高速電主軸角接觸球軸承剛度及其對電主軸臨界轉速的影響分析

黃偉迪， 甘春標， 楊世錫， 徐立暉

(浙江大學 機械工程學院，杭州 310027)

高速電主軸角接觸球軸承剛度及其對電主軸臨界轉速的影響分析

黃偉迪， 甘春標， 楊世錫， 徐立暉

(浙江大學 機械工程學院，杭州 310027)

針對高速電主軸角接觸球軸承高轉速的特點，建立角接觸球軸承的擬靜力學模型，分析徑向力與電主軸轉速對軸承滾珠與軸承溝道的接觸角、接觸力的影響；根據軸承與滾珠的受力平衡條件，研究角接觸球軸承剛度受電主軸轉速與預緊力的影響；基于Timoshenko梁理論，建立軸承-主軸的有限元模型，分析不同預緊力下角接觸球軸承對電主軸臨界轉速的影響。結果表明：徑向力與電主軸轉速將改變軸承滾珠與軸承溝道的接觸角與接觸力，減小預緊力與升高轉速會導致軸承的剛度降低，進而降低電主軸的臨界轉速；需要綜合考慮角接觸球軸承離心力、內圈膨脹和預緊力等影響因素，才能有效保障電主軸的安全運行。

角接觸球軸承；軸承剛度；電主軸；臨界轉速；預緊力

高速數控機床是高端裝備制造業的技術基礎和發展方向之一，而電主軸單元是高速數控機床的核心部件，其軸承技術將直接影響整臺機床的加工精度和生產效率。角接觸球軸承由于其低摩擦、低能耗、可以承載軸向力與徑向力等特性，在精密數控機床電主軸支撐部件中得到廣泛應用。為此，眾多學者對角接觸球軸承開展了大量的研究工作。Harris[1]提出了一類軸承溝道控制理論，建立了角接觸球軸承的擬靜力學模型。Li等[2]建立了軸承熱-機耦合模型，研究了軸承布局方式對角接觸球軸承以及軸承-轉子系統的影響。Chen等[3]研究了軸承滾珠在軸承溝道中滾珠與溝道接觸區域的運動狀態。Jiang等[4]研究了陀螺力矩、軸承預緊力以及溝道波紋等對軸承力學特性的影響。Hernot[5]通過測試軸承預緊力與軸承-轉子模型變形量之間的關系，分析軸承預緊力與對角接觸軸承非線性剛度和軸承壽命的影響。曹宏瑞等[6]考慮了離心力、陀螺力矩和軸承軟化效應，研究了主軸-軸承系統內部的高速效應。李松生等[7]研究了高速電主軸軸承在運行中的動態剛度變化。

然而，針對高速電主軸的角接觸球軸承的特點，國內外的研究尚不夠充分。隨著電主軸轉速的升高，軸承內圈將會產生很大內圈膨脹，這將引起軸承滾珠與軸承溝道接觸應力與變形的變化，進而影響角接觸球軸承剛度和滾珠運動狀態；并且在角接觸球軸承安裝的過程中，需要對軸承進行預緊，軸承預緊力的大小也將會影響軸承剛度，進而影響電主軸的臨界轉速。因此，對高速電主軸的角接觸球軸承內部參數和軸承剛度變化的研究是非常有意義的。本文基于角接觸球軸承的擬靜力學模型，應用Newton-Raphson方法，對角接觸球軸承模型的非線性方程組進行求解；分析徑向力和電主軸轉速對軸承滾珠與軸承溝道的接觸角、接觸力影響；根據軸承與滾珠的受力平衡條件，研究了電主軸轉速與預緊力對角接觸球軸承剛度的影響；建立軸承-主軸的有限元模型，研究了高轉速下角接觸球軸承對電主軸臨界轉速的影響。

