計及自由液面影響的水下有限深度圓柱殼自由振動分析

郭文杰， 李天勻,3， 朱 翔， 繆宇躍， 楊國棟

(1. 華中科技大學 船舶與海洋工程學院，武漢 430074；2. 船舶與海洋水動力湖北省重點實驗室，武漢 430074；3. 高新船舶與深海開發裝備協同創新中心，上海 200240)

計及自由液面影響的水下有限深度圓柱殼自由振動分析

郭文杰1,2， 李天勻1,2,3， 朱 翔1,2， 繆宇躍1,2， 楊國棟1,2

(1. 華中科技大學 船舶與海洋工程學院，武漢 430074；2. 船舶與海洋水動力湖北省重點實驗室，武漢 430074；3. 高新船舶與深海開發裝備協同創新中心，上海 200240)

提出了一種求解有限浸沒深度下圓柱殼振動特性的解析方法。采用鏡像原理和Graf加法定理得到流體速度勢的解析表達式，然后再結合能量泛函變分方法推導出計及自由液面影響的殼-液耦合振動方程，通過求解該方程，得到結構各階固有頻率。研究表明，相比于無限域，自由液面的存在會增大同階次模態固有頻率，而且離自由液面越近，固有頻率越大，但是隨著浸沒深度逐漸增加，自由振動特性很快趨近于無限域。與有限元軟件Nastran計算結果對比表明該方法準確、可靠、簡便，且具有計算量小、易于參數優化的優點，也為近水面結構流固耦合振動特性分析提供了新的思路。

自由液面；能量泛函變分；鏡像原理；Graf加法定理

圓柱殼-流場耦合振動的研究工作很多， 徐慕冰[1]基于波傳播法研究了流場中圓柱殼頻散特性及振動能量流機理， Zhang等[2-3]采用同樣的方法分析了圓柱殼-流場耦合自由振動特性。曹雷等[4]運用Riccati傳遞矩陣法和齊次擴容精細積分法求解了水下環肋圓柱殼聲振問題，李學斌[5]采用能量法分析了流場中計及靜壓影響環肋圓柱殼的自由振動問題。但是上述工作中并未考慮自由液面的影響。

自由液面對殼-液耦合振動影響的研究工作較少，Ergin等[6]基于實驗和三維水彈性軟件對有限浸沒深度下圓柱殼振動特性進行分析，發現結構離自由液面越近，同階次固有頻率越大。Amabili[7]對部分充液圓柱殼進行研究，提出了用扇形邊界替代自由液面的近似方法。之后， Amabili[8]將該方法拓展到處理部分浸沒問題。隨后 Ergin等[9]利用邊界積分法和鏡像原理對部分充液(浸沒)圓柱殼振動特性進行研究，結果與實驗數據符合良好。王斌等[10]從圓柱殼表面的均方振速和輻射聲功率的角度，對半浸狀態和全浸狀態下圓柱殼在無限長線激勵作用下的聲振特性進行了比較分析，指出了二者之間的差別與聯系。白振國等[11]采用鏡像法建立了有限水深環境中二維圓柱殼的振動聲輻射數學物理模型，初步計算了淺水對圓柱殼振動聲輻射的影響規律及水深、潛深對聲場分布和衰減特性的影響規律。Li等[12]基于鏡像原理進行了自由液面下有限潛深無限長圓柱殼結構的聲輻射性能研究，基于穩相法，最終得到了有限浸沒深度下圓柱殼結構遠場輻射聲壓的計算表達式。劉佩等[13]采用有限元軟件ANSYS對有限深度浸沒圓柱殼進行仿真，得到了和文獻[6]類似的結論，并指出自由液面對圓柱殼自由振動的影響在浸沒深度大于四倍半徑時可以忽略不計。

目前有限元-邊界元耦合計算方法是結構-流場耦合分析中比較常用的數值方法，該方法也隨之應用到處理自由液面問題[14-16]，通過和鏡像原理的結合，即對三維聲學Helmholtz方程基本解的修正，實現計及自由液面影響的流固耦合振動性能計算。

