考慮輪胎側偏特性的賽車轉向幾何研究

柴 天 李 凡 雷 飛 劉 杰 曾 俠 唐應時

1.湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙，4100822.湖南大學機械與運載工程學院，長沙，410082

考慮輪胎側偏特性的賽車轉向幾何研究

柴 天1,2李 凡1,2雷 飛1,2劉 杰1,2曾 俠2唐應時1,2

1.湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙，4100822.湖南大學機械與運載工程學院，長沙，410082

為了提高賽車輪胎側向附著合力及轉向極限側向加速度，提出了一種考慮輪胎側偏特性的轉向幾何。通過分析輪胎側偏角的影響，確定了整車轉向瞬心位置，并建立了三自由度整車模型。結合輪胎力學模型，以最大化整車輪胎側向附著合力為目標，采用隔代映射遺傳算法對考慮輪胎側偏特性的轉向幾何進行求解。整車仿真和試驗結果表明，相比阿克曼轉向幾何，考慮輪胎側偏特性的轉向幾何可以更有效地增大整車輪胎的側向附著合力，提高賽車在極限工況下的轉彎性能。

轉向幾何；輪胎側偏特性；輪胎側向力；優化；賽車

0 引言

賽車運動期望車輛在賽道上以盡可能短的時間完成既定里程，因此，車輛需以盡可能高的平均速度完成比賽。然而賽道往往由各種直道和彎道組成，賽車在直道中會加速、在彎道中需減速以順利通過彎道，所以，為了提高賽車的平均速度，需要提高賽車加速時的縱向加速度、制動時的縱向減速度以及轉向時的側向加速度[1]。提高側向加速度可使賽車以更快的車速轉向，從而提高賽車在彎道中的平均速度；而且由于轉向車速提高，賽車在進入彎道前可以不過多地減速，出彎時能以更高的初速進行加速，也有利于提高賽車直道的平均速度，因此，轉向性能對賽車至關重要。

目前，國內外學者對車輛轉向性能開展了眾多研究。初亮等[2]考慮獨立懸架斷開點對轉向梯形運動的影響，建立了斷開式轉向梯形機構的數學模型并對機構進行了優化設計。董恩國等[3]研究了設計變量的隨機誤差對轉向機構的影響，減少了不確定因素對車輛轉向性能的影響。文獻[4-5]研究了轉向和懸架之間的相互作用。SIMIONESCU等[6]對二自由度轉向機構進行了運動學分析，并對其性能進行了研究。MIHAILIDIS等[7]設計了一種可調節的轉向梯形機構，使車輛可以滿足不同工況的性能需求。

上述研究基本是在阿克曼轉向幾何基礎上對轉向系統進行研究的，這對車輛轉向系統的工程開發有很好的指導意義。但阿克曼幾何未考慮輪胎的側偏特性，且賽車更關注輪胎附著力的提高，以使整車獲得更大的加速度。本文考慮輪胎側偏特性的影響，提出了一種滿足賽車性能需求的轉向幾何。首先，建立考慮輪胎側偏特性的三自由度整車轉向模型；然后，結合輪胎力學模型，以最大化整車輪胎側向附著合力為目標，采用隔代映射遺傳算法對考慮輪胎側偏特性的轉向幾何進行求解；最后，通過整車動力學仿真和整車試驗對這種轉向幾何的性能進行驗證。

1 整車轉向動力學建模

轉向幾何的確定，關鍵在于確定整車轉向瞬心位置。阿克曼轉向幾何沒有考慮輪胎側偏特性，將轉向瞬心定位于后軸延長線上。但賽車通常會以很大的側向加速度進行轉向，使賽車輪胎產生很大的側偏角，轉向瞬心也大幅度前移，所以阿克曼轉向幾何很難適用于賽車。

若整車轉向為定半徑穩態回轉運動，則轉向瞬心將位于以質心為圓心、轉彎半徑為半徑的圓周上。由于輪胎側偏角的影響，轉向瞬心將沿該圓周前移，故由此可確定前移后轉向瞬心的位置和對應的各輪胎側偏角。同時，由于側偏角與側向附著力相關，進而可對轉向幾何與整車輪胎側向附著合力的關系進行研究。

