區間集上非交換剩余格的廣義模糊布爾濾子

羅俊麗

（商洛學院 數學與計算機應用學院，陜西商洛 726000）

美國數學家Zadeh于1965年首次提出的模糊集理論[1]，極大地促進了模糊邏輯推理系統和模糊邏輯代數分析兩個重要研究方向的迅猛發展。Rosenfeld[2]受代數結構模糊化的啟示，提出了模糊子群的概念，從而開創了模糊代數學研究的新領域。Bhakat和Das運用模糊點與模糊集間的“屬于關系（∈）”和“擬重于關系（q）”[3-4],研究了（∈,∈∨q）-模糊子群的概念及性質[5-7]。張成討論了（∈',∈'∨q'）-模糊子群的概念[8]；袁學海在引入模糊子群定義的基礎上，得到了稱之為模糊子群[9-10]的新模糊子群。廖祖華將Rosenfeld意義下的（∈，∈∨q）-模糊子群、Bhakat和Das意義下的-模糊子群以及袁學海意義下的模糊代數統一推廣為（∈，∈∨q（λ，μ））-模糊代數[11],并獲得了豐碩的成果。

本文是在Yao區間集[12-14]和濾子理論[15-20]研究工作的基礎上,作為文獻[21]研究討論的繼續，進一步將區間集和濾子理論運用到非交換剩余格上,引入區間集非交換剩余格廣義模糊布爾濾子的概念，給出了區間集上非交換剩余格廣義模糊布爾濾子的等價性刻畫及其特征性質。

1 預備知識

定義 1[18]設＜I(2U),∪,∩,?,?,→,μ,?＞是一個（2，2，2，2，2，0，0）型代數，若滿足以下條件：

1）＜I(2U)∪,∩，μ，?＞是一個有界格；

2) ＜I(2U)?,μ，?＞是 μ 以為單位元的半群；

3) ?X，Y，Z∈I(2U)，X?Y?Z 當且僅當 X?Y?Z當且僅當Y?X→Z，則稱I(2U)為區間集上非交換剩余格。

性質1[18]設I(2U)是一個區間集上非交換剩余格,?X，Y，Z∈I(2U),則有以下性質成立：

1）?(→)：I(2U)×I(2U)→I(2U)關于第二個變量不減,關于第一個變量不增；

定義2[18]設I(2U)是區間集上非交換剩余格,F?I(2U),F≠μ 如果?X，Y∈I(2U)，有

那么稱F為I(2U)上的一個濾子，所有濾子之集記為F(I(2U))。

又若F是I(2U)的一個濾子,且滿足?X，Y∈I(2U),X∪Y?F可推出X?F或Y?F,則稱F是I(2U)的素濾子。

命題1[18]設I(2U)是區間集上非交換剩余格,F?I(2U),F≠?,則F是濾子當且僅當F滿足：

1）μ∈F；

2）若 X∈F,X?Y∈F 或者 X→Y∈F,則 Y∈F。定義3[18]設I(2U)是區間集上非交換剩余格,F：I(2U)→[?，μ]是一個映射，則 F 為 I(2U)的模糊子集。

定義4[18]設I(2U)是區間集上非交換剩余格,?X，Y∈I(2U),F∈F(I(2U)),如果F滿足以下條件：

1）若 X?Y,則 F(Y)?F(X)；

2）F(X?Y)?F(X)?F(Y),

則F稱之為I(2U)上的模糊濾子,全體模糊濾子之集記為FF(I(2U))。

命題2[18]設I(2U)是一個區間集上非交換剩余格,F∈FI(2U),則F是I(2U)上的一個模糊濾子的充要條件為：

命題3設I(2U)是一個區間集上非交換剩余格,F∈F(I(2U))，則以下條件等價：

1）F是I(2U)上的一個模糊濾子；

2)?X,Y,Z∈I(2U),如果 X?(Y?Z)=?,則F(Z)?F(X)∩F(Y)；

3)?X,Y,Z∈I(2U),如果 X→(Y→Z)=μ,則F(Z)?F(X)∩F(Y)。

2 I(2U)廣義模糊布爾濾子的特征性質

定義5設I(2U)是區間集上非交換剩余格,F∈F(I(2U)),若 F 滿足?X,Y∈I(2U)，XUXˉ∈I(2U)且 X∪X?∈I(2U)，則稱 F 為 I(2U)上的一個廣義布爾濾子，這里 Xˉ=X??,X?=X→?。

定義6設I(2U)是區間集上非交換剩余格,F∈FF(I(2U)),若有關系式：

?X∈I(2U),F(X∪Xˉ)=F(X∪X?)=F(μ),則 F 稱為I(2U)上的一個廣義模糊布爾濾子。

定理1設I(2U)是區間集上非交換剩余格,F,G∈FF(I(2U)),F?G 且 F(μ)=G(μ)，若 F 是 I(2U)上的一個廣義模糊布爾濾子，則G也是I(2U)上的一個廣義模糊布爾濾子。