針對有限元-邊界元耦合計算方法建模工作量大、計算時間長的不足，本文提出了一種解析求解近自由液面圓柱殼振動特性的方法。基于勢流理論，通過引入鏡像原理來處理自由液面處的聲學邊界條件，利用Graf加法定理[17]對實源和虛源兩種坐標系進行轉換得到速度勢在流場的分布，然后再結合能量泛函變分方法得到殼-液耦合振動方程，進而可以求解其自由振動特性。

1 理論分析

圓柱殼長度為L，厚度為h，中面半徑為R，浸沒深度為H，u,v,w分別表示軸向、周向和徑向的中面位移，殼體材料的密度為ρ,彈性模量為E，泊松比為μ。流體密度為ρf。取圓柱殼左端面中心為坐標原點O，對應直角坐標(x,y,z)。實際分析中選擇柱坐標系(x,r,φ)，其中，x表示軸向，r表示徑向，φ為周向角(與y軸夾角)，如圖1所示。

為了研究方便，本文取兩端簡支邊界條件，因此位移場如下所示

(1)

(a)

(b)圖1 模型及坐標系Fig.1 Model and coordinate system

式中：m為軸向半波數；n為周向波數；Umn,Vmn,Wmm為三向位移幅值；km=mπ/L。

本文采用能量泛函變分的方法研究有限浸沒深度圓柱殼振動特性，故首先應得到各部分能量的表達式。

殼體應變能(基于Love殼體理論)可以表示為

(2)

式中：ε為應變向量；σ為應力向量；V表示圓柱殼體積分域。

根據位移函數正交性，積分后式(2)可以寫成

(3)

式中：{ξmn}={Umn,Vmn,Wmn}; 剛度矩陣[Kmn]為三階Hermite矩陣。

殼體動能如下所示：

(4)

同理根據位移函數正交性，積分后可以表示為

(5)

式中，質量矩陣[Mmn]為三階對角矩陣。

為求解流體做功，首先需要得到速度勢函數的解析表達式。

本文基于勢流理論，流體視為不可壓縮、無旋、無粘性的理想流體，因此速度勢函數φ(r,x,φ,t)滿足柱坐標系下Laplace方程

(6)

對于水下圓柱殼，滿足無窮遠處速度勢為零的條件

(7)

由于自由液面的存在，可以借鑒鏡像原理進行分析，認為速度勢可由結構振動直接引起的實源速度勢和自由液面反射的虛源速度勢疊加組成。虛源坐標系(x′,r′,φ′)與實源坐標系關于自由液面對稱，如圖2所示。

圖2 鏡像原理示意圖Fig.2 Schematic diagram of image method

設流域中任意一點為點P，其速度勢函數可以表示為

φ(r,x,φ,t)=φr(r,x,φ,t)+φi(r′,x′,φ′,t)

(8)

式中：φr(x,r,θ,t)表示實源流體速度勢；φi(x′,r′,φ′,t)表示虛源流體速度勢。

滿足式(6)和(7)的速度勢函數有以下形式

(9)

式中，Kn()為第二類修正貝賽爾函數。

自由液面處速度勢為零

φr(r,x,φ,t)+φi(r′,x′,φ′,t)=0

(10)

當P點位于自由液面上時滿足如下位置關系

r=r′,x=x′,φ+φ′=π

(11)

將式(9)、(11)代入式(10)，正交化處理后得到

(12)

即可以得到速度勢函數的解析表達式：

(13)

根據Graf加法定理

K-n(kmr′)exp(-inφ′)=

(14)

對于有限深度浸沒，結構表面處半徑r≈R< 2H，因此速度勢解析表達式

(15)

因為系數a和n地位等價，交換順序級數求和后上式改寫為

(16)

根據圓柱殼外壁面處速度連續條件，有：

(17)

將式(16)代入式(17)中，正交化處理后可以得到速度勢幅值向量{φn}和位移幅值向量{ζn}的關系

{φn}=[Q]{ζn}

(18)

式中，[Q]為遷移矩陣， {φn}={φm,-N,φm,-N+1,…,φm,N}T，{ζn}={Wm,-N,Wm,-N+1,…,Wm,N}T，即可將速度勢幅值向量用位移幅值向量表示。

由伯努利方程可以得到壁面處流體動壓力

(19)

流體做功為

(20)

由上述各能量分量可得到能量泛函表達式

Π=U-Wf-T

(21)