1.1 整車模型

忽略空氣動力學和懸架跳動的影響，并假設輪胎的傾角和束角均為0、整車轉向為定半徑穩態回轉運動，則可建立包含縱向、側向和橫擺運動的三自由度整車轉向模型(圖1)。圖中，R為整車穩態回轉運動的半徑；I為整車轉向瞬心；O為整車質心；u、v、ω分別為整車質心位置上的縱向速度、側向速度和橫擺角速度，且側向速度v的方向指向瞬心；縱向速度u與整車縱軸的夾角δ為質心側偏角，圖中所示方向為負值，δ越大,表明瞬心的前移量越大；l、tf、tr分別為整車的軸距和前后輪距；a、b分別為質心與前后軸的距離。

圖1 三自由度整車轉向模型Fig.1 3-DOF car steering model

根據牛頓第二定律，三自由度整車轉向模型的動力學方程為

Fyfrsin(θfr+δ)+Fxflcos(θfl+δ)-Fyflsin(θfl+δ)+

(Fxrr+Fxrl)cosδ-(Fyrr+Fyrl)sinδ

(1)

Fyfrcos(θfr+δ)+Fxflsin(θfl+δ)+Fyflcos(θfl+δ)+

(Fxrr+Fxrl)sinδ+(Fyrr+Fyrl)cosδ

(2)

Fxrrtr/2-Fyrrb-Fxrltr/2-Fyrlb=0

(3)

θj=αj+βj

(4)

(5)

(6)

式中，Fu、Fv分別為各輪胎附著力在縱向速度u和側向速度v方向上的分力；Mz為各輪胎附著力對質心O的橫擺力矩；m為整車質量；Iz為整車繞過質心豎直軸的轉動慣量；Fxi為輪胎的縱向附著力，i=fr,fl,rr,rl；Fyi為輪胎的側向附著力；θj為前輪轉角，j=fr,fl；αi為輪胎側偏角；βi為輪胎速度方向與整車縱軸的夾角；d1、d2、d3、d4分別為輪胎附著力對整車質心的力臂。

1.2 輪胎模型

由上述模型可知，當轉彎半徑R和質心側偏角δ確定時，即可確定轉向瞬心位置和各輪胎的側偏角，進而可由PAC2002魔術公式輪胎模型[8]計算輪胎的側向附著力Fy，即

Fy=Dsin{Carc tan[Bα-EBα+Earctan(Bα)]}+Svy

(7)

式中，D、C、B、E分別為峰值因子、形狀因子、剛度因子和曲率因子；Svy為曲線偏移量；α為輪胎側偏角。

賽車輪胎采用特殊配方設計，其附著系數明顯高于普通輪胎附著系數[1]。通過對典型的大學生方程式賽車輪胎進行試驗[9]，獲得輪胎力學特性試驗數據，并根據試驗數據對PAC2002魔術公式輪胎模型的各項因子進行擬合，所獲得輪胎模型的力學特性如圖2所示。

圖2 輪胎的力學特性Fig.2 Mechanical properties of racing tire

通過上述輪胎模型計算輪胎的側向附著力，需獲取各輪胎的垂向載荷。載荷轉移后各輪胎的垂向載荷[10]

Fzi=Fz0i+ΔFsi+ΔFui

(8)

其中，Fz0i為靜平衡狀態下各輪胎的垂向載荷；ΔFsi、ΔFui分別為簧載質量和非簧載質量轉移引起的輪胎垂向載荷變化量，即

式中，ay為整車側向加速度；ms、mu分別為整車簧載質量和非簧載質量；msf、msr分別為前后軸簧載質量；muf、mur分別為前后軸非簧載質量；kf、kr分別為前后懸架側傾剛度；hz為簧載質量質心與側傾軸線的距離；hrf、hrr分別為前后懸架側傾中心高度；huf、hur分別為前后軸非簧載質量的質心高度。

對于輪胎的縱向附著力，由于前輪為從動輪，故可認為其縱向附著力為輪胎的滾動阻力，其計算公式為

(9)

式中，μ為輪胎滾動阻力系數。

后輪為驅動輪，其縱向附著力為驅動力。假設差速器的鎖緊系數為0，則兩后輪的縱向附著力相同。當已知各輪胎側向附著力、前輪縱向附著力以及整車運動狀態時，通過式(1)即可求出后輪的縱向附著力。

2 考慮側偏特性的轉向幾何求解

由式(4)可知，前輪轉角直接影響輪胎側偏角的大小，從而影響輪胎的側向附著力，所以，為增大整車輪胎的極限側向附著合力，以提高賽車轉向時的極限側向加速度，可以將對考慮輪胎側偏特性轉向幾何的求解等效為對最大化整車側向附著合力的優化問題。

