形理論能采用數(shù)學(xué)方式來對(duì)客觀事物進(jìn)行描述，進(jìn)一步反映出物體的真實(shí)屬性和狀態(tài)。基于這樣的分形理論特點(diǎn)而言，募集前分形理論在機(jī)械工程中得到了較為廣泛的應(yīng)用，能在最大程度上真實(shí)地反映出機(jī)械工程中存在的問題，以此來提高機(jī)械工程的整體質(zhì)量和效率。在對(duì)分形理論概念和主要特點(diǎn)進(jìn)行描述的基礎(chǔ)上，對(duì)分形理論在機(jī)械工程中的具體實(shí)踐進(jìn)行了分析。

關(guān)鍵詞：分形理論；機(jī)械工程；分形信息；分形結(jié)構(gòu)

中圖分類號(hào)：O151 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.15913/j.cnki.kjycx.2017.06.010

分形理論是在20世紀(jì)70年代被提出的，由于分形理論能解決生活中所存在的大量現(xiàn)實(shí)集合問題，所以，目前這樣的分形理論正在不斷發(fā)展當(dāng)中。在分形理論基礎(chǔ)不斷完善的情況下，分形理論已經(jīng)應(yīng)用到各個(gè)行業(yè)中，并取得了較好的效果。而機(jī)械工程作為評(píng)價(jià)我國(guó)科技發(fā)展水平的重要指標(biāo)，分形理論在機(jī)械工程中的應(yīng)用也進(jìn)一步推動(dòng)了機(jī)械工程的更快發(fā)展。通過分形理論的應(yīng)用，能更加直觀地向人們反映機(jī)械物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)過程中的狀態(tài)，并能更加準(zhǔn)確地對(duì)機(jī)械故障和機(jī)械斷裂進(jìn)行審查，解決了大多數(shù)機(jī)械工程中所出現(xiàn)的問題。在未來的發(fā)展中，分形理論在機(jī)械工程中將會(huì)得到更大程度的應(yīng)用。

1 分形理論的概念和主要特點(diǎn)

對(duì)于分形理論而言，最早的起源是為了從數(shù)學(xué)角度來對(duì)集合問題進(jìn)行描述和研究，分形理論的提出者為Mandelbrot，其在《科學(xué)》雜志上提出了描述英國(guó)海岸線長(zhǎng)度的問題。海岸線作為一種極其不規(guī)律的曲線，為了從實(shí)際結(jié)構(gòu)上來對(duì)海岸線進(jìn)行區(qū)分，不能單單從形狀上來對(duì)其進(jìn)行描述，從在空中拍攝的海岸線形狀看，相比較的兩張照片看上去極其相似，這樣的相似指的是局部形態(tài)和整體形態(tài)的相似，這樣的相似性在自然界中廣泛存在。同樣，這樣的相似性也體現(xiàn)在目前的機(jī)械工程中。比如，機(jī)械工程中存在著較多形狀不規(guī)則且十分復(fù)雜的物體，這樣的物體無(wú)法被細(xì)致描述，但在分形理論提出之后，我們可以借助這樣的理論來對(duì)其進(jìn)行評(píng)價(jià)和研究。針對(duì)目前分形理論的定義看，由于分形理論正在不斷的發(fā)展中，所以，無(wú)法對(duì)其進(jìn)行較為科學(xué)、明確的定義，但從字面角度看，我們大致可以這樣描述分形理論：分形理論中的分形主要指的是一些復(fù)雜、零碎，同時(shí)具有一些相似特征的物質(zhì)，這些物質(zhì)能夠構(gòu)成一定的系統(tǒng)，但是從數(shù)學(xué)角度來看的話，分形具有一定的比例性，在整個(gè)分形體系中，能對(duì)其中的部分內(nèi)容進(jìn)行放大，但不規(guī)則程度不會(huì)發(fā)生變化。