1 高速電主軸角接觸球軸承的擬靜力學模型

角接觸球軸承擬靜力學模型是用于研究軸承在外載荷和慣性效應等條件下的運動學和力學問題，Jones[8]最早建立了球軸承的擬靜力學分析模型，并提出軸承溝道控制理論。De Mul等[9]改進并完善了角接觸球軸承的擬靜力學模型。本節考慮高轉速下角接觸球軸承滾珠受到離心力和內圈膨脹效應等因素，建立高速電主軸角接觸球軸承的擬靜力學模型。

1.1 角接觸球軸承滾珠運動學分析

角接觸球軸承的幾何模型及受力模型如圖1所示，當沒有受到外力和力矩且靜止的情況下，角接觸球軸承滾珠與軸承溝道的接觸角稱為初始接觸角，且此時內、外圈溝道的曲率中心和軸承滾珠的中心在同一直線上。Oi、Oe分別表示內、外圈溝道的曲率中心，其距離可以表示為

BD=(fe+fi-1)Db

(1)

式中：Db為軸承滾珠的直徑；fi=ri/Db、fe=re/Db分別表示內、外圈軸承溝道與軸承直徑的比值。ri、re分別表示軸承內圈、外圈溝道的曲率半徑。

圖1 角接觸球軸承模型Fig.1 The model of angular contact ball bearing

當角接觸球軸承運行時，由于軸承滾珠受到離心力的作用，軸承的內、外圈溝道的曲率中心與軸承滾珠的中心將不在同一條線上。在軸承安裝過程中，外圈固定在軸承座上，故假設軸承外圈溝道的曲率中心固定不變，內圈溝道的曲率中心在外載荷的作用下產生位移，軸承滾珠受到離心力的作用，滾珠的中心也將發生變化。軸承內圈曲率中心、軸承滾珠中心受載前后的變化如圖2所示。

根據圖2軸承內圈曲率中心和滾珠中心受力前后的變化示意圖，建立軸承滾珠與軸承內、外圈溝道的變形方程。Vj、Uj分別表示軸承在受力后第j個滾珠處軸承內、外圈溝道曲率中心之間在軸向和徑向的距離，V、U分別表示軸承滾珠中心在受力后與軸承外圈溝道曲率中心在軸向和徑向的距離，δij、δej分別表示軸承滾珠與內、外圈溝道的Hertz接觸變形量，αo、αij、αej分別表示軸承的初始接觸角，以及當軸承受力后軸承滾珠與軸承內、外圈溝道的接觸角。受力后，軸承滾珠中心與內、外圈溝道曲率中心的距離分別為

lij=(fi-0.5)Db+δij

(2)

lej=(fe-0.5)Db+δej

(3)

圖2 軸承內圈曲率中心變化圖Fig.2 The variation diagram of the center of curvature of the bearing inner ring

軸承在高速運行過程中，角接觸球軸承受到外力的作用，同時軸承滾珠受到離心力的作用，軸承內圈受到上述力的作用后，產生軸向、徑向位移和轉動位移，分別表示為δa、δr和Φ；同時，軸承內圈受到離心膨脹的作用，產生的位移用uc表示。變形后，軸承內、外圈溝道的曲率中心之間在軸向距離和徑向距離分別表示為

Vj=BDsin(αo)+δa+ΦDpcos(ψj)

(4)

Uj=BDcos(αo)+δrcos(ψj)+uc

(5)

式中：ψj為軸承的第j個滾珠接觸方位角；Dp為軸承節圓直徑，軸承內圈的離心膨脹產生的位移可以表示為

(6)

式中：Di為角接觸球軸承的內徑；ρ為軸承內圈材料的密度；E為軸承內圈材料的彈性模量；v為軸承內圈材料的泊松比；Ω為電主軸轉速。

根據圖2中的幾何關系，滾珠與內、外圈溝道的接觸角可以表示為

(7)

根據式(7)，從而有

(8)

(9)