2.1 優化問題

整車輪胎側向附著合力越大，側向加速度越大，因此，以側向附著合力為優化目標函數。由輪胎側偏特性可知，輪胎側偏角與輪胎側向附著力直接相關。又由式(4)和式(5)可知，當轉彎半徑R確定時，可由兩前輪轉角θfr、θfl和質心側偏角δ確定各輪胎的側偏角，故將其作為優化設計向量X =(θfr,θfl,δ)。

質心側偏角δ過大將會降低車輛橫向穩定性，為此，取δ的約束為±12°[11]。由于改變整車運動狀態的外力均來自輪胎附著力，故附著合力受整車運動狀態約束。又由于假設整車轉向為定半徑穩態回轉運動，故在該運動狀態下整車縱向速度u和橫擺角速度ω均為常數，且側向速度v=0。根據式(1)～式(3)，輪胎附著合力應滿足等式∑Fu=0,∑Fv=muω和∑Mz=0。綜上所述，并令ay=uω，則整車側向附著合力的優化問題可描述為

(10)

采用隔代映射遺傳算法(IP-GA)[12]進行求解，該算法是對小種群遺傳算法(μGA)的改進。在μGA能夠避免收斂早熟、可以快速尋找到最優區域等優點的基礎上，IP-GA在μGA中加入了IP算子，通過連續兩代之間的最優個體來構造移動方向以快速獲得更優的個體，從而增強對全局最優解的搜索能力，并大大提高了收斂速度。由于在某一確定的轉彎半徑下只能求解出所對應的內外前輪轉角，故對式(10)的優化模型分別在不同轉彎半徑下進行求解，即可得到一定轉角范圍內的內外前輪轉角關系。

2.2 優化結果

以某型大學生方程式賽車為例，求解考慮輪胎側偏特性轉向幾何，并確定前輪轉角關系，其整車相關參數見表1。根據大學生方程式賽車比賽賽道的特點，賽車轉彎半徑多在4.5～25 m之間；但為滿足前輪轉角設計范圍的需要，在3.5～45 m范圍內對前輪轉角關系進行求解，須考慮輪胎側偏特性轉向幾何所確定的前輪轉角關系，如圖3和表2所示。

表1 賽車相關參數Tab.1 Parameter of racing car

圖3 前輪轉角關系Fig.3 Relation of front wheel steering angles表2 兩種轉向幾何下的前輪轉角對比Tab.2 Front wheel steering angles of bothsteeing geometries

轉彎半徑(m)阿克曼轉向幾何考慮側偏特性的轉向幾何前外輪(°)前內輪(°)前外輪(°)前內輪(°)3.521.47129.11425.09533.547515.92019.92319.42624.158810.46012.08713.41716.595127.1657.8989.78712.328204.3914.6576.5369.295451.9852.0383.6346.296

2.3 分析與討論

由圖3和表2可知，在3.5～45 m的轉彎半徑范圍內，考慮輪胎側偏角影響的轉向幾何與傳統阿克曼轉向幾何確定的前輪轉角關系有明顯區別，相同轉彎半徑下兩種轉向幾何內外前輪的轉角也有很大差別。

為使整車產生側向加速度，需要輪胎提供側向附著力，則輪胎會產生側偏角。后輪側偏角會使整車轉向瞬心從后軸延長線向前偏移，表現為質心側偏角增大。相較阿克曼轉向幾何，瞬心位置的變化使相同轉彎半徑所對應的前輪速度方向發生變化，從而導致前輪轉角變化。又由于前輪也會產生側偏角，從而進一步改變前輪轉角。圖4、圖5所示分別為考慮輪胎側偏特性轉向幾何在最大側向加速情況下的輪胎側偏角和質心側偏角曲線，由圖可知，輪胎產生很大的側偏角，而且質心側偏角也很大，這表明轉向瞬心有很大的前移量。所以，在前后輪胎側偏特性的共同作用下，考慮輪胎側偏特性的轉向幾何與阿克曼轉向幾何產生了明顯的差異。

圖4 輪胎側偏角曲線Fig.4 Curve of slip angles of tire

圖5 質心側偏角曲線Fig.5 Curve of vehicle side slip angle

3 整車仿真和試驗驗證

3.1 整車穩態回轉仿真

分別采用阿克曼轉向幾何和考慮輪胎側偏特性的轉向幾何，在ADAMS/Car中建立某型大學生方程式賽車的多體動力學仿真模型[13]，并對整車的穩態回轉進行仿真分析。不同轉彎半徑下，賽車穩態回轉的最大側向加速度仿真結果如圖6所示。