此外，在分形體系中，進(jìn)行部分的旋轉(zhuǎn)、位移和放大時(shí)，這些變化都具有一定的相似性。從以上的描述中可以得出分形理論的主要特征，主要包括了比例性和置換不變性，作為分形體系中的基本特征，這樣兩種特性能夠保證在實(shí)際的分形體系并不是完全雜亂無(wú)章、無(wú)跡可尋的，而從分形理論的定義中也可以得出分形理論的另外一種特點(diǎn)——能基于分?jǐn)?shù)維度和數(shù)學(xué)的方法來對(duì)事物進(jìn)行描述和研究。

基于以上所描述的兩種特性可以看出，在現(xiàn)實(shí)物質(zhì)世界中，所有的物體都能通過其中的比例性來反映物體的不規(guī)則形狀，進(jìn)而對(duì)物體進(jìn)行更加清晰明了的描述和研究。其中，最具有代表性的就是機(jī)械工程。在實(shí)際的機(jī)械工程當(dāng)中，由于使用的材料多種多樣，每種材料都表現(xiàn)出了不同的特性。此外，在機(jī)械工程中，不同的加工方式會(huì)導(dǎo)致機(jī)械零件中出現(xiàn)各種不規(guī)則的形狀，要想對(duì)這些現(xiàn)象進(jìn)行描述，就需要借助分形理論來研究。

2 分形理論的發(fā)展過程

分形理論最早誕生于20世紀(jì)70年代，當(dāng)時(shí)只是為了對(duì)客觀事物進(jìn)行簡(jiǎn)單的描述，但在之后的發(fā)展過程中，分形理論逐漸成熟，其發(fā)展歷程大致可以分為以下幾個(gè)階段。

2.1 分形理論的提出階段

這個(gè)階段發(fā)生在1870—1930年，在這個(gè)階段中，人們首先提出了分形理論的基本定義，并從各個(gè)角度對(duì)分形理論進(jìn)行了認(rèn)識(shí)和研究。在此基礎(chǔ)上，發(fā)展出了一些分形理論所能夠適用的對(duì)象。在這個(gè)階段中，具有代表性的事件表現(xiàn)在Weierstrass證明了連續(xù)函數(shù)中任意一點(diǎn)不具有有限或無(wú)限導(dǎo)數(shù)。在此理論提出之后，人們?cè)诖嘶A(chǔ)上又發(fā)展了各種不同的分形對(duì)象，包括皮亞諾曲線、布朗運(yùn)動(dòng)和康托爾三分集，這些分形對(duì)象都能表現(xiàn)出分形理論的基本特征。

2.2 分形理論的成熟階段

人們?cè)趯?duì)分形理論進(jìn)行更加深入的研究分析之后發(fā)現(xiàn)，分形對(duì)象體現(xiàn)在自然界的各個(gè)方面。在分形對(duì)象不斷增多的基礎(chǔ)上，分形理論也逐漸變得成熟起來。在這樣的階段中，人們不僅對(duì)分形理論進(jìn)行了更加嚴(yán)格、科學(xué)的定義，同時(shí)，也形成了相應(yīng)的分形理論體系。在基于數(shù)學(xué)角度對(duì)分形理論進(jìn)行描述的基礎(chǔ)上，提出了維數(shù)的概念，雖然分形理論得到了極大的補(bǔ)充，但也具有一定的局限性，分形理論處于理論研究階段，沒有與其他領(lǐng)域產(chǎn)生較大的聯(lián)系，實(shí)用性較差。

2.3 分形理論的完善階段

在這個(gè)階段當(dāng)中，分形理論不僅形成了獨(dú)立的專業(yè)和學(xué)科，對(duì)分子幾何的內(nèi)容、意義和方法進(jìn)行了科學(xué)闡述，同時(shí)，與其他學(xué)科產(chǎn)生了較大的聯(lián)系。在研究中，分形理論的實(shí)用性得到了極大的提升，目前，分形理論已經(jīng)應(yīng)用到機(jī)械工程領(lǐng)域、力學(xué)領(lǐng)域、分子鏈領(lǐng)域和材料控制中。在發(fā)展歷程中可以看出，分形理論具有較為強(qiáng)大的應(yīng)用性，作為現(xiàn)代社會(huì)中較為重要的一種理論，機(jī)械工程在實(shí)際的發(fā)展過程中也開始利用分形理論來解決各種機(jī)械難題。