1.2 滾珠受力分析

軸承滾珠在運行過程中，與軸承內、外圈溝道相互接觸，同時受到內、外圈溝道對軸承滾珠的作用力，以及軸承滾珠因自身運動引起的離心力的作用。由于軸承滾珠受到離心力的作用，軸承滾珠與軸承內、外圈溝道的接觸角不再相同，其受力模型如圖3所示。Qij、Qej分別表示軸承的內圈和外圈溝道在滾珠上的作用力。其作用力大小與變形量之間的關系可以表示為

(10)

(11)

式中：Kij和Kej為與軸承的幾何參數相關的參數，可以根據Hertz接觸理論通過下列公式計算得到[10]

(12)

根據軸承滾珠的受力平衡條件，建立軸承滾珠的受力平衡方程

(13)

式中，軸承滾珠離心力Fcj可以表示為

(14)

式中，ωm為軸承的公轉的轉速，計算公式分別為

(15)

(16)

圖3 軸承滾珠受力圖Fig.3 The force diagram of the bearing ball

式中Ω為軸承內圈的轉速，也是電主軸的轉速。

(17)

方程的迭代過程可以表示為

(18)

1.3 角接觸球軸承受力分析

由于軸承外圈固定在軸承座中，軸承內圈相對于軸承外圈的位移表示為：δ=[δxδyδzγxγy]T，表示軸承內圈在三個方向的平動位移和兩個方向的轉動位移。軸承內圈受到的外力表示為：F=[FxFyFzMxMy]T，表示作用在軸承內圈上的力和力矩。當角接觸球軸承在運行時，軸承內圈處于受力平衡的狀態，單個滾珠在運動過程中，作用在內圈的力可表示為Qj=[QrQzM]T，對于角接觸球軸承，軸承滾珠作用在內圈上的力矩M為零。在該力的作用下，軸承內圈產生的位移可以表示為uj=[uruzθ]T。

為了實現所有軸承滾珠對軸承內圈的作用力轉化為軸承內圈整體的作用力，需要將軸承滾珠的局部坐標系轉成角接觸球軸承的整體坐標系。轉化之后，軸承滾珠位移和力與軸承內圈的位移和力的關系可以分別表示為

uj=[Rj]δ

(19)

(20)

式中，n為滾珠的數量，Qj是第j個軸承滾珠對角接觸球軸承內圈的作用力，表示為

(21)

傳遞矩陣[Rj]為

(22)

式中：zp為軸承滾珠中心與軸承內圈溝道中心的軸向距離；rp=Dp/2+(fi-0.5)Dbcos(αo)為軸承中心到軸承內圈溝道曲率中心的距離。

根據式(20)和(21)，以及軸承受外力和力矩后的平衡條件，可以列出角接觸球軸承的受力平衡方程

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

1.4 角接觸球軸承剛度矩陣

考慮角接觸球軸承高速轉動情況下，軸承滾珠離心力和軸承內圈膨脹效應，根據軸承變形與作用力的關系，軸承變形與作用力之間的關系可以表示為

Kbδ=F

(28)

其中，Kb為5×5的Jacobi軸承剛度

(29)

角接觸球軸承剛度矩陣的計算公式可以表示為

(30)

其中，

(31)

雅可比矩陣Jb可以通過對軸承內、外圈溝道受力方程(13)求導得到，求得雅可比軸承剛度矩陣為

Jb=Je+Ji

(32)

其中，Je、Ji分別表示為

2 高速電主軸有限元模型

角接觸球軸承作為高速電主軸的支撐單元，其受力特性與剛度將直接影響電主軸系統的動力特性，為研究角接觸球軸承對高速電主軸動力特性的影響，本節建立了高速電主軸的有限元模型。

圖4(a)為典型高速電主軸的結構示意圖，根據Timoshenko梁理論以及有限元建模方法，對電主軸轉軸進行離散化，把轉軸劃分為n個單元，共有n+1個節點，每個單元都有兩個節點，前后兩個單元共用一個節點，每個節點有5個自由度：3個平移自由度和2個旋轉自由度,如圖4(b)所示，節點位移向量可表示為q=[uvwθxθy]。