圖6 不同轉彎半徑下兩種轉向幾何的最大側向加速度Fig.6 Maximum lateral acceleration vs. turning radius

由圖6可知，考慮輪胎側偏特性的轉向幾何可以提高整車的最大側向加速度，故該轉向幾何可以增大整車輪胎的側向附著合力。隨著轉彎半徑的增大，最大側向加速度的增量逐漸減小，其原因是當轉彎半徑較小時，最大側向加速度較小，則整車側向載荷轉移量較小，內側輪胎仍有較大垂向載荷來產生側向附著力，所以通過改善內外前輪轉角關系可以有效增大整車輪胎的側向附著合力，進而提高整車的側向加速度。而當轉彎半徑增大時，最大側向加速度增大，整車側向載荷轉移使內側輪胎的垂向載荷明顯減小，無法產生對整車運動有明顯影響的側向附著力，所以通過改善內外前輪轉角關系，也無法對整車的側向加速度產生顯著的影響。

3.2 整車試驗驗證

為驗證考慮輪胎側偏特性轉向幾何的實際效果，使用某型大學生方程式賽車對整車穩態回轉性能進行試驗。通過對賽車轉向機構進行改裝，獲得不同的轉向幾何，實現對不同轉向幾何的轉向性能對比。試驗用大學生方程式賽車如圖7所示。

圖7 試驗用大學生方程式賽車Fig.7 Formula student racing car for experiment

賽車以盡可能大的側向加速度進行穩態回轉時，其車速和側向加速度有較大浮動。為便于對試驗結果進行分析，可通過賽車完成整圈穩態回轉的最短時間來計算賽車的側向加速度。雖然計算結果為最大平均側向加速度，但不影響對兩種轉向幾何的優劣進行對比和對側向加速度的變化趨勢進行分析。試驗結果見表3。

表3 整車試驗結果Tab.3 Vehicle experiment results

由表3可知，整車穩態回轉試驗的側向加速度數據低于ADAMS/Car仿真數據。這是由多種因素綜合作用所造成的，包括輪胎與試驗場地路面的實際附著情況、ADAMS/Car多體動力學模型和實車的誤差、試驗員駕駛水平以及試驗結果為平均側向加速度等。由試驗結果可知，在不同轉彎半徑下，考慮輪胎側偏特性轉向幾何的最大側向加速度均大于阿克曼轉向幾何的最大側向加速度，且兩種幾何的加速度差值隨轉彎半徑的增大而減小。上述變化趨勢與ADAMS/Car仿真結果基本一致。這說明采用考慮輪胎側偏特性的轉向幾何可以有效增大整車輪胎的極限側向附著合力，提高整車的極限側向加速度。

4 結論

(1)本文提出的轉向幾何在確定整車轉向瞬心時考慮了輪胎側偏特性，使其不僅考慮了輪胎側偏角對輪胎滾動方向的影響，而且考慮了輪胎力學特性對整車側向加速度的影響。

(2)相比阿克曼轉向幾何，考慮輪胎側偏特性的轉向幾何可以有效增大整車輪胎的極限側向附著合力，提高整車的極限側向加速度，提高整車在極限工況下的轉向性能。

(3)由于后輪側偏角將使整車轉向瞬心前移，從而影響前輪轉角，故賽車轉向幾何的優化設計應當綜合考慮前后輪胎的影響。

[1] MILLIKEN W F, MILLIKEN D L. Race Car Vehicle Dynamics[M].Warrendale: Society of Automotive Engineers, Inc.,1995.

[2] 初亮, 魯和安, 彭彥宏, 等. 空間機構學理論在斷開式轉向梯形分析及優化中的應用[J]. 農業機械學報,1999,30(4):77-82. CHU Liang, LU Hean, PENG Yanhong, et al. Theory of Spatial Mechanism Applying on the Analysis and Optimization of the Splitting Ackerman Steering Linkage[J]. Transactions of the Chinese Society for Agriculture Machinery,1999,30(4):77-82.

