理清困難 尋找突破
——以分?jǐn)?shù)教學(xué)為例談數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)

◎劉妍霞

卷首語

理清困難 尋找突破
——以分?jǐn)?shù)教學(xué)為例談數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)

◎劉妍霞

“數(shù)學(xué)是思維的體操”，它能開發(fā)學(xué)生的智力，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，有助于學(xué)會思考、學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會創(chuàng)造。

知識是思維的載體，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是為了促進(jìn)智慧的生長。鄭毓信教授曾強(qiáng)調(diào)：分?jǐn)?shù)是數(shù)學(xué)思維真正進(jìn)入小學(xué)數(shù)學(xué)的地方。分?jǐn)?shù)也是一些學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出真正困難的實際起點(diǎn)。

一、為什么困難

分?jǐn)?shù)是學(xué)生數(shù)的概念的第一次擴(kuò)展。在認(rèn)識分?jǐn)?shù)之前，學(xué)生認(rèn)識的數(shù)都是萬以內(nèi)的整數(shù)，比如：0、1、2、3、4……

數(shù)的產(chǎn)生來源于實際生活的需要。朱國榮老師認(rèn)為，在分?jǐn)?shù)意義拓展時，分?jǐn)?shù)被用來表示一個量與另一個量的比的關(guān)系。比如，把一堆蘋果平均分成兩份，其中的一份是蘋果總數(shù)的蘋果總數(shù)的可能是1個，也可能是2個、3個……，當(dāng)蘋果總數(shù)是1個時，蘋果總數(shù)的就是個。這個不再具體表示數(shù)量的多少，而表示部分和整體數(shù)量之間的關(guān)系。和學(xué)生認(rèn)識自然數(shù)的經(jīng)驗和過程不相一致，不符合學(xué)生認(rèn)識數(shù)的邏輯順序。這也是學(xué)生在認(rèn)識分?jǐn)?shù)時普遍感到模糊、困難的根源。

二、困難在哪里

經(jīng)過一段時間的分?jǐn)?shù)教學(xué)，感觸頗深。蘇教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》“分?jǐn)?shù)”這部分知識分四次教學(xué)，安排如下：

三年級上冊第七單元“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（一）”，認(rèn)識一個物體（或圖形）的幾分之一（幾分之幾），同分母分?jǐn)?shù)的大小比較，同分母分?jǐn)?shù)的加、減法。

三年級下冊第七單元“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（二）”，進(jìn)一步豐富對分?jǐn)?shù)的理解，把幾個物體組成整體，認(rèn)識整體的幾分之一（幾），求整體的幾分之一（幾）是多少。

五年級下冊第四單元“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”，教學(xué)分?jǐn)?shù)的意義和分?jǐn)?shù)單位，分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾，真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)，把假分?jǐn)?shù)化成整數(shù)或帶分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化，分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，約分通分。

六年級上冊第二單元“分?jǐn)?shù)乘法”，分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘，求一個數(shù)的幾分之幾是多少的實際問題，分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)連乘及其實際問題，認(rèn)識倒數(shù)。

六年級上冊第三單元“分?jǐn)?shù)除法”，分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，簡單的分?jǐn)?shù)除法實際問題，分?jǐn)?shù)連除和乘除混合運(yùn)算。

六年級上冊第五單元“分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算”，分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算，稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)實際問題。

經(jīng)過梳理教材，有兩個知識點(diǎn)在學(xué)生的思維的提升方面起著至關(guān)重要的作用，可謂是兩次飛躍。

（一）第一次飛躍——分?jǐn)?shù)的意義

學(xué)生對分?jǐn)?shù)認(rèn)識，首次感受到一個數(shù)不再單純的表示量，它是從感性走向理性的開始。分?jǐn)?shù)的意義,在分?jǐn)?shù)這部分知識中起引領(lǐng)作用，不論是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，分?jǐn)?shù)大小的比較，約分、通分及四則計算,分?jǐn)?shù)實際問題都建立在分?jǐn)?shù)意義之上。從數(shù)學(xué)的角度來看，分?jǐn)?shù)的引入是為了解決在整數(shù)集合里除法不是總能實施的矛盾。因此,讓學(xué)生認(rèn)識到將一個物體、一個圖形、一個計量單位、一些物體作為整體平均分，抽象出單位“1”，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握分?jǐn)?shù)的概念,分?jǐn)?shù)中的其它知識也會迎刃而解。