根據變分原理，滿足：

(22)

由對幅值Umn，Vmn的偏導為0，可以得到其與幅值Wmn的線性關系，簡寫為如下所示的形式

(23)

式中，a1，b1，c1和a2，b2，c2都是關于角頻率ω，剛度矩陣[Kmn]和質量矩陣[Mmn]的系數，即Umn，Vmn可由Wmn進行代換。

[Tm]{ζn}=0

(24)

式中，[Tm]為2N+1階矩陣，元素中含角頻率ω。

因為{ζn}中元素不全為0，所以[Tm]必然不是滿秩矩陣，即：

det([Tm])=0

(25)

根據上式可以求解出軸向波數m取任意值時各階角頻率ω，從而可以得到固有頻率值。

2 數值計算

模型參數：殼長L=1.284 m，半徑R=0.18 m，厚度h=0.003 m，殼體密度ρ=7 850 kg/m3，楊氏模量E=206 GPa，泊松比μ=0.3，流體密度ρf=1 025 kg/m3。為了說明方法收斂性，本文取H=0.2 m，計算前十階頻率隨截斷數N的變化規律，如表1所示。

表1H=0.2 m前十階頻率收斂性分析

Tab.1 Convergence analysis for the first ten natural frequencies whenH=0.2 m Hz

從表1可以看出，截斷數N大于等于10以后，各階固有頻率值已經收斂，故后續算例截斷數N都取10。本文對于不同浸沒深度下前十階固有頻率做過收斂性分析，結果均表明截斷數N取10時頻率已收斂，限于篇幅，并不贅述。

為驗證解析方法的準確性，本文對比了不同浸沒深度下解析方法和有限元軟件Nastran仿真計算的前十階固有頻率值，如表2所示。

表2 不同深度下解析方法與仿真方法固有頻率對比

Tab.2 Comparison of frequencies between analytical method and simulation method in different submerged depth Hz

從表2可以看出，不同浸沒深度下解析方法和有限元仿真計算的前十階固有頻率符合的很好，最大誤差不超過2%，說明本文方法是準確可靠的。而且隨著浸沒深度的增加，同階次固有頻率逐漸降低，并且很快趨于無限域的固有頻率解析計算值。

為了更直觀的了解自由液面對自由振動的影響，本文提取了H=0.2 m以及無限域時解析方法和仿真計算得到的前四階模態的周向振型及固有頻率，如圖3所示。

圖3 前四階模態周向振型及固有頻率Fig.3 Circumferential vibration types and natural frequencies of the first four order modes

從圖3可以看出，受自由液面影響，當浸沒深度較小時，模態振型與無限域情況有明顯區別，一方面不再是規則的周向波型，令一方面，正反模態頻率出現差異。這是由于自由液面的存在使原本正交的周向波出現相互耦合，形成更為復雜的振型。本文方法計算的振型和有限元軟件Nastran計算的振型吻合良好，進一步驗證了方法準確性。

上述工作研究了自由液面對振動性能的影響，為進一步得到固有頻率隨浸沒深度的具體變化規律，本文繪制了前四階固有頻率隨無量綱浸沒深度(浸沒深度與結構半徑比值H/R)的變化曲線，如圖4所示。

(a) 第一階固有頻率

(b) 第二階固有頻率

(c) 第三階固有頻率

(d) 第四階固有頻率圖4 前四階固有頻率隨浸沒深度變化曲線Fig.4 Curves of the first four natural frequencies in different depth

從圖4可以看出，前四階固有頻率值在無量綱浸沒深度H/R小于2時變化比較明顯，此后隨著H/R增大很快趨于平緩，說明自由液面和結構距離在二倍半徑以內時才會對結構振動有較為明顯的影響。

為確定圓柱殼振動性能趨于無限域時無量綱浸沒深度H/R具體取值，定義參數κ=(f-f無限域)/f無限域，其中f為任意浸沒深度固有頻率，f無限域為無限域同階次固有頻率，κ表征任意浸沒深度下固有頻率相對于無限域同階次固有頻率的相對偏差。本文取前十階固有頻率，分析無量綱浸沒深度H/R分別取1.05, 2, 3, 4, 5時各階固有頻率對應的相對偏差κ的大小(固有頻率均是解析方法計算得到且保留小數點后兩位)，如表3所示。