[3] 董恩國, 張蕾, 關志偉.雙前橋轉向機構穩健設計的研究[J].汽車工程,2013,35(8):673-676. DONG Enguo, ZHANG Lei, GUAN Zhiwei. A Study on the Robust Design of Double-front-axle Steering Mechanism[J]. Automotive Engineering,2013,35(8):673-676.

[4] 唐應時, 朱彪, 朱位宇, 等. 基于響應面方法的轉向梯形優化設計[J].中南大學學報(自然科學版),2012(7):2601-2606. TANG Yingshi, ZHU Biao, ZHU Weiyu, et al. Optimization of Ackerman Steering Linkage Based on RSM[J]. Journal of Central South University(Science and Technology),2012(7):2601-2606．

[5] 劉振聲, 趙亮.雙前橋轉向系與懸架運動協調性分析及優化[J]. 中國機械工程,2013,24(16):2164-2167.LIU Zhensheng, ZHAO Liang. Motion Compatibleness Analysis and Optimization of Double Front Axle Steering Mechanism and Suspension System[J]. China Mechanical Engineering,2013,24(16):2164-2167.

[6] SIMIONESCU P A, TEMPEA I, LOCH N E. Kinematic Analysis of a Two-degree-of-freedom Steering Mechanism Used in Rigid-axle Vehicles[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers Part D,Journal of Automobile Engineering,2001,215(7):803-812.

[7] MIHAILIDIS A, SAMARAS Z, NERANTZIS I,et al. The Design of a Formula Student Race Car:a Case Study[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers Part D,Journal of Automobile Engineering, 2009,223(6):805-818.

[8] PACEJKAH B. Tyre and Vehicle Dynamics[M]. Amsterdam:Elsevier Butterworth-Heinemann,2006.

[9] KASPRZAK E M, GENTZ D. The Formula SAE Tire Test Consortium-tire Testing and Data Handling[J]. SAE Paper,2006:776-4841.

[10] 余志生.汽車理論[M].3版.北京：機械工業出版社, 2005. YU Zhisheng.Theory of Automobile[M].3rd ed. Beijing: China Machine Press,2005.

[11] 夏光,唐希雯,陳無畏,等.基于輪胎合力計算與分配的車輛橫向穩定性控制研究[J]. 汽車工程,2015,37(11):1298-1306. XIA Guang, TANG Xiwen, CHEN Wuwei, et al. A Research on the Lateral Stability Control of Vehicle Based on the Resultant Force Calculation and Allocation of Tire[J]. Automotive Engineering,2015,37(11):1298-1306.

[12] LIUG R, HAN X. Computational Inverse Techniques in Non-destructive Evaluation[M]. Boca Raton:CRC Press,2003.

[13] MUELLERR L. Full Vehicle Dynamics Model of a Formula SAE Racecar Using ADAMS/Car[D]. College Station :Texas A & M University,2005.

(編輯 陳 勇)

Study on Steering Geometry of Racing Cars with Consideration of Tire Cornering Characteristics

CHAI Tian1,2LI Fan1,2LEI Fei1,2LIU Jie1,2ZENG Xia2TANG Yingshi1,2

1.State Key Laboratory of Advanced Design and for Vehicle Body，Hunan University，Changsha，410082 2.College of Mechanical and Vehicle Engineering， Hunan University， Changsha， 410082

For improving the tire lateral resultant forces and lateral accelerations of racing cars, a steering geometry was proposed considering the effects of tire cornering characteristics. The instantaneous center of steering was defined by analyzing the impacts of tire slip angles, and a 3-DOF full vehicle model containing tire model was developed for steering simulation. The steering geometry was obtained via optimization of maximizing lateral resultant forces of tires by IP-GA. Simulations and tests were conducted to validate the theoretical basis of the present steering geometry. The results indicate that the maximum lateral resultant force is raised under the design using the present steering geometry compared with Ackerman steering geometry. Thus the steering performance within extreme condition could be improved.

steering geometry；tire cornering characteristic；tire lateral force；optimization；racing car

2016-11-04

國家自然科學基金資助項目(51205117)

U463.42

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.09.018

柴 天，男，1983年生。湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室博士研究生。主要研究方向為汽車系統動力學。E-mail: chaitian@hnu.edu.cn。李 凡，男，1981年生。湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室助理教授。雷 飛，男，1981年生。湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室助理教授。劉 杰，男，1979年生。湖南大學機械運載工程學院副教授、博士研究生導師。曾 俠，男，1993年生。湖南大學機械與運載工程學院本科生。唐應時，男，1946年生。湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室教授。