基于分數階次符號函數的永磁同步電機滑模控制技術

鄭美茹 王 圣 王 豐 劉文陽

(1. 陜西鐵路工程職業技術學院 渭南 714000 2. 國網上饒供電公司 上饒 334000 3. 北京理工大學自動化學院 北京 100081)

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基于分數階次符號函數的永磁同步電機滑模控制技術

鄭美茹1王 圣2王 豐3劉文陽3

(1. 陜西鐵路工程職業技術學院 渭南 714000 2. 國網上饒供電公司 上饒 334000 3. 北京理工大學自動化學院 北京 100081)

針對永磁同步電機的傳統滑模控制技術中趨近速度與抖振程度之間存在矛盾的問題，利用分數階積分型符號函數的特性，設計了一種基于分數階的積分時變滑模變結構控制器。在趨近律的設計中引入分數階，達到了在抖振程度較小的前提下提高系統響應速度的目的。仿真和實驗結果證明了所提出的滑模控制方法相比于傳統的滑模控制方法能更快、更好地跟蹤給定的信號，且對系統外部擾動具有較強的魯棒性。

分數階微積分 滑模控制 符號函數 快速趨近律

0 引言

永磁同步電機(Permanent Magnet Synchronous Motor,PMSM)具有結構簡單、體積小、可靠性高等優點，在眾多領域都得到了廣泛的應用。目前，永磁同步電機最常見的控制方式為PID控制。雖然PID控制簡單、可靠且調節方便，但在外界存在很大擾動或電機內部參數變化較大的情況下其難以滿足精確地調速要求[1]。

基于以上原因，近年來，越來越多的現代控制理論(如自適應控制、模糊控制、滑模控制等)被用來提高永磁同步電機的控制性能[2]。其中，滑模控制由于對外界擾動和系統參數變化具有很強的魯棒性而得到了廣泛關注，并在電機的伺服系統中得到了應用。但傳統的滑模控制中系統的趨近快速性和抖振程度是相互矛盾的，系統的趨近速度越快引起的抖振程度越高[3]。為了解決這個問題，很多學者提出了不同的方案。文獻[4]采用了一種模糊趨近律來實時調節趨近律參數，加快了系統的趨近速度并減弱了抖振。文獻[5] 通過將邊界層正則化來達到減弱抖振的目的。文獻[6]利用分數階系統可調的收斂方式，縮短了系統在滑模面的收斂過程，減小了抖振程度。盡管上述文獻都在一定程度上加快了系統的趨近速度并減弱了抖振，但仍存在設計復雜、包含穩態誤差等問題。

本文探究了分數階積分型符號函數的性質，并嘗試將其應用到永磁同步電機的控制中。不同于文獻[6] 中分數階與滑模控制相結合的方式，本文直接將分數階化的符號函數替代傳統滑模控制中的符號函數，實驗和仿真結果證明了這種方法的可靠性和有效性。

1 永磁同步電機模型

永磁同步電機是一個非線性、強耦合、多變量的復雜系統。本文采用常用的dq軸數學模型對永磁同步電機進行分析。

永磁同步電機的磁鏈方程為

ψd=Ldid+ψr

ψq=Lqiq

(1)

電壓方程為

ud=Rid+pψd-ωψq

uq=Riq+pψq+ωψd

(2)

得到電磁轉矩方程為

Te=pn(ψdiq-ψqid)

(3)

將磁鏈方程代入轉矩方程中有

Te=pn[ψriq+(Ld-Lq)idiq]

(4)

對于面裝式電機，有Ld=Lq=L，式(4)可簡化為

Te=pnψriq

(5)

電機機械方程為

(6)

式中，ud、uq分別為定子電壓d、q軸分量；R為定子繞組電阻；ψd、ψq分別為定子磁鏈d、q軸分量；ψr為永磁體產生的磁鏈；p為微分算子，p=d/dt；ω為電機角速度；pn為電機極對數；Te為電機電磁轉矩；Tl為電機負載轉矩；J為轉動慣量；B為軸承的粘滯系數。

結合式(2)、式(4)、式(6)，采用Id=0的控制策略，可得電機狀態方程為

(7)

2 分數階滑模控制器設計

分數階積分的Riemann-Liouville定義為

式中，λ為分數階積分階次，為任意實數；[a,t]為分數階積分區間；Γ( )為gamma函數。分數階微積分通常具有記憶性、線性、可疊加等性質[7]。

證明：由文獻[8]可以得出分數階微分型符號函數的性質，即

那么根據分數階微積分的性質有

Jλsign(f(t))=JnDn-λsign(f(t))+

在滿足f(0+)=0時，上式可改寫為

Jλsign(f(t))=JnDn-λsign(f(t))