3 分形理論在機(jī)械工程中的具體實(shí)踐

分形理論是非線性科學(xué)中較為重要的一個(gè)組成部分，在人們的深入研究下，分形理論能以較為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)描述方式來對(duì)無(wú)規(guī)則事物進(jìn)行客觀、準(zhǔn)確的描述和評(píng)價(jià)，同時(shí)，具有比例性和置換不變形的特性，從而使分形理論能解決機(jī)械工程中的問題，其具體實(shí)踐和應(yīng)用體現(xiàn)在以下方面。

3.1 在機(jī)械摩擦研究中的應(yīng)用

機(jī)械摩擦具有多個(gè)方面的內(nèi)容，就分形理論在機(jī)械摩擦當(dāng)中的實(shí)踐應(yīng)用而言，主要是應(yīng)用在粗糙表面的接觸磨損預(yù)測(cè)和摩擦溫度分布等方面的研究中。由于分形參數(shù)具有相對(duì)獨(dú)立性的特點(diǎn)，能對(duì)粗糙表面與機(jī)械構(gòu)建的外形特點(diǎn)進(jìn)行直接、客觀的描述。此外，根據(jù)分形體系所建立的摩擦學(xué)研究模型結(jié)果看，可以忽略其中測(cè)量?jī)x器精度和取樣長(zhǎng)度的影響，這樣能進(jìn)一步提升模型的準(zhǔn)確性和有效性。

3.1.1 研究粗糙表面的分形特征

機(jī)械零件的表面粗糙程度與所使用機(jī)械的整體性能之間存在著較大的聯(lián)系，為了能夠準(zhǔn)確直觀地對(duì)零件表面的形貌特點(diǎn)進(jìn)行分析，目前已經(jīng)創(chuàng)建了30多項(xiàng)參數(shù)，但是由于粗糙零件表面的高度變化極其不規(guī)律，屬于一種非平穩(wěn)的隨機(jī)過程，在對(duì)方差值進(jìn)行獲取的過程中，需要注意其中樣品的實(shí)際長(zhǎng)度。而且在另外一個(gè)方面，由于測(cè)量?jī)x器分辨率的不同，得出的結(jié)果也會(huì)具有一定的差異性。在這樣的情況下，傳統(tǒng)的參數(shù)只能對(duì)某一標(biāo)度下的粗糙零件形貌進(jìn)行描述。但是采用分形理論能夠表現(xiàn)出粗糙零件表面的唯一特征，其主要表現(xiàn)方式為采用分維定義和相應(yīng)的計(jì)算方法來對(duì)其表現(xiàn)分形維度和分形參數(shù)進(jìn)行確定，以此來對(duì)粗糙零件表面的實(shí)際形貌進(jìn)行描述。

3.1.2 描述滑動(dòng)摩擦表現(xiàn)的溫度分布情況

在傳統(tǒng)的摩擦溫度研究模型當(dāng)中，只能對(duì)零件接觸區(qū)中的最大溫度和平均溫度進(jìn)行預(yù)測(cè)，其結(jié)果數(shù)值也并不明確，為了對(duì)機(jī)械零件滑動(dòng)接觸面中摩擦表現(xiàn)的溫度分布情況進(jìn)行準(zhǔn)確描述，可以采用分形理論來對(duì)傳統(tǒng)的溫度研究理論進(jìn)行描述，并且建立相應(yīng)的溫度分布密度函數(shù)和溫度積累分布函數(shù)，這樣的函數(shù)建立能夠在最大程度上對(duì)接觸面中的溫度分布情況進(jìn)行真實(shí)推導(dǎo)，在這樣的研究下，能夠?qū)ρ芯坑偷氖褂们闆r、機(jī)械零件表面的氧化和機(jī)械零件的高溫磨損提供條件。