表3 不同浸沒深度下各階固有頻率對應的相對偏差κ

從表3可以看出，當無量綱浸沒深度H/R大于等于2時，相對偏差κ均在1%以內；當H/R大于等于4時，相對偏差κ均在0.1%以內。這也說明當浸沒深度大于圓柱殼結構半徑4倍及以上時，自由液面對結構振動特性的影響可以忽略不計，或者說此時自由振動特性趨于無限域。實際上隨著浸沒深度的增加，虛源距離實際結構越來越遠，因此作用在結構外表面的虛源流體載荷也越來越小，其對水下結構振動特性的影響越來越弱，最后振動特性趨于無限域。

水下圓柱殼流固耦合振動特性分析中無量綱軸向波數kmR是較為敏感的物理量，因此本文針對無量綱浸沒深度H/R為4 時不同長徑比L/R下自由液面對結構振動特性的影響進行分析。半徑不變，H/R=4，取長徑比L/R分別為5, 10, 15, 20，分析前4階固有頻率對應的相對偏差κ的大小，如表4所示。

表4 不同長徑比L/R下各階固有頻率對應的相對偏差κ

從表4可以看出，對于不同的長徑比，前4階固有頻率對應的相對偏差κ都小于0.1%，因此對于不同長徑比，浸沒深度大于圓柱殼結構半徑4倍及以上時，自由液面對結構振動特性的影響可以忽略不計。

3 結 論

基于能量泛函變分的方法和鏡像原理，本文提出了一種求解有限浸沒深度下圓柱殼振動特性的解析方法，和數值仿真計算結果對比表明本文方法是準確可靠的。通過對該問題的研究，得到以下三條結論：

(1) 自由液面的存在會增大同階次模態固有頻率，而且離自由液面越近，同階次固有頻率越大。

(2) 離自由液面很近時，模態振型與無限域情況有明顯區別，一方面周向波相互耦合，振型不再規則，另一方面，正反模態頻率出現差異。

(3) 自由液面離結構很近時對結構振動的影響才較為明顯，當浸沒深度大于結構半徑的四倍，自由振動特性趨于無限域。

[1] 徐慕冰, 圓柱殼-流場耦合系統的振動波傳播與能量流研究[D]. 武漢: 華中科技大學, 1998.

[2] ZHANG X M, LIU G R, LAM K Y. Coupled vibration analysis of fluid-filled cylindrical shells [J]. Applied Acoustics, 2001, 62(3): 229-243.

[3] ZHANG X M. Frequency analysis of submerged cylindrical shells with the wave propagation approach [J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2002, 44(7): 1259-1273.

[4] 曹雷, 馬運義, 黃玉盈. 基于Riccati傳遞矩陣法分析水下有限長環肋圓柱殼的聲輻射性能[J]. 振動與沖擊, 2009, 28(9): 149-154. CAO Lei, MA Yunyi, HUANG Yuying. Analysis of acoustic radiation of a ring-stiffened cylindrical shell with finite length in underwater based on Riccati transfer matrix method [J]. Journal of Vibration and Shock, 2009, 28(9): 149-154.

[5] 李學斌.環肋圓柱殼自由振動分析的能量法[J]. 船舶力學, 2001, 5(2): 73-81. LI Xuebin. Energy method for free vibration analysis of ring-stiffened cylindrical shells [J]. Journal of Ship Mechanics, 2001, 5(2): 73-81.

[6] ERGIN A, PRICE W G, RANDALL R, et al. Dynamic characteristics of a submerged, flexible cylinder vibrating in finite water depths [J]. Journal of Ship Research, 1992,36(2):154-167.

[7] AMABILI M. Free vibration of partially filled horizontal cylindrical shells [J]. Journal of Sound and Vibration, 1996, 191(5): 757-780.

[8] AMABILI M. Flexural vibration of cylindrical shells partially coupled with external and internal fluids [J]. Journal of Vibration and Acoustics, 1997, 119(3): 476-484.

[9] ERGIN A, TEMAREL P. Free vibration of a partially liquid filled and submerged horizontal cylindrical shell [J]. Journal of Sound and Vibration, 2002, 254(5): 951-965.

