數形結合的二次函數學習體會

顏雅瓊+賴杰鋒

【摘 要】二次函數是初中數學中的基本函數，在高中學習中涉及點并不多，而高考中又多出現二次函數的解題。二次函數是貫穿初中數學教學的重點，更是學生學習中的一個難點，因此多方法應用于二次函數的解題，對我們初中生來說能更好地理解知識，更容易解題，二次函數也會化暗為明。

【關鍵詞】二次函數 初中數學 數形結合 解題

【中圖分類號】G4 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）06-0142-02

引言

二次函數可以看成是初中數學的巔峰，除了與二次方程等代數內容相聯系之外，同時也結合了部分幾何的知識，更重要的是二次函數在實踐中應用廣泛。在二次函數的解題應用中，數形結合是比較常見且易于我們學生接受的方法，主要是根據題目的假設和結論之間的內在聯系，除了分析其數量關系也要揭示幾何圖形和幾何意義數量相結合。在二次函數中應用數形結合的方法解題，解題思路會在數形運用中變得清晰開闊，同時可以更深入掌握二次函數涉及的概念、圖像和性質，我在二次函數的學習機解題中也是體會多多。

一、數形結合的主要特點

數形結合的方法就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合。數形結合的思想方法是數學學科里最常用的一種方法，它包含了轉化、配方、分類討論、方程思想等數學思想方法，可見數形結合思想方法是數學中極具綜合性的思想方法。數形結合的方法對我們學生來說更直觀、更容易理解、更容易接受。

二、二次函數數形結合解題的難點

1、二次函數閉區間上的最值

二次函數在某一區間上的最值問題，是初中二次函數內容的繼續和發展，隨著區間的確定或變化，以及在系數中增添參變數，使其又成為高考的熱點。以我個人的解題思路和能力，閉區間上的最值難點主要分為以下幾大類型：定二次函數在定區間上的最值，動二次函數在定區間上的最值，定函數在動區間上的最值，動二次函數在動區間上的最值，含參數的最值等。。

2、函數觀點和數形結合

二次函數解題時通過數形結合的方式聯系拋物線圖形，主要是為了讓解題的我們全面牢固掌握函數的性質。每種類型的二次函數在我們掌握其性質后，老師一般會要求畫出草圖觀察分析。例如，系數a決定拋物線開口方向及大小，更形象地把關于函數中的平移、最值、增減性等有關概念貫穿其中[1]，主要是圖形中有題意，圖形中有答案，作圖成為難點以及重點。

三、二次函數數形結合解題的應用方法

1、巧妙利用圖形直觀呈現題意

圖形是數形結合的關鍵所在，利用直觀的圖形以及圖形上各個數字位置、相關關系等，明晰題意后解題自然輕松很多，這一做法在二次函數中的應用主要是根據題目意思畫坐標圖。例如題目：試確定函數y=x2+1與y=的交點的橫坐標x0的取值范圍。

建立平面直角坐標系，然后利用網格結構作出函數y=x2+1與y=的圖象，通過圖像的象限及交叉點可以看出，橫坐標x0的取值范圍是1

2、牢記概念性質確定頂點作用

二次函數的最值和它的頂點與變量取值區間的位置有關，相應的圖像可劃分為有頂點和無頂點兩種狀態：若頂點在，則最值在頂點處或區間端點處取得；若無頂點，則最值在區間端點處取得。[2]例如，當-2≤X≤2時，求函數y=x2-2x-3的最大值和最小值。函數x的變量會在給定的范圍之內，主要通過圖像顯示是對應拋物線上的一段，畫出坐標后頂點為最大值，而拋物線的最低端為最小值。

二次函數的區間值需要牢記幾種x自變量的范圍，常見的拋物線種類有以上幾種，牢記后對于后期的作圖和尋找區間值是重要的基礎。

3、多溝通培養多渠道解題思路

二次函數的題目類型較多，高考的題目多變但是總體來說比較集中，“快而準”的解題思路和解題方法是贏得高分的關鍵。二次函數說簡單不簡單，說難也難，多跟身邊同學溝通解題要點和思路，有助于開拓自己的數學解題思路，甚至可以擴展到其他的如方程式、幾何等其他初高中數學題中。例如，拋物線經過點A（5，0）、B（6，-6）和原點，求此拋物線的函數解析式。我個人是通過設c=0，則25a+5b+c=0，36a+6b+c=-6，解題得出c=0，b=5，a=-1，最終得出解析式為y=-x2=5x。通過與同學交流，也可以通過以直接設y=ax2+bx，然后帶入A、B兩點坐標求解得出y=-x2=5x。也可以通過頂點式y=a（x-h）2=k來求解，這個思路的要點是求出k值然后回帶到公式中即可[3]。二次函數的求解釋多種方式的，多溝通過多學習才能讓解題思路得到擴展。

總結

數形結合的方法根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量關的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。在解題中，我們對于此方法需要多與同學溝通，培養靈活思變的解題思路，遇到二次函數的難題也會迎刃而解。

參考文獻

[1]蔡元元.初中數學“二次函數的圖象與性質”化繁為簡的探究[J].教育教學論壇，2013，3：40-42.

[2]潘征宇， 鐘紹春， 鐘永江，張語函.《二次函數閉區間最值》個性化學習工具設計[J].電化教育研究，2015，6：18-20.

[3]馬鳴.利用“數形結合”巧解初等數學問題[J].讀與寫（教育教學刊），2014，1：8-10.