3.1.3 磨損預(yù)測(cè)的分形模型研究

磨損預(yù)測(cè)一直都是機(jī)械工程中較為重要的一個(gè)部分，機(jī)械零件在運(yùn)動(dòng)的過程中會(huì)由于摩擦而產(chǎn)生一定的磨損，為了對(duì)材料的磨損規(guī)律進(jìn)行研究，需要建立相應(yīng)的磨損數(shù)值模型，但是就有摩擦系數(shù)的不確定，目前所建立的磨損數(shù)值模型都只能夠在大方面上對(duì)摩擦規(guī)律進(jìn)行預(yù)測(cè)研究，不能應(yīng)用到實(shí)際當(dāng)中。而分形理論的建立能夠在較大程度上為磨損模型的建立提供良好的基礎(chǔ)，這樣的分形理論能夠?qū)Σ牧系男阅軈?shù)和分形參數(shù)進(jìn)行研究，并且在此基礎(chǔ)上能夠?qū)δp進(jìn)行定量分析，從而得出磨損率的最低分維值，此數(shù)值與試驗(yàn)所得出的數(shù)值基本相似，這樣就體現(xiàn)了分形理論在機(jī)械工程上應(yīng)用的有效性和準(zhǔn)確性。

3.1.4 磨屑分析的分形集合研究

在對(duì)磨屑進(jìn)行分析研究的過程中，數(shù)量、大小和形狀與材料的主要磨損方式有著較大的聯(lián)系。其中，形狀特征與磨損方式具有最大的相關(guān)性；磨損方式的變化會(huì)使磨屑的形狀變得極為復(fù)雜，同時(shí)，磨屑大小多種多樣，在這樣的情況下，采用傳統(tǒng)的體積、面積和長(zhǎng)度來對(duì)磨屑進(jìn)行研究所得出的數(shù)值是非常不準(zhǔn)確的。因此，可以采用分形幾何中的分形維數(shù)來對(duì)磨屑進(jìn)行量化分析，一般情況下，可以從以下2個(gè)角度研究：①對(duì)磨屑的輪廓特征進(jìn)行提取，即對(duì)磨屑進(jìn)行切割或投影，從而得出其投影輪廓，采用碼尺法來獲得磨屑輪廓的分形維數(shù)；②對(duì)磨屑表面的紋理分形維數(shù)進(jìn)行計(jì)算，從而對(duì)磨屑的紋理特征進(jìn)行提取。

3.2 應(yīng)用在疲勞斷裂的分析中

機(jī)械零件的疲勞斷裂往往具有不規(guī)則的特性，這樣的不規(guī)則特性不僅表現(xiàn)在斷裂形狀上，也表現(xiàn)在了斷裂裂紋所產(chǎn)生的的延伸路徑上。而這樣的不規(guī)則性也使機(jī)械體的斷裂現(xiàn)象產(chǎn)生了較大的不確定性。為了對(duì)機(jī)械零件的疲勞斷裂現(xiàn)象進(jìn)行準(zhǔn)確分析，傳統(tǒng)的方法主要包括標(biāo)準(zhǔn)方差法和峰值分布法，這些方法通過對(duì)斷裂面積和方差進(jìn)行計(jì)算和確定，從而對(duì)疲勞斷裂面進(jìn)行分析，但其分析結(jié)果往往是不準(zhǔn)確的。在這樣的情況下，可以采用分形理論來解決平直延伸的疲勞斷裂面問題。目前，人們已經(jīng)建立了相應(yīng)的疲勞裂紋分析系統(tǒng)，并對(duì)疲勞裂紋所產(chǎn)生的影響進(jìn)行了分析，在此分析的基礎(chǔ)上，可以在一定程度上對(duì)疲勞裂紋的延伸速度和范圍進(jìn)行控制，具有極高的適用性。

