金融數學技巧在期權定價中的應用

段玉潔+郭蓉

【摘要】金融數學是隨著金融學的發展而逐漸興起來的學科，有效結合了隨機分析、概率統計學以及泛函分析等數學知識對金融投資領域中的風險與收益的評估提供了科學的數學分析結論，從而得出最佳的投資策略。期權在金融市場中具有重要的地位，在期權定價中運用金融數學的知識能夠加強對期權收益與風險的評估從而促進金融學的的發展。

【關鍵詞】金融數學 期權定價 B-S模型 投資風險

一、計量技術與金融數學的發展概況

（一）計量技術與計量經濟學的發展

在經濟學與金融學的發展過程中大量運用到了定量技術對金融現象進行邏輯化地推理。數學具有邏輯性性以及精確的特點，能夠對金融問題與經濟現象進行量化的分析。但是經濟問題是處在一直的變化之中的，人的行為活動以及心理思維方式對經濟的運行具有重要的影響，因此無法用精準的數量指標進行描述，所以，金融數學的運用是在一定的程度與假設基礎之上的分析，對經濟行為主體來說只能作為決策時的參考依據，這也是現代計量經濟學進行定性與定量分析的出發點。

（二）金融數學的發展

金融市場自成立以來其運行就伴隨著高收益與高風險的特點，因此各個國家的金融投資者一直在探索如何對金融投資過程中伴隨的金融風險進行有效地評估以及如何對期權的價格進行定位。在這種背景下金融數學應運而生，在經濟學以及金融學中運用數學知識，建立金融數學模型能夠對投資風險進行有效地評估進而對期權價格的制定采用了有效的方式，這在國際金融領域對金融投資市場的分析與預測以及實時的監控能夠起到重要的作用，有利的促進了金融市場的發展。

二、期權與期權理論概況

（一）期權理論的產生

期權是金融行業在發展過程中的隨著現實經濟狀況的出現而產生的一種衍生品，是金融交易市場上重要的交易工具，能夠對未來可能發生的風險進行有效地規避，同時還可以進行投資，產生收益。期權的出現是金融交易市場上的重大變革，人們可以對現代還為發生的狀況進行投資與預測。

（二）期權定價理論的產生

在期權交易中的關鍵性環節就是期權價格的交易。在期權合約中，期權價格隨著市場供求的變化而隨時發生變化，期權價格的情況與交易雙方利益的分配情況息息相關。因此對于期權定價理論的研究在金融學以及計量經濟學方面具有重要的研究價值。

關于期權定價的理論研究分為完全金融市場下的期權定價理論與不完全金融市場下的期權定價理論兩種。如果假設金融市場是完全的，各種經濟因素的發生都能夠考慮在內并且預測到其發展變化那么相關期權定價理論就是固定的。但是在現實情況下，完全的金融市場幾乎是不可能存在的。例如股票期權的價格就時刻受到股票價格的波動率影響與無風險收益率的影響。因此期權定價理論的研究是以不完全金融市場為條件。

三、期權定價方法

隨著國家之間經濟聯系的逐漸加深，各種金融衍生品不斷出現，對期權問題進行合理地定價一直是國際金融市場發展的重點問題。隨著信息技術的突飛猛進地發展與應用，借助于先進的計算機與與通訊科技，關于期權定價的公式與模型應運而生。

1973年是期權理論與期權定價理論具有標志意義的一年，在這一年，Fisher Black與Myron Scholes共同做出了關于連續時間的期權定價理論，即B-S期權定價模型，這是世界上第一個完整的得到公認的期權定價模型。隨著這一模型的提出，德克薩斯電子儀器公司據此模型有效計算期權價格的計算器，這一計算器一經推出便在各大金融公司得到了推廣，對金融交易以及期權定價做出了歷史性的貢獻。直至今天，不少投資銀行、金融從業者股票交易員以及期權交易員仍然在使用B-S模型，衍生工具的更新促使了國際金融交易市場效率的提高，同時也提高了全球交易市場的變化性。

三年以后，Rubisentin做出了關于二項式分布的針對間斷時間的期權定價理論，該理論以期權定價數值法作為基礎，研究重點放在了美式期權定價問題上。這兩大理論的產生極為有利地促進了國際金融衍生品的大量出現與發展，在各個行業包括財務管理中都得到了推廣。

四、B-S定價模型

其中主要的定價方法是Black-Schole定價模型、二項式定價方法、風險中定期權定價方式以及鞅定價方式。

B-S定價模型的假設條件有五個：第一是標的資產價格呈對數正態分布形式；第二是在期權失效之前，金融資產收益的變量以及無風險利率都是固定不變的；第三是假設金融交易市場沒有交易成本以及稅收成本；第四是在期權的有效時間之內金融資產沒有其他收益包括紅利所得，這一假設隨著現實狀況的發展后來被廢除；第五是不可以在期權日之前提前行使權利，這是歐式期權的特性。

Black與Scholes有效結合無套利分析技術，得出了不含紅利收入的股票的相關衍生證券產品的價格f應當滿足的Black_Scholes微分方程：

■+rS■+■σ■S■■=rf

之后Black和Schole兩人又根據前期所推導的微分方程得到如下的期權定價公式：

f=SN（d■）-Xe■N（d■）

d■=■

d■=d■-σ■

B-S定價模型源于對沖證券組合中的有關思想。期權投資者在進行投資時為了對投資報酬進行有效評估在期權與期權標的股票之間建立有效的組合。投資者能夠得到的確定報酬是隨著無風險利率同時產生的，期權的這一理論與無套利定價理論相似。無套利定價理論的核心思想是投資收益是與投資金額相對應的，投入多少資金就會產生與投資面臨的風險相對應的平均回報。根據B-S定價理論，期權定價就是一種無套利定價。

我國的金融交易市場發展歷史有限，資本市場與金融交易體制不夠完善，與國際成熟資本市場相比存在著較大的差距，隨著全球化的與跨國公司的發展，各國之間的經濟聯系逐漸加深，沒有哪個國家可以獨善其身，因此中國應當不斷完善資本交易市場，促進匯兌制度的發展，同時加強對規避風險的金融衍生品的研究，因此期權定價理論的研究對我國的金融市場具有重大的意義。

五、結束語

隨著各種金融衍生品的出現，金融市場的發展越來越復雜，因此需要對金融投資過程中的風險進行有效地評估，金融數學以及計量經濟學理論被應用到金融學領域，期權定價理論應運而生，Black-Scholes期權定價模型是期權定價理論中的重要理論，極為有利地促進了期貨交易市場以及金融領域的發展，帶動了金融市場的巨大變革，被廣泛地應用在財務以及非財務領域中進行價格的制定以及風險評估方面，因此加強對期權定價理論的研究具有重要的意義。

參考文獻

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