淺談提升數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有效性的具體方法

李圖南

摘要：提升課堂教學(xué)的有效性已經(jīng)成為當(dāng)前深化課程改革的關(guān)鍵和根本要求。追求課堂教學(xué)的有效性，就是要求我們?cè)谛抡n程理念的指導(dǎo)下，在發(fā)揮學(xué)生主體作用的前提下，改革課堂教學(xué)模式，提高課堂教學(xué)實(shí)效，形成包括探究、合作、對(duì)話為內(nèi)容的課堂教學(xué)文化，構(gòu)建符合學(xué)生身心發(fā)展的有效課堂。而數(shù)學(xué)教學(xué)課堂，早已經(jīng)由原來的“題海戰(zhàn)術(shù)”轉(zhuǎn)而向“精講精練”過度，如何充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，讓不同人的不同思維在同一個(gè)課堂上得到交流深化，從而彼此促進(jìn)，共同成長，成了初中數(shù)學(xué)教師必須探索的一課。

關(guān)鍵詞：探索有效教學(xué)；一題多解；一題多變；多題一解

有效教學(xué)是指教師遵循教學(xué)活動(dòng)的客觀規(guī)律，以盡量少的時(shí)間、精力和物力投入，取得盡可能好的教學(xué)效果，從而實(shí)現(xiàn)特定的教學(xué)目標(biāo)，滿足社會(huì)和個(gè)人的教育價(jià)值需求。在初中數(shù)學(xué)課堂中，如何高效的提升學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性的理解，使其形成知識(shí)體系，從而發(fā)展思維的深度和廣度，這一點(diǎn)尤為重要。在學(xué)生已經(jīng)掌握了某一單元的基礎(chǔ)知識(shí)的前提下，如何將這些知識(shí)靈活運(yùn)用、精準(zhǔn)遷移到題目，從而提高課堂教學(xué)的有效性呢？下面介紹三個(gè)具體方法為：“一題多解”“一題多變”和“多題一解”[1]

一、一題多解？

一題多解，就是同一個(gè)問題有多種解法。一題多解，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維，串聯(lián)知識(shí)的內(nèi)涵和外延，融會(huì)貫通，也有利于培養(yǎng)聚合思維，提煉結(jié)論，殊途同歸、從中擇優(yōu)。

首先舉一個(gè)特別簡單的例子

例1：下列幾組數(shù)中不能作為直角三角形三邊長度的是（ ）

A、a=6，b=24，c=25 B、a=1.5，b=2，c=2.5

C、a=，b=2，c= D、a=15，b=8，c=17

解法一：直接計(jì)算。以勾股定理為依據(jù)，看是否有較小的兩個(gè)數(shù)的平方和等于第三個(gè)數(shù)的平方。

解法二：尋找特殊比。對(duì)每組中的數(shù)據(jù)作比，看是否等于我們所熟悉的勾股數(shù)。比如：B中a：b：c=3：4：5，所以B中的數(shù)據(jù)可以作為角三角形三邊長度。

解法三：估算。只計(jì)算每個(gè)數(shù)的末位數(shù)的平方。比如：A中a、b是較小兩數(shù)。a、b、c的末位數(shù)字分別是6、4、5，則他們的平方的末尾數(shù)是6、6、5。所以的末尾數(shù)字為2，這與的末尾數(shù)字不相等。故A中數(shù)據(jù)不能作為直角三角形三邊長度。

如此簡單的一道題目，經(jīng)過三種方法的思考和梳理，學(xué)生不但對(duì)勾股定理有了更深刻的理解，同時(shí)對(duì)于有關(guān)勾股定理的計(jì)算、常用勾股數(shù)在計(jì)算中的應(yīng)用、也有了更清晰認(rèn)識(shí)，比起做很多類似的題目卻還是一個(gè)個(gè)驗(yàn)算這種常規(guī)方法，不能不說是極大的提高了課堂的效率。[2]