(a) 高速電主軸示意圖

(b) Timoshenko 梁單元圖4 高速電主軸有限元模型Fig.4 The finite element model of high speed motorized spindle

應用廣義哈密頓原理推出方程

(33)

式中：T和V是梁單元的動能和勢能；W表示力對梁單元所做的功。

單元的總動能包括平移動能與轉動動能。梁單元的總動能表示為[11]

(34)

梁單元的總勢能包括梁的彈性彎曲勢能、切變形勢能和梁的軸向壓縮形變勢能，總勢能方程表示為

(35)

外力做功表示為

(36)

由式(34)～(36)代入式(33)，電主軸-角接觸球軸承系統的動力學微分方程可以表示為

(37)

式中，[K]=[Ks]+[Kp]+[Kb]-Ω2[Mc]，[M]為電主軸轉軸質量矩陣，[G]為轉軸的陀螺反對稱矩陣，[K]為電主軸-角接觸球軸承系統的剛度矩陣，其中，[Ks]為轉軸的剛度矩陣，[Kp]為軸向力引起的剛度矩陣，[Kb]為角接觸球軸承剛度矩陣，可以由式(29)求得，[Mc]為考慮離心力效應的附加矩陣。[F]為作用在梁單元節點上的外力，Ω為電主軸轉軸的轉速。

由電主軸-角接觸球軸承動力學微分方程可以看出，在電主軸的質量、材料與幾何等參數不變的情況下，角接觸球軸承的剛度與電主軸的轉速是影響電主軸動態特性的重要因素。而角接觸球軸承在實際的運行過程中，受到預緊力、徑向力和電主軸轉速的影響，軸承滾珠與軸承內、外圈溝道的接觸角、接觸力會發生變化，這將影響軸承剛度的變化，進而影響電主軸系統的臨界轉速。

3 實例分析

本文選用型號為7008C，采用油潤滑的角接觸球軸承作為研究對象，研究軸承預緊力、徑向力以及電主軸轉速對角接觸球軸承的影響。角接觸球軸承具體參數如下：

軸承滾珠直徑：Db=7.90 mm；軸承節圓直徑：Dp=54 mm；軸承滾珠數量：N=16；初始接觸角：αo=15°；內圈溝道曲率系數和外圈溝道曲率系數：fi=fe=0.52，其中f=r/Db，r為軸承溝道的曲率半徑；軸承滾珠與滾道材料的彈性模量：E=206 GPa，泊松比υ=0.3，主軸單元尺寸參數如表1所示。

表1 主軸單元尺寸

角接觸球軸承運轉過程中軸承主要承載徑向載荷，由式(7)和(13)可以求得軸承滾珠與軸承溝道的接觸角與接觸力，圖5給出了軸承在500 N預緊力、電主軸轉速為20 000 r/min的情況下，軸承分別受到0 N、100 N、150 N和200 N徑向力的作用下，不同位置處軸承滾珠與軸承內、外圈溝道接觸角和接觸力的變化情況。由圖5(a)和圖5(b)可知，軸承滾珠與內圈溝道的接觸角在0°位置為最小值，180°位置為最大值，軸承滾珠與外圈溝道的接觸角變化相反，在0°位置為最大值，180°位置為最小值；在90°和270°位置處，軸承滾珠與軸承內、外圈溝道的接觸角并不受徑向力的影響，與徑向力Fr為0 N時滾珠與內、外圈溝道的接觸角相同；軸承的徑向力越大，軸承滾珠與軸承內、外圈溝道的接觸角變化值越大，并且接觸角都成周期變化。由圖5(c)和圖5(d)可知，軸承滾珠與內、外圈溝道的接觸力在0°和180°位置分別達到最大值或最小值；在90°和270°位置處，軸承滾珠與軸承內、外圈溝道的接觸力不受徑向力的影響，與徑向力Fr為0 N時滾珠與內、外圈溝道的接觸力相同，且軸承徑向力越大，軸承滾珠與內、外圈溝道接觸力的變化范圍也越大，并且接觸力成周期變化。