證畢。

本文根據文獻[9，10]的思想，設計了一種基于分數階次符號函數的積分型滑模變結構控制器。為了避免加速度信號給系統帶來高頻噪聲，本文在滑模面的設計中引入誤差信號的積分項，舍去了傳統滑模速度控制中所必須的加速度信號。同時，積分項的加入可以有效消除穩態誤差。為了滿足分數階積分型符號函數的使用條件，將滑模面設計為全局滑模的形式，使系統從初始時刻就在滑模面上運動。全局滑模可以消除到達階段，使系統運動的全過程都具有魯棒性[11]。

將本文設計的滑模控制器應用于永磁同步電機調速系統的過程如下。定義狀態變量為x=ωref-ω，其中ωref為轉速給定。根據電機的狀態方程得

(8)

(9)

設計的滑模面的基本形式為

(10)

式中，c、m、n為常數，n>0；me-t/n為時變項。其中各個常數值的選取原則為：參數c的選取應確保切換函數滿足霍爾維茲多項式；參數n的選取應既滿足滑模面收斂速度的要求又兼顧程序運算精度的要求；此外要求系統初始時刻便處在滑模面上，故必須滿足s(x,0)=0，可得

m=-x(0)

即

將方程(8)代入，可得到等效控制律為

(11)

故系統的控制量可選為

(12)

3 系統性能分析

3.1 可達性分析

為了保證系統的運動能在有限的時間內趨向滑模面，系統必須滿足條件

通常可表達為李雅普諾夫函數的形式，即

=s(d-bη)

(13)

3.2 趨近速度分析

圖1 兩種符號函數值的對比Fig.1 The comparison of two sign function value

可以看出，分數階積分型符號函數值在初始時刻是遠大于1的，且函數值會隨時間增長而衰減到一個小于1的數。這是分數階積分型符號函數的又一特殊性質，利用分數階符號函數的這種類似于“小偏差小增益、大偏差大增益”的特性對滑模控制律進行改造，可以在有效提高趨近速度的同時抑制抖振。

3.3 抖振程度分析

在實際控制系統中，滑模趨近律需要以離散形式進行計算與說明，因此采用離散形式對本文提出的控制律的抖振程度進行分析[13]。

分數階積分型符號函數趨近律的離散形式為

s(n+1)-s(n)=-ηJλsign(s)T

(14)

式中，T為采樣周期。當系統狀態軌跡從s>0(s<0時同理可得)的一側通過有限時間到達滑模切換面，即s(n)=0+，則下一個采樣周期時將分數階積分離散化形式[14]代入式(14)中有

(15)

同理可得分數階微分型符號函數趨近律的離散形式為

(16)

在實際的控制中，采樣周期T<<1，且1>λ>0，故可以得到分數階積分型符號函數的滑模切換帶的寬度遠小于分數階微分型符號函數的滑模切換帶的寬度。基于這個原因，本文的趨近律的設計中選擇了分數階積分型的符號函數而并未選擇同樣具有提取符號性質的分數階微分型的符號函數。

4 仿真和實驗結果

4.1 仿真結果

本文采用電流環、速度環雙閉環控制方式。控制框圖如圖2所示。其中速度控制器采用上文提出的分數階符號函數型的滑模控制律，經過設計的滑模控制器后可產生如式(12)所示的輸出量u，這個控制量輸出即作為內環電流環q軸電流的給定量。產生q軸電流給定信號后與當前q軸電流值作比較，經過電流內環PI控制器可得到d軸和q軸的電壓給定值ud和uq，再經過坐標變換和空間矢量脈寬調制[15]，產生三相電壓指令。d軸電流采用Id=0的控制方式[16，17]。

查詢電機相關參數可得：電機極對數pn=3，定子電阻R=2.875 Ω，電樞電感L=0.000 835 H，永磁體產生的磁鏈為ψr=0.175 Wb，負載轉動慣量J=0.8×10-3kg·m2，阻尼系數F=0.000 1 N·m·s，靜摩擦力轉矩Tf=4 N·m。式(12)中參數c的值在確保使切換函數滿足霍爾維茲多項式的前提下經過對控制效果的觀察選定為2.2；參數m根據全局滑模的條件設為-250；參數n需兼顧收斂速度和計算精度的要求選定為0.001。

圖2 永磁同步電機控制系統框圖Fig.2 The control block of the PMSM

分別采用基于分數階積分型符號函數的滑模控制與普通等速趨近律滑模控制后的轉速響應對比如圖3所示。給定轉速為250 r/min。從圖3可以看到，采用本文提出的分數階滑模控制，在一定程度上能使系統更加快速地無超調地到達給定轉速，且系統的抖振程度和穩態誤差較小。

圖3 兩種控制系統轉速響應對比Fig.3 The speed response comparison of two controller

圖4為轉速伺服系統的分數階滑模控制器和普通滑模控制器對幅值為100 r/min、周期為0.05 s的正弦速度信號的跟蹤對比曲線。從圖中可以看到，兩種控制器都可以平穩地跟蹤給定的正弦速度輸入信號，但普通滑模控制器[18]存在一定的跟蹤誤差，且抖振現象較明顯，而分數階滑模控制器能精確且快速地跟蹤輸入。因此，本文提出的新型滑模控制器具有更好的動態性能和跟隨性能。