3.3 應(yīng)用在機(jī)械故障的研究中

利用分形理論來對(duì)機(jī)械故障進(jìn)行研究分析，目前主要表現(xiàn)在以下2個(gè)方面：①對(duì)機(jī)械零件磨屑的分形特征進(jìn)行提取，在對(duì)模型的分形維數(shù)進(jìn)行研究和計(jì)算的基礎(chǔ)上，來對(duì)機(jī)械設(shè)備的磨損率進(jìn)行計(jì)算，從而為機(jī)械設(shè)備的在線故障診斷提供依據(jù)；②對(duì)機(jī)械設(shè)備的運(yùn)行特征信號(hào)進(jìn)行測(cè)量，并根據(jù)所測(cè)量的實(shí)際結(jié)果對(duì)信號(hào)的分形特征進(jìn)行提取，從而對(duì)機(jī)械設(shè)備的故障狀態(tài)和實(shí)際運(yùn)行情況進(jìn)行分析。根據(jù)機(jī)械運(yùn)行特征的不同，可以采用不同的分形理論故障診斷方法，對(duì)于上述的機(jī)械故障研究方法，一般可以應(yīng)用在機(jī)械摩擦和旋轉(zhuǎn)機(jī)器的故障診斷當(dāng)中。

3.4 應(yīng)用到復(fù)雜產(chǎn)品的設(shè)計(jì)中

在目前的機(jī)械工程當(dāng)中，產(chǎn)品設(shè)計(jì)是較為重要的一部分，好的產(chǎn)品設(shè)計(jì)能在較大程度上提升產(chǎn)品的內(nèi)在品質(zhì)、質(zhì)量和設(shè)計(jì)成本，不同于其他的機(jī)械工程活動(dòng)，設(shè)計(jì)作為一種創(chuàng)造性的活動(dòng)，在目前現(xiàn)代化的科技應(yīng)用中，智能化設(shè)計(jì)和自動(dòng)化設(shè)計(jì)將是機(jī)械產(chǎn)品設(shè)計(jì)的最主要的發(fā)展方向。但在傳統(tǒng)的產(chǎn)品設(shè)計(jì)中出現(xiàn)了較多問題，主要表現(xiàn)在實(shí)際設(shè)計(jì)過程中只采用單一知識(shí)領(lǐng)域的符號(hào)推理技術(shù)，但這樣的技術(shù)只能在較小程度上解決一些局部問題。在目前的產(chǎn)品設(shè)計(jì)當(dāng)中，除了計(jì)算機(jī)集成系統(tǒng)在產(chǎn)品設(shè)計(jì)中所占據(jù)的主要位置之外，人也是設(shè)計(jì)領(lǐng)域中較為重要的一部分，為了體現(xiàn)出創(chuàng)新設(shè)計(jì)的主要模式，部分設(shè)計(jì)者在分形理論的基礎(chǔ)上提出了產(chǎn)品復(fù)雜性設(shè)計(jì)的觀點(diǎn)，即要想體現(xiàn)出設(shè)計(jì)對(duì)象的復(fù)雜性，就可以采取分形理論的設(shè)計(jì)方法，這樣能保證產(chǎn)品設(shè)計(jì)的創(chuàng)新性和規(guī)律性，推動(dòng)機(jī)械產(chǎn)品設(shè)計(jì)的快速發(fā)展。

4 結(jié)束語(yǔ)

分形理論是自然科學(xué)中的一個(gè)重要分支，在分形理論不斷發(fā)展的當(dāng)今，分形理論逐漸滲透到各個(gè)領(lǐng)域當(dāng)中，在目前的機(jī)械工程領(lǐng)域，分形理論能夠在產(chǎn)品設(shè)計(jì)、故障診斷和機(jī)械零件分析等方面起到重要的作用，進(jìn)而對(duì)機(jī)械工程中所隱藏的規(guī)律進(jìn)行推導(dǎo)，推動(dòng)機(jī)械工程的不斷發(fā)展。

參考文獻(xiàn)

[1]葉艷秋.分形理論及其在機(jī)械工程中的應(yīng)用[J].科教導(dǎo)刊（電子版），2015，12（03）.

[2]趙濤.分形理論及其在機(jī)械工程中的應(yīng)用[J].科技資訊，2014，12（08）.

[3]阮曉光，邰雪峰，李玲，等.基于分形理論的結(jié)合面剛度建模研究[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2016（12）.