圖5 徑向力對滾珠與軸承溝道的接觸角及接觸力的影響Fig.5 The influence of radial force on the contact angle and contact force between the ball and the bearing race

此外，考慮電主軸轉速將會引起滾珠離心力的增加，圖6給出了角接觸球軸承在500 N預緊力、200 N徑向力的情況下，電主軸轉速分別為10 000 r/min、15 000 r/min、20 000 r/min時，不同位置處軸承滾珠與軸承內、外圈溝道接觸角和接觸力的變化情況。在圖6(a)和圖6(b)中看到，隨著電主軸轉速的升高，軸承滾珠與內圈接觸角增大，與外圈接觸角減小，并且接觸角的變化范圍增大；由圖6(c)和圖6(d)中看到，隨著電主軸轉速的升高，軸承滾珠與內圈接觸力減小，與外圈接觸力增大。軸承滾珠在0°時接觸力達到最大值，相比于電主軸轉速為10 000 r/min時，電主軸轉速達到15 000 r/min和20 000 r/min軸承滾珠與內圈接觸力分別下降了2.29%和4.22%，而軸承滾珠與外圈接觸力分別增加了7.77%和19.97%，由此可見當電主軸轉速升高，由于內圈膨脹與滾珠離心力等原因，軸承滾珠與外圈接觸力急劇增加，由1.4節可以看出，當滾珠與內外圈接觸角與接觸力發生變化時，軸承剛度會隨之改變。

圖6 電主軸轉速對滾珠與軸承溝道的接觸角及接觸力的影響Fig.6 The influence of rotor speed on the contact angle and contact force between the ball and the bearing race

由式(29)、(30)可以求出角接觸球軸承的剛度矩陣，圖7給出了軸承在不同預緊力的情況下，電主軸轉速對軸承剛度的影響。從圖中可以看出，軸承的徑向剛度和角剛度隨著電主軸轉速的變化表現出非線性改變，在轉速增加時，軸承的剛度一開始變化較小，在一定轉速內急劇下降，當轉速較高時，軸承的剛度趨于穩定。根據不同預緊力下的軸承剛度變化曲線可以看出，當軸承的預緊力越大，初始剛度增加。在電主軸轉速升高至22 000 r/min，預緊力為100 N時，軸承的徑向剛度和角剛度分別下降了75.01%和48.21%；預緊力為300 N時，軸承的徑向剛度和角剛度分別下降了65.92%和47.07%；預緊力為500 N時，軸承的徑向剛度和角剛度分別下降了53.12%和37.57%；由此可見軸承的預緊力越大，軸承剛度下降的趨勢越慢，且在軸承轉速較高的情況下才開始下降。

圖7 不同預緊力下軸承剛度隨電主軸轉速的變化Fig.7 The change of bearing stiffness with the spindle speed for different preloads

電主軸在高速運行過程中，角接觸球軸承在預緊力的作用下，軸承的剛度隨著電主軸轉速的增加而降低，軸承剛度的下降將導致轉子臨界轉速下降，圖8給出了軸承在500 N預緊力的作用下，電主軸轉速對電主軸臨界轉速的影響。當電主軸轉速為22 000 r/min時，前三階臨界轉速與靜止時相比分別下降了3.61%，3.47%，4.01%。圖9給出了軸承在不同預緊力情況下電主軸的一階臨界轉速變化。當軸承的預緊力為100 N的時候，轉子的一階臨界轉速在4 000 r/min開始下降；當軸承的預緊力為300 N的時候，轉子的一階臨界轉速在10 000 r/min時開始下降；當軸承的預緊力為500 N的時候，轉子的一階臨界轉速在12 000 r/min時開始下降。當電主軸轉速達到22 000 r/min相比靜止時，軸承預緊力為100 N的時候，電主軸的一階臨界轉速下降了9.21%；而當軸承的預緊力增加到300 N時，電主軸的一階臨界轉速下降了5.57%；而當軸承的預緊力增加到500 N時，電主軸的一階臨界轉速下降了3.61%。可見，提高軸承的預緊力可以延緩臨界轉速隨電主軸轉速下降的趨勢。

