在比較中明晰概念

張士峰

【摘要】概念是構成小學數學基礎知識的重要內容，不僅是學生學習其他數學知識的基礎，更是學生發展思維、培養數學能力的基礎。為讓學生能正確地理解百分數的這一概念的內涵與外延，作者在教學《百分數的認識》（北師大版《數學》五年級下冊，百分數的起始課）時，設計了三次不同的比較，籍此層層推進，不斷接近百分數概念的本質屬性。第一次比較，同中求同，讓學生利用知識的遷移，從分數的意義中正向遷移出百分數的意義；第二次比較，異中求同，學生在不斷用自己語言描述不同百分數的意義中，抽絲剝繭得出百分數意義的數學表述方式；第三次比較，同中求異，以一道改寫題為抓手讓學生通過比較得出分數百分數的異同。

【關鍵詞】概念教學 比較

【中圖分類號】G623.2 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）04-0106-02

本堂課，從知識點的角度可以分解為以下5個：1.百分數在實際生活中的應用；2.百分數的寫法；3.百分數的讀法；4.百分數意義；5.分數與百分數的異同。其一，知識點在知識體系中的地位，百分數在實際生活中的應用地位一般，百分數的寫法、讀法、意義都是重點，而百分數的意義與比較分數、百分數的異同又是難點；其二，知識點的前期知識儲備，除了百分數的意義與比較分數、百分數的異同有一定的知識儲備之外，其他知識點學生都是有相當的知識儲備的；其三，課堂上的教師行為。百分數的讀法與寫法學生通過自學完全可以掌握，而作為教學重點與難點的百分數的意義與比較分數、百分數的異同，教師必須在教學過程中借助具體情境和生活實例，通過比較、總結幫助學生形成正確的概念。

一比：同中求同——從分數的意義中引出百分數的意義

師：同學們，90%在這里表示什么意思？

生1：90%表示100道題目，孫芳做對了90道。

師：可以這樣表述。還有其他的說法嗎？

生2：90%表示，做對的題數占總題數的百分之九十。

師：你是怎么想得？

生2：因為90%這個百分數是從18/20這個分數來的。18/20表示做對的題數占總題數的18/20，那么90%就可以表示做對的題數占總題數的90%。

師：你選擇其中的一個百分數，像這位同學一樣同桌之間相互說一說嗎？

本堂課百分數是從分數中引出的，引導學生在理解分數的意義上得出百分數的意義是利用了知識的正向遷移。90%這個百分數是分數 通過分子分母同時乘5得到的，在本題中 是指某同學在20道題目中做對了18道題，或者說是做對的18道題占總題數20道的 。在百分數的意義沒有完全用簡明的數學語言表示之前，學生利用已有的表述分數意義的語句來描述百分數的意義。這正是本教學環節安排的意義所在：利用已有的數學知識來解決未知的數學問題。學生的已有經驗告訴他（她）：百分數是分數通過通分得來的，百分數的意義也可從分數的意義中引申過來。于是課堂上學生就有了兩種百分數意義的描述方式：（1）90%表示100道題目，孫芳做對了90道；（2）90%表示，做對的題數占總題數的百分之九十。以上兩種意義的表述方式，第二種更符合或者說更接近百分數意義的正確表述方式，因此教師在處理時就有了側重點，更注重引導學生用第二種方法來描述百分數的意義。

二比：異中求同——概括百分數的意義

師：看來大家對百分數的有了一定的認識，老師為大家準備了一些百分數，你能說一說它們的意義嗎？（PPT出示，配圖）

1.我國男性人口約占總人口的57%。

2.地球上的水約是70%都是海洋水。

3.我校今天的出勤率約是96%。

4.滌綸占70%，棉占30%。

這四組題目具有一定的代表性：第一個數據與百分數意義的表述方式完全相同，第二數據總量與部分量的順序相反，第三個數據則是最常見的“率”，第四則是不出現總量（但可以根據圖來確定總量）。通過這樣四組表述不同的百分數意義理解，旨在異中尋同，概括出百分數意義的一般表述方法。

先給學生一個獨立思考的空間，以便后面學生進一步的交流。在學生反饋的同時教師對學生的方法不進行任何指點，讓學生充分展示自己的想法。通過大量的練習，學生感受這里的百分數表示的是通過一個數和另一個數在做比較，表示兩個數量之間的一種關系。

師：說了這么多百分數的意義，你能用一句話來概括百分數的意義嗎？

從教師出示的各種各樣的百分數讓學生描述百分數的意義，這都是有著其背景知識的或者說是具體的情境的，學生這樣的百分數意義的描述方式是具有局限性的，如何在各種各樣的情境中抽象出百分數意義的數學表述方式呢？這就需要通過觀察各種各樣的具有具體題目背景的百分數的意義的表述方式，并通過比較最后得出一個用簡明扼要的數學語言描述的百分數的意義不表述。

三比：同中求異——比較百分數與分數的異同

從本堂課的設計來看，百分數是源自于分數，百分數的意義也是脫胎與分數，學生會想當然地認為，分數有的屬性百分數同樣具有。然而，事實上分數與百分數終歸是有區別的概念，兩者之間雖有千絲萬縷地聯系，但還是有不同的屬性的。然而學生認識到這一點是非常困難的，這便是知識的負向遷移造成。因此，厘清百分數與分數的不同之處也就成了本堂課的一個教學難點。為了使學生能清晰地比較百分數與分數的不同之處，課前我設計了這樣一道練習題（PPT出示）：

以下分數能改寫成百分數嗎？

1.運走了一堆煤的 。

2.一條繩子長 m。

3.黑板的長比寬長 m。

改寫是一個手段，目的是引導比較分數與百分數的異同。這樣課堂上學生通過辨析，便能較為容易地得出了百分數與分數的異同。相同之處為：百分數與分數都可以表示兩個數之間相比的關系，即一個數是另一個數的幾分之幾（或百分之幾）。不同之處為，分數還可以帶計量單位表示一個量，而百分數不能帶計量單位表示量。由于百分數只表示兩個數之間相比的關系，所以百分數也叫百分比；如果是表示部分同總數相比，百分數也叫百分率。此外百分數與分數還有在寫法上、讀法上的不同，百分數的分母只能為100，而分數的分母則可以是任何非0自然數。所以，討論前的獨立思考不是“空白”，而恰恰是思維的最高處。在整個教與學的過程中，教師注重學生對于百分數概念的理解過程，機智地運用學生的遷移，并不是急于牽引學生回到標準答案上來，而是誘發學生自覺地反思、體會，逐步靠近準確的概念。

參考文獻：

[1]斯苗兒.《小學數學教學案例專題研究》.第1版.杭州.浙江大學出版社.2005年.第88-99頁.第248-260頁.

[2]雷玲.《好課是這樣煉成的（品讀名師經典課堂數學卷）》.第1版.南寧.廣西教育出版社.第71-75頁.

[3]張樹偉.備課：教育無痕的藝術.《中國教育報》2005年5月26日第7版.