（二）第二次飛躍——分?jǐn)?shù)乘法

分?jǐn)?shù)乘法的計算方法的推導(dǎo)和有關(guān)分?jǐn)?shù)乘法的實際問題的解決，為學(xué)生對分?jǐn)?shù)作為分率的理解提供了機(jī)會。從中可以認(rèn)識到分?jǐn)?shù)不僅可以表示一個具體的量，還可以表示部分與整體之間的關(guān)系。學(xué)生從具體的數(shù)的世界轉(zhuǎn)入到抽象的數(shù)的世界，認(rèn)知上的一次跳躍，又是一次理性的提升。

三、如何突破困難

（一）讓數(shù)學(xué)思維在“說”中漸入佳境

數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)思維的工具，是數(shù)學(xué)思維的外殼。愛因斯坦曾說過：“一個人智力的發(fā)展和形成概念的方法，在很大程度上取決于語言。”小學(xué)生語言區(qū)域狹窄，更缺乏數(shù)學(xué)語言。實踐證明：語言能力提高了，思維能力也得到很好的發(fā)展。因此，在分?jǐn)?shù)教學(xué)中，發(fā)展學(xué)生的思維，就要加強(qiáng)說理訓(xùn)練。

1.引導(dǎo)模仿，仿照著說

模仿是提供一種數(shù)學(xué)語言表達(dá)的范式，讓學(xué)生仿照著范式思考，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的準(zhǔn)確性。在進(jìn)行分?jǐn)?shù)實際問題教學(xué)中，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)題中的關(guān)鍵句、單位“1”和數(shù)量關(guān)系，而題中的關(guān)鍵句的呈現(xiàn)形式各不相同。如：“十月份用水量比九月份節(jié)約-“其中是第一天用的”“一袋米吃了”等等。在理解這些句子中分?jǐn)?shù)意義時，可以讓學(xué)生試著這樣說：把哪個量看作單位“1”？誰的幾分之幾是多少？數(shù)量關(guān)系式是什么？通過多次訓(xùn)練，學(xué)生不僅掌握了分析數(shù)量關(guān)系的方法，而且從兒童的自然語言，逐步過渡到規(guī)范、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言，提高了學(xué)生數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，也促進(jìn)了學(xué)生思維能力的提高。

2.引導(dǎo)聯(lián)想，變著法說

引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想，通過一個條件（關(guān)系）推出與其相關(guān)的條件（關(guān)系），培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。在解決分?jǐn)?shù)實際問題系時，關(guān)鍵句不僅可以表述成分?jǐn)?shù)的形式，還可以表述成其他形式。如：根據(jù)“鹽是鹽水的啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想：水是鹽水的鹽是水的鹽比水少鹽與鹽水的比是（）：（），鹽與水的比是（）：（），水是鹽的（）倍等等。

在教學(xué)中，教師創(chuàng)造數(shù)學(xué)語言訓(xùn)練的機(jī)會，循循善誘，讓學(xué)生在“說”中“思”，在“思”中“說”，培養(yǎng)學(xué)生表達(dá)自己見解的習(xí)慣，鼓勵學(xué)生敢“想”，敢“說”，敢“與眾不同”，對提高學(xué)生的求異思維起到事半功倍的效果。