圖8 電主軸前三階臨界轉速隨轉速的變化Fig.8 The change of the first three orders of the critical speeds of the motorized spindle with the spindle speed

圖9 不同預緊力下一階臨界轉速隨轉速的變化Fig.9 The change of the first-order critical speed with the spindle speed for different preloads

4 結 論

本文針對高速電主軸角接觸球軸承高轉速的特點，建立角接觸球軸承的擬靜力學模型，研究了角接觸球軸承徑向力和電主軸轉速對軸承滾珠與軸承溝道的接觸角、接觸力的影響；進而給出了軸承剛度隨電主軸轉速和預緊力影響的變化趨勢；最后建立軸承-主軸的有限元模型，研究了不同預緊力下角接觸球軸承在高轉速下對電主軸臨界轉速的影響，得到如下結論：

(1)角接觸球軸承的滾珠在運轉過程中主要受軸承徑向載荷，當軸承滾珠方位角為90°和270°時，將不受徑向力改變的影響，當方位角為0°和180°時，接觸角和接觸力會達到最大或最小值，此時受徑向力影響為最大。

(2)隨著電主軸轉速增加，受離心力與內圈膨脹影響，軸承滾珠與內圈接觸角增大，與外圈接觸角減小，與內圈接觸力減小，與外圈接觸力增大，并且與外圈接觸力的增幅較大。受轉速影響，滾珠與軸承溝道的接觸角與接觸力呈非線性變化，進而將影響軸承剛度的變化。

(3)高速電主軸角接觸球軸承的剛度會隨著電主軸轉速的升高而減小，會隨著軸承預緊力的增加而增大，并且增加預緊力可減緩軸承剛度隨轉速升高而減小的趨勢。

(4)角接觸球軸承剛度會對電主軸的臨界轉速產生較大影響，隨著電主軸轉速升高，電主軸的前三階臨界轉速受軸承剛度影響而降低，增加軸承預緊力，可以增加電主軸的臨界轉速，并且減緩臨界轉速下降的趨勢。

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Analysis on the stiffness of angular contact ball bearings and its effect on the critical speed of a high speed motorized spindle

HUANG Weidi, GAN Chunbiao, YANG Shixi, XU Lihui

(College of Mechanical Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China)

A pseudo-static model of angular contact ball bearings in a high speed motorized spindle was built in full consideration of their high speed rotation characteristics, by which the impacts of the bearing radial force and the speed of motorized spindle on the contact angle and contact force between balls and bearing races were discussed. According to the force equilibrium condition of the bearing and balls, the impact of the bearing preload on the bearing stiffness was studied. Then, the finite element models of the bearing and spindle were set up based on the Timoshenko beam theory, by which the influence of the bearing on the critical speed of the motorized spindle with different preloads was studied. The results show that the radial force and the speed of the motorized spindle may change the contact angle and the force between balls and bearing races. The bearing stiffness degradation will arise as the rotating speed is high and the preload is decreased, and the critical speed of the motorized spindle also decreases. Moreover, to guarantee the safety of the motorized spindle, the effects of the bearing centrifugal force, the inner expansion, and the preload should be taken into account in design.

angular contact ball bearing; bearing stiffness; motorized spindle; critical speed; preload

國家自然科學基金(11172260；11372270)

2016-01-26 修改稿收到日期： 2016-04-12

黃偉迪 男，博士生，1989年生

甘春標 男，教授，博士生導師，1971年生

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.10.004