[10] 王斌,湯渭霖.半潛狀態圓柱殼振動聲輻射特性研究 [C]∥第十二屆船舶水下噪聲學術討論會論文集.長沙, 2009.

[11] 白振國, 吳文偉, 左成魁, 等. 有限水深環境圓柱殼聲輻射及傳播特性[J] 船舶力學, 2014, 18(1/2): 178-190. BAI Zhenguo, WU Wenwei, ZUO Chengkui, et al. Sound radiation and spread characteristics of cylindrical shell in finite depth water [J]. Journal of Ship Mechanics, 2014, 18(1/2):178-190.

[12] LI T Y, MIAO Y Y, YE W B, et al. Far-field sound radiation of a submerged cylindrical shell at finite depth from the free surface [J]. The Journal of the Acoustical Society of America, 2014, 136(3): 1054-1064.

[13] 劉佩, 劉書文, 黎勝. 潛深對水下圓柱殼振動聲輻射特性的影響[J]. 艦船科學技術, 2014, 36(5): 36-41. LIU Pei, LIU Shuwen, LI Sheng. The effects of immersion depth of submerged cylindrical shell on vibro-acoustic characteristics [J]. Ship Science and Technology, 2014, 36(5):36-41.

[14] ZHOU Q, JOSEPH P F. A numerical method for the calculation of dynamic response and acoustic radiation from an underwater structure [J]. Journal of Sound and Vibration, 2005, 283(3): 853-873.

[15] JUNGE M, BRUNNER D, BECKER J, et al. Interface-reduction for the Craig-Bampton and Rubin method applied to FE-BE coupling with a large fluid-structure interface [J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2009, 77(12): 1731-1752.

[16] 鄒明松, 吳有生, 沈順根, 等. 考慮航速及自由液面影響的聲介質中三維結構水彈性力學研究[J]. 船舶力學, 2010, 14(11): 1304-1311. ZOU Mingsong, WU Yousheng, SHEN Shungen, et al. Three-dimensional hydro elasticity with forward speed and free surface in acoustic medium [J]. Journal of Ship Mechanics, 2010, 14(11): 1304-1311.

[17] LEE W M, CHEN J T. Scattering of flexural wave in a thin plate with multiple circular holes by using the multipole Trefftz method [J]. International Journal of Solids and Structures, 2010, 47(9): 1118-1129.

Free vibration of a submerged cylindrical shell with a finite submerged depth considering the effect of free surface

GUO Wenjie1,2， LI Tianyun1,2,3， ZHU Xiang1,2， MIAO Yuyue1,2， YANG Guodong1,2

(1. School of Naval Architecture and Ocean Engineering, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China; 2.Hubei Key Laboratory of Naval Architecture and Ocean Engineering Hydrodynamics, Wuhan 430074, China; 3. Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration, Shanghai 200240, China)

An analytical method was proposed to solve the vibration characteristics of a submerged finite cylindrical shell with a finite submerged depth from the fluid free surface. Based on the image method and the Graf’s addition theorem, the analytical expression of the velocity potential of fluid was obtained. According to the energy functional variation principle, combined with the velocity potential of fluid, a fluid-structure coupling equation of the submerged finite cylindrical shell was deduced, and the natural frequencies of the shell were calculated. It is found that, with the same modal order, the natural frequency of the submerged finite cylindrical shell with the consideration of the effect of free surface is larger than that in an infinite fluid field. The natural frequency increases as the submerged depth of the finite cylindrical shell decreases. Moreover, the free vibration characteristics of the submerged finite cylindrical shell with considering the free surface tend to be the same as those without considering the free surface as the submerged depth increases. The reliability and efficiency of the present method were validated by comparing with the finite element method. The work provides more understanding on the vibration characteristics of the submerged finite cylindrical shell with finite submerged water depth.

free surface; energy functional variation; image method; Graf’s addition theorem

國家自然科學基金資助項目(51379083；51479079；51579109)；高等學校博士學科點專項科研基金項目(20120142110051)

2016-01-18 修改稿收到日期： 2016-03-29

郭文杰 男，博士生，1991年11月生

李天勻 男，博士，教授，1969年2月生

U661.44

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.10.001