證明設?X,Y∈I(2U)，由F是I(2U)上的一個廣義模糊布爾濾子及題設條件可得

從而 G(X∪Xˉ)=G(X∪X?)=G(μ),故 G 也是I(2U)上的一個廣義模糊布爾濾子。

定理2設I(2U)是區間集上非交換剩余格,F∈FF(I(2U)),則以下條件等價：

1）F是廣義模糊布爾濾子；

證明由 1）推出定理 2中 2）。設 X,Y∈I(2U)，則由性質1之7）知：

可類似地證得F(X→Y)?F(X→(Y??Y))。

由定理2中2）推出定理2中3)。設X，Y∈I(2U)，因為 φ?Y，則由性質 1 之 1）知 Xˉ=X?φ?X?Y，進而有(X?Y)→X?Xˉ→X，故

可類似證得 F(X)?F((X→Y)?X)。

故證得定理2中3）成立。

由定理2中3）推出定理2中4）。不妨在定理 2 中 3）中令 Y=?,可證式 4）成立。

由定理2中4）推出定理2中1）。設X∈I(2U)，由于(X∪Xˉ)ˉ=Xˉ∩(Xˉ)ˉ?X∪Xˉ，則依據性質 1.1之 2）得到(X∪Xˉ)ˉ→(X∪Xˉ)=μ，繼而

F((X∪Xˉ)ˉ→(X∪Xˉ))=F(μ),又結合定理 2 中4）有

F((X∪Xˉ)ˉ→(X∪Xˉ))?F(X∪Xˉ)，故 F(X∪Xˉ)=F(μ)?？深愃谱C得 F(X∪X?)=F(μ)。這樣證得 F是廣義模糊布爾濾子。

定理3設I(2U)是區間集上非交換剩余格,F是I(2U)上的一個模糊廣義布爾濾子，?X,Y∈I(2U)，則以下性質成立：

證明1)設?X,Y∈I(2U),則由性質1之5)知

(X∪Xˉ)?(X?Y)=(X?(X?Y))∩(Xˉ?(X?Y)=X?(X?Y),則 F((X∪Xˉ)?(X?Y))=F(X?(X?Y))。又因為F是廣義模糊布爾濾子,所以F(X?Y)?F(X∪Xˉ)∩F((X∪Xˉ)?(X?Y)=F(μ)∩F(X?(X?Y))=F(X?(X?Y))。

可以類似證明F(X→Y)?F(X→(X→Y)。

2）設?X,Y∈I(2U),一方面，依據性質 1之 7）有 X?(Y→X)?X，從而((Y→X)?X)??X??X→Y，進一步得到(X→Y)?Y?((Y→X)?X)??Y?((Y→X)?X)?? ((Y→X)?X)。

又因為F是廣義模糊布爾濾子，則

另一方面，根據性質1之7）有Y?(X→Y)?Y，

從而((X→Y)?Y)??Y??Y→X,

進一步得到

又因為F是廣義模糊布爾濾子，所以

故由以上兩方面得到F((X→Y)?Y)=F(Y→X)?X))。

可以類似證明第二式也成立。

3)設?X，Y∈I(2U),依據性質 1 之式 5）及 2）可知：

因為F是廣義模糊布爾濾子，所以

F(X)?F(X∪X?)∩F((X∪X?)→X?)?F(μ)∩F(X?→X)=F(X?→X)。又由于 X??X→Y，則根據性質之 1之 1）有(X→Y)→X?X?→X，因而由定義4 得到 F((X→Y)→X)?F(X?→X),進一步有 F(X)?F((X→Y)→X)，再依據性質 1 之 6）知 μ?(Y→X)?((Y→X)?X)→(μ?X)，由性質 1 之 2）有 Y→X?((Y→X)?X)→X，再由性質 1 之 1）得到(Y→X)→(((Y→X)?X)→Y)?(((Y→X)?X)→X→(((Y→X)?X)→Y)?X→Y,

又因為Y?((Y→X)?X)→Y，則由性質1之1）有 Y→X?(((Y→X)?X)→Y)→X，從而再根據性質1之1）得

從而

同樣類似的方法可以證得F(((Y?X)→X)?Y)?F(X?Y)。

3 結語

本文是區間集思想和濾子理論應用于非交換剩余格上，引入了區間集上非交換剩余格廣義模糊布爾濾子的定義，研究了其等價性刻畫和基本特征性質表示定理。是否可以建立區間集非交換剩余格的相應廣義模糊代數結構，將成為進一步深入探討的問題。

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