圖4 兩種控制系統正弦給定轉速跟蹤對比Fig.4 The speed tracking comparison of two controller

在整個運動過程中，系統滑模面如圖5所示。可以看到，采用全局滑模以后，系統狀態在初始時刻時就處在滑模面上，且滑模面在整個滑動過程中是時變的，能夠使系統狀態始終處于滑模面上，從而消除了到達階段，大大改善了整個運動過程的魯棒性。

圖5 分數階控制系統滑模面波形Fig.5 The sliding surface of the fractional order controller

圖6為在0.1 s時給系統加入8 N·m的負載擾動時兩種系統的轉速響應對比。可以發現在本文設計的控制策略下，突加負載對轉速幾乎沒有影響，而采用普通符號函數的滑模控制系統在突加負載的干擾下，轉速出現了很大程度的跌落，證明了本文設計的控制器的強魯棒性。

圖6 分數階控制系統負載擾動轉速響應Fig.6 The speed response of the fractional order controller with load disturbances

4.2 實驗結果

采用本文提出的控制策略，在低速實驗中將參數m改為25，高速實驗時各參數不變。在基于DSP的永磁同步電機平臺上分別進行了階躍和正弦跟蹤實驗。控制芯片采用飛思卡爾公司型號為MC56F8346的定點DSP，電機采用四通公司型號為120MB040A的永磁同步伺服電機。

圖7和圖8為分別采用分數階符號函數的滑模控制器和普通符號函數的滑模控制器的轉速階躍響應對比曲線。為了減少抖振，所有的轉速信號都是經過了一階卡爾曼濾波后的信號。可以看到無論在低速時或是高速時本文提出的控制器的轉速響應均比普通的滑模控制器的響應速度更快，且抖振相對較小，低速時效果尤為明顯。

圖7 給定低速階躍信號時轉速響應對比Fig.7 The speed response of two controllers when inputting the low step signal

圖8 給定高速階躍信號時轉速響應對比Fig.8 The speed response of two controllers when inputting high step signal

將速度給定改為正弦波給定，觀察兩種控制系統的跟隨特性，如圖9和圖10所示。從圖9和圖10可以看到，兩種控制系統均能較快地跟蹤輸入信號，但分數階型控制系統的穩態誤差較小。在速度反向變化的時刻，可以看到普通控制器的轉速響應存在明顯的抖振情況，而分數階型控制器能一直平穩地跟蹤給定轉速。以上實驗結果表明，本文提出的基于分數階積分型符號函數的滑模控制器控制性能較高。

圖9 給定速度正弦信號整數階控制器轉速跟蹤Fig.9 The tracking response of integer controller when inputting sine signal

圖10 給定速度正弦信號分數階控制器轉速跟蹤Fig.10 The tracking response of fractional controller when inputting sine signal

5 結論

本文提出了一種基于分數階積分型符號函數的全局滑模控制方法。該方法利用分數階積分型符號函數的優良性質，將傳統滑模趨近律中的符號函數用分數階次的符號函數取代，提高了系統趨近速度的同時抑制了系統的抖振。對比基于分數階微分型符號函數的趨近律，本文采用了同樣具有提取符號性質但抖振程度更小的分數階積分型符號函數趨近律。仿真和實驗結果證明了本文提出的控制策略具有較好的速度跟蹤性能，同時對外部負載擾動也具有較強的魯棒性。

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(編輯 于玲玲)

The Sliding-Mode Control Based on Fractional Order Sign Function of Permanent Magnet Synchronous Motor

ZhengMeiru1WangSheng2WangFeng3LiuWenyang3

(1. Shaanxi Railway Institute Weinan 714000 China 2. State Grid Shangrao Power Supply Company Shangrao 334000 China 3. School of Automation Beijing Institute of Technology Beijing 100081 China)

A scheme of fractional order sliding mode speed controller based on fractional order integral sign function is proposed for dealing with the contradiction of the reaching speed and the chattering phenomenon in traditional sliding mode control for permanent magnet synchronous motor (PMSM). Adding the fractional order calculus to the reaching law design can largely increase the response speed on the premise of smaller chattering. The simulation and experiment results demonstrate that the proposed fractional order sliding mode controller not only achieves a faster response speed, but also has a better tracking performance than traditional sliding mode controller. And it also has a good performance of resisting the external disturbance.

Fractional order calculus, sliding mode control, sign function, fast reaching law

陜西鐵路工程職業技術學院常規項目(KY2016-45)和北京市自然科學基金項目(4152046)資助。

2016-03-27 改稿日期 2016-06-10

TM351

鄭美茹 女，1983年生，碩士，講師，研究方向為機電系統性能分析測試與控制。

E-mail：xushengjun078@163.com

王 圣 男，1992年生，碩士，研究方向為分數階控制。

E-mail：nanwangsheng@126.com(通信作者)