強增生映像零點的迭代逼近

張樹義， 林 媛， 鄭曉迪

(1.渤海大學 數理學院，遼寧 錦州 121013;2.錦州師范高等專科學校 計算機系,遼寧 錦州 121001)

強增生映像零點的迭代逼近

張樹義1， 林 媛1， 鄭曉迪2

(1.渤海大學 數理學院，遼寧 錦州 121013;2.錦州師范高等專科學校 計算機系,遼寧 錦州 121001)

在‖un‖→0(n→∞)的條件下,使用新的分析方法,在賦范線性空間中研究了強增生映像零點的最速下降法的迭代逼近問題，從而改進和發展了一些已知的結果.

賦范線性空間；強增生映像；最速下降法;迭代逼近

0 引 言

1 預備知識

設E是一實賦范線性空間,E*是E的對偶空間,正規對偶映像J:E→2E*定義為J(x)={f∈E*:〈x,f〉=‖x‖2=‖f‖2},其中〈·,·〉表示E和E*的廣義對偶組.

定義1 對映像A:E→E，若存在常數k∈(0,1)，使得對任給的x,y∈E，存在j(x-y)∈J(x-y)，滿足〈Ax-Ay,j(x-y)〉≥k‖x-y‖2,則稱A為強增生的,并稱k為A的強增生常數.

引理1[6,8]設E是賦范線性空間,J:E→2E*是正規對偶映像,則?x,y∈E，有

‖x+y‖2≤‖x‖2+2〈y,j(x+y)〉, ?j(x+y)∈J(x+y).

2 主要結果

定理1 設E是賦范線性空間，A：E→E是強增生映像，x*為Ax=0的唯一解.對任給x1∈E,定義帶誤差的最速下降的迭代序列{xn}為

證明 由式(1)、引理1和定義1知,存在j(xn+1-x*)∈J(xn+1-x*)，使得

‖xn+1-x*‖2=

‖xn-x*‖2-2αn〈Axn+1-Axn+1+Axn-Ax*,j(xn+1-x*)〉-2αn〈un,j(xn+1-x*)〉≤

‖xn-x*‖2-2αnk‖xn+1-x*‖2+2αn‖Axn+1-Axn‖‖xn+1-x*‖+2αn‖un‖‖xn+1-x*‖.

(2)

記dn=‖Axn-Axn+1‖, 因為dn→0,‖un‖→0(n→∞),且

2‖un‖‖xn+1-x*‖≤‖un‖+‖un‖‖xn+1-x*‖2,2dn‖xn+1-x*‖≤dn+dn‖xn+1-x*‖2,

(3)

Q=max{‖xn2-x*‖,‖xn2+1-x*‖,…,‖xm-1-x*‖,‖xm-x*‖}.

顯然,0

下面用歸納法證明?n≥m，有‖xn-x*‖≤Q.顯然,當n=m時結論成立.假設對n(n≥m)時結論成立.下面證明,對n+1時結論也成立.假設結論不成立,則‖xn+1-x*‖>Q.由式(3)可得

‖xn+1-x*‖2≤‖xn-x*‖2+2αn(‖un‖+dn)Q2-2αnkQ2+2αn‖un‖+2αndn≤

‖xn-x*‖2+2αn[(‖un‖+dn)(Q2+1)-kQ2]≤‖xn-x*‖2≤Q2,

這是一個矛盾.因此,當?n≥m時,有‖xn-x*‖≤Q成立

‖xn+1-x*‖2≤‖xn-x*‖2+2αn[(‖un‖+dn)(Q2+1)-kτ2]≤

移項整理得kτ2αn≤‖xn-x*‖2-‖xn+1-x*‖2,?n≥n3.從而?h≥n3,有

‖xn3-x*‖2-‖xh+1-x*‖2.

下面證明:對?ε∈(0,1),?m≥1,有‖xnj0+m-x*‖≤ε.顯然,當m=1時結論成立.假設對m時結論成立.下面證明,對m+1時結論也成立.假設結論不成立,則有‖xnj0+m+1-x*‖>ε.由式(3)有

‖xnj0+m+1-x*‖2≤‖xnj0+m-x*‖2+2αnj0+m[(‖unj0+m‖+dnj0+m)(Q2+1)-kε2]≤

這是一個矛盾.因此,?m≥1,有‖xnj0+m-x*‖≤ε成立.由ε∈(0,1)的任意性可知xn→x*(n→∞).定理1證畢.

[1]Chidume C E,Zegeye H.Approximation methods for nonlinear operator equations[J].Proc Amer Math Soc,2002,131(8):2467- 2478.

[2]李小玲,劉理蔚.關于賦范線性空間中增生算子方程的迭代逼近問題[J].應用泛函分析學報,2007,9(3)：254- 258.

[3]張樹義.賦范線性空間中強增生算子方程的迭代解[J].應用泛函分析學報,2010,12(1):75- 78.

[4]沈自飛,楊敏波,王亞琴.漸近偽壓縮映像的收斂性定理[J].數學年刊,2005,26A(5):669- 674.

[5]宣渭峰,王元恒.雙復合修正的Ishikawa 迭代逼近非擴張映像不動點[J].浙江師范大學學報:自然科學版,2009,32(4):401- 405．

[6]張樹義.賦范線性空間中漸近擬偽壓縮型映像不動點的修改的廣義Ishikawa迭代逼近[J].應用數學學報,2011,34(5):886- 894.

[7]張樹義,宋曉光.Hilbert空間中φ- 強偽壓縮映像的一個注記[J].浙江師范大學學報:自然科學版,2013,36(1):28- 30.

[8]Chidume C E,Zegeye H,Ntain B.A generalized steepest descent approximation for the zero ofm- accretive operator[J ].J Math Anal Appl,1999,236(1):48- 73.

(責任編輯 陶立方)

Iterative approximation of zero points for strongly accretive mappings

ZHANG Shuyi1, LIN Yuan1, ZHENG Xiaodi2

(1.CollegeofMathematicsandPhysics，BohaiUniversity，Jinzhou121013,China; 2.DepartmentofComputer,JinzhouTeacher′sTrainingCollege，Jinzhou121001,China)

It was studied the problem of the iterative approximation of the sequence defined by the steepest descent method of zero points for strongly accretive mappings in normed linear space by using a new analytical method and the condition ‖un‖→0(n→∞). The results improved and extended some known results.

normed linear space; strongly accretive mapping; steepest descent method; iterative approximation

10.16218/j.issn.1001- 5051.2017.02.002

2016- 05- 23；

2016- 10- 09

國家自然科學基金資助項目(11371070)

張樹義(1960-)，男，遼寧錦州人，教授.研究方向：非線性泛函分析.

O177.91

A

1001- 5051(2017)02- 0127- 03