3.引導(dǎo)反思，有條理地說

由于學(xué)生自我意識的發(fā)展還不成熟，對自己的思維破綻、錯誤不易注意。當(dāng)學(xué)生對所學(xué)的內(nèi)容有了較全面的理解和掌握時，教師應(yīng)及時引導(dǎo)學(xué)生反思，讓學(xué)生說解題思路、解題步驟。在說的過程中，不斷調(diào)整自己的思維，試著自我總結(jié)，自我評價，提煉思想方法并形成解題策略。因此，在解決分?jǐn)?shù)實際問題的過程中，應(yīng)著力培養(yǎng)學(xué)生“自我反省”的習(xí)慣，有條理的表述思維過程。

4.引導(dǎo)比較，自由地說

在分?jǐn)?shù)教學(xué)中，有很多具體內(nèi)容不同，但有著相似結(jié)構(gòu)的實際問題，教師可以創(chuàng)造機(jī)會，讓學(xué)生仔細(xì)觀察，鼓勵學(xué)生獨(dú)立思考，比較其相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，自由的發(fā)表自己的見解，從聯(lián)系中探索內(nèi)在規(guī)律，這樣，不同于單純的就題講題，還可以形成“自由辯論”的學(xué)風(fēng)。

如：梨有60千克，______。蘋果有多少千克？

通過各抒己見，探索結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，把相同的思考過程提煉出來，進(jìn)一步抽象化、符號化。這樣，在面對新的實際問題時，就能把已有的方法和策略，類推到新的情境中，迅速找到解決問題的方法。通過這樣的練習(xí)，可以豐富學(xué)生的聯(lián)想，增強(qiáng)思維活力，提高思維敏捷性。

（二）讓數(shù)學(xué)思維在“圖”中越飛越高

運(yùn)用線段圖解決問題是一種數(shù)學(xué)技能。圍繞“解決分?jǐn)?shù)實際問題”對我校六年級學(xué)生做了調(diào)查問卷。情況如下：

線段圖和算式都正確能讀懂題意但不會畫圖會畫線段圖但列不出算式會列式不會畫線段圖畫出的線段圖和算式不能對應(yīng)占的百分比 4 0 . 9 % 3 4 . 3 % 1 1 . 4 % 7 . 8 % 5 . 6 %

我們總想學(xué)生把線段圖當(dāng)做一種解題的策略，信手拈來。從上面的數(shù)據(jù)可以看出，對于大多數(shù)學(xué)生來說，成人看似簡單的線段圖，學(xué)生理解有一定的困難。

1.在具體情境中理解分?jǐn)?shù)的意義

2.由“文”到“圖”

從兒童視角出發(fā)，將數(shù)學(xué)知識的過程、方法和結(jié)果用圖像進(jìn)行表征，勾勒出數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)屬性。借助于學(xué)生能見到的或想到的幾何圖形、線段圖等，對數(shù)量關(guān)系的直接感知，幫助學(xué)生理清數(shù)量關(guān)系：哪個量作為單位“1”，哪部分是單位“1”的幾分之幾，抽象的數(shù)量關(guān)系變得直觀，有利于學(xué)生把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。

3.圖式結(jié)合，強(qiáng)化訓(xùn)練

教材中提供現(xiàn)成的線段圖，幫助學(xué)生理解題意，但學(xué)生并不理解畫線段圖的過程。教學(xué)中讓學(xué)生自己試著畫，還原圖形，然后與教材中的圖對照，發(fā)現(xiàn)錯誤及時糾正。學(xué)生會畫線段圖不是一朝一夕能解決的問題，教師還應(yīng)多鼓勵。

用線段圖來表征數(shù)學(xué)問題，可以幫助學(xué)生輕松的解答復(fù)雜關(guān)系的實際問題，既培養(yǎng)了學(xué)生的能力，又促進(jìn)了學(xué)生思維的發(fā)展。因此畫線段這樣的圖式意識是一種重要數(shù)學(xué)觀念，會用圖式表征是關(guān)鍵數(shù)學(xué)能力，圖式思維更是必備學(xué)習(xí)品質(zhì)。

（作者單位：江蘇省南京市溧水區(qū)實驗小學(xué)）

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）