再比如：初三復(fù)習(xí)時(shí)遇到的一個(gè)題目：

例2、如圖，直角梯形ABCD中，點(diǎn)F為AB上一點(diǎn)，且，點(diǎn)M為FC的中點(diǎn)，連接FD、BD、ME，設(shè)FC與DE相交于點(diǎn)N，下列結(jié)論：

（1） ； （2）⊿DFN∽⊿CBD ；

（3） ； （4） ME垂直平分BD，

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）

A. 1個(gè)；B. 2個(gè)；C. 3個(gè)；D. 4個(gè)

分析：本題答案為D，在證明第三個(gè)結(jié)論時(shí)，學(xué)生分別指出了不同的解法：

連結(jié)DM，往證⊿DFB∽⊿DME（一角相等且夾邊對(duì)應(yīng)成比例），由此得出結(jié)論。

連結(jié)DM，BM，過點(diǎn)M做MH⊥BC于點(diǎn)H，由DM=BM=，DE=BE，得EM為BD中垂線，進(jìn)而得出等腰直角⊿MEH，由FB和ME與MH的關(guān)系，得出結(jié)論。

過點(diǎn)F做FP//AD交DE于點(diǎn)P，連結(jié)PM、DM，往證⊿DMP∽⊿CME，從而說明⊿PME為等腰直角三角形，由此得證結(jié)論。

此題的三種解法都非常的巧妙，各有各的出發(fā)點(diǎn)和思考方向，綜合運(yùn)用了相似三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線性質(zhì)等，不同的學(xué)生運(yùn)用不同的思路解題，深入淺出，同學(xué)之間互相啟發(fā)，既拓展了思路的深度又開闊了思維的廣度，課堂容量得到了提升，同學(xué)的積極性也極大提高。讓人看到了有效的課堂。

二、一題多變

在教學(xué)中一題多變，能使學(xué)生克服思維定勢(shì)的影響，不局限于某一方面的思考，多角度多方位分析問題、解決問題。它有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，更有利于培養(yǎng)他們的發(fā)散直

性思維，達(dá)到提高綜合能力的目的。

例如在講到完全平方式時(shí)遇到的一個(gè)題目：

例3：在后加上一項(xiàng)、使其成為完全平方式

解：（1）配中間項(xiàng)：

（2）以

學(xué)生很容易答出第一種情況的兩個(gè)答案、第二種情況少數(shù)人可以想到、我在明確了完全平方式的定以后、將題目稍作修改：

變式1：在后加上一項(xiàng)、使其成為某個(gè)整式的完全平方

解：除和外、還可以有和

讓人驚喜的是、在此基礎(chǔ)上、有學(xué)生又提出了變式：

變式2：在后加上一項(xiàng)、使其成為某個(gè)代數(shù)式的完全平方

解：除、、和外還可以加上

通過這樣的變式練習(xí)，讓學(xué)生由淺入深、主動(dòng)思考此類問題的解決方向，自主出題積極思考，最后歸納總結(jié)：首先要注意審題，明確題目要求；其次在整理成完全平方的形式時(shí)、要分清平方項(xiàng)和乘積項(xiàng)究竟是誰，從而解決問題。學(xué)生通過自主探索，不但對(duì)完全平方式有了更深刻的認(rèn)識(shí)，而且感受到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美，比起死板的告訴學(xué)生配方要注意些什么，更加有效、高效。

再比如我們?cè)趯W(xué)習(xí)中點(diǎn)四邊形時(shí)常常遇到的：

例4：依次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形稱為中點(diǎn)四邊形。求證：平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形。

變式1 求證：任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形。

變式2 求證：矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形。

變式3 求證：菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形。

變式4 求證：正方形的中點(diǎn)四邊形是正方形。

變式5 什么四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形？

變式6 什么四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形？

變式7 什么四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形？

通過這樣一系列變式訓(xùn)練，使學(xué)生充分掌握了四邊形的所有基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念，強(qiáng)化溝通了常見特殊四邊形的性質(zhì)、判定、三角形中位線定理等，極大地拓展了學(xué)生的解題思路，活躍了思維，激發(fā)了興趣、總結(jié)了規(guī)律、從而提升了課堂效率

三、多題一解

多題一解，就是舉一反三，《論語·述而》：“舉一隅，不以三隅反，則不復(fù)也?！焙笠浴芭e一反三”謂觸類旁通。 “舉一反三”思想的應(yīng)用可以縮短學(xué)生的解題時(shí)間，提高解題的效率。此外，“舉一反三”思想的大量使用，可以提高學(xué)生的探究能力和自主性，進(jìn)一步推動(dòng)數(shù)學(xué)教育教學(xué)的方式轉(zhuǎn)變，從而讓數(shù)學(xué)課堂更加有效。比如以下幾個(gè)例題： [3]

例1、在直線l：x+y- 4=0上求一點(diǎn)M，使它到A（1，2）、B（- 1，3）的距離之和最小。

分析：（1）首先判斷是在直線的同側(cè)還是異側(cè)。

（2）若在同側(cè)，先求出A（或B）關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)A（B），再求直線AB（AB）所在的直線方程，與已知直線方程聯(lián)立，求出M點(diǎn)坐標(biāo)。

（3）若在異側(cè)，只需求出AB所在直線的方程，與已知直線方程聯(lián)立，求出M點(diǎn)坐標(biāo)。

例2、光線從A（0，1）發(fā)出，射到x軸上M點(diǎn)，經(jīng)反射后射到圓C（5，6）：上，求光線經(jīng)過的最短距離。

分析：求出點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)A，這個(gè)最短距離可轉(zhuǎn)化為A到圓C的最短距離。即AC減去圓的半徑。由AC的方程，可得M點(diǎn)坐標(biāo)。具體解題過程同學(xué)們自己完成。

例3. 求 的最小值。

分析：這道題目用代數(shù)的方法來解決也比較困難?？紤]到根號(hào)內(nèi)的部分非常接近兩點(diǎn)間的距離公式可如下整理、變形：

看作點(diǎn)（x，0）到點(diǎn)（1，2） （4，6）的距離之和最小問題。由于點(diǎn)（1，2）、 （4，6）在x軸同側(cè)，可求（1，2）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)（1，- 2），那么（1，- 2）與（4， 6）之間的距離即為最小值。具體解題過程請(qǐng)同學(xué)們自己完成。

以上三道題目，所使用的方法是一樣的，雖然形式不同，但是內(nèi)涵不變。通過多題一解的訓(xùn)練，領(lǐng)會(huì)同一數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法在不同題目背景下的不同體現(xiàn)，能夠加深對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的理解，促進(jìn)數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。

拉普拉斯說："在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納與類比。“一題多解”、“一題多變”和“多題一解”就是用類比和歸納的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練學(xué)生分析問題和解決問題的能力，對(duì)學(xué)生解題能力加強(qiáng)和鞏固。通過一題多解、一題多變、多題一解可以充分的調(diào)動(dòng)學(xué)生的各種感官，積極參與問題的解答與討論，注意總結(jié)解題特征，解題方法，一題多解、一題多變，多題一解，同中求異，異中求同，真正作到觸類旁通，融會(huì)貫通，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行升華。

布魯納曾說：“探索是數(shù)學(xué)的生命線，沒有探索就沒有數(shù)學(xué)的發(fā)展?！?通過“一題多解”、“一題多變”和“多題一解”這種具體的探索方式，可以使我們的數(shù)學(xué)課堂更加有效。

參考文獻(xiàn)？？

[1] 張雄.數(shù)學(xué)方法論與解題研究[M].高等教育出版社.

[2] 王千.如何認(rèn)識(shí)一題多解的教育功能[M].數(shù)學(xué)通報(bào)，2004.9.

[3] 趙卿敏.創(chuàng)新能力的形成和培養(yǎng)[M].華中科技大學(xué)出版社，2002.326-330.