基于Lagrange插值的局部特征尺度分解方法及其應用

吳占濤+程軍圣+李寶慶+鄭近德

摘 要：針對局部特征尺度分解（Local Characteristic-scale Decomposition，LCD）方法中均值曲線插值點的屬性主要由相鄰兩同類極值點的屬性決定，不能很好地體現數據的整體變化趨勢，從而可能引起分解精度降低，提出了基于Lagrange插值的局部特征尺度分解（Lagrange Interpolation based Local Characteristic-scale Decomposition，LILCD）方法.該方法采用Lagrange插值取代LCD中的線性插值，且均值曲線的插值點是由相鄰的3個同類極值點構成的Lagrange插值多項式計算產生.引入了對稱系數的概念，并給出了最優對稱系數評價準則.研究了LILCD方法的原理及最優對稱系數評價準則，通過仿真信號將LILCD方法與LCD方法進行了對比，結果表明LILCD在提高分量精確性和正交性方面具有一定的優越性.將LILCD方法應用于轉子不對中故障的診斷，結果表明了方法的有效性.

關鍵詞：局部特征尺度分解；Lagrange插值；故障診斷；不對中故障；時頻分析

中圖分類號：TH165；TH911.7 文獻標識碼：A

The Method of Lagrange Interpolation Based Local Characteristic-scale Decomposition and Its Application

WU Zhantao1， CHENG Junsheng1， LI Baoqing1， ZHENG Jinde2

（1. State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body， Hunan University， Changsha 410082， China；

2. School of Mechanical Engineering， Anhui Univetsity of Technology， Maanshan 243032， China）

Abstract：A new non-stationary signal method——Lagrange Interpolation based Local Characteristic-scale Decomposition （LILCD） was proposed to improve the LCD method， in which the property of mean curve interpolation points was mainly decided by adjacent similar extremum points which cannot properly reflect the overall trends of signal， and the decomposition precision was lowered. To improve the LCD method， Lagrange interpolation was used in LILCD to replace the linear interpolation in LCD， and the mean curve interpolation points were computed with the Lagrange interpolation polynomial generated by three adjacent similar extremum points. Symmetric coefficient was introduced， and the optimal evaluation criteria of symmetric coefficient were given. The paper firstly studied the theory of LILCD， and then， simulation experiments were done to compare LILCD with LCD. The results have indicated that LILCD is more efficient in improving the veracity and orthogonality in components than LCD. Finally， the proposed method was applied to diagnose the rotor with misalignment fault， which indicates the effectiveness of LILCD.

Key words：local characteristic-scale decomposition（LCD）； Lagrange interpolation； fault diagnosis； misalignment fault； time-frequency analysis

當機械設備發生故障時，其振動信號一般是非平穩、非線性信號，由于時頻分析方法能同時提供非平穩信號在時域和頻域的局部化信息而得到了廣泛的應用[1].自適應時頻分析方法的特點主要表現在不需要對被分析信號的形態特征或者信息做出預測和限制的前提下，可以在對信號進行分解的過程中根據信號本身的特性自動產生基線信號，從而使得分解結果具有一定的物理意義[2].近年來最具代表性的自適應時頻分析方法是經驗模態分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）方法[3-4]，EMD方法自提出后在很多領域得到了廣泛的應用[5-6].然而，EMD方法存在包絡過沖和欠包絡、迭代計算量大、端點效應以及模態混淆等問題[7].作為對EMD方法的改進，程軍圣等人[8]提出了另一種自適應時頻分析方法——局部特征尺度分解（LCD）.LCD能夠自適應地將一個復雜信號分解為若干個瞬時頻率具有物理意義內稟尺度分量（Intrinsic Scale Component，ISC）之和，從而得到原始信號完整的時頻分布.與EMD相比，LCD避免了MED中采用三次樣條擬合極值點生成包絡線的方式來定義均值曲線，而是基于數據本身的特征尺度參數，不但減小了分解誤差，提高了計算速度，而且在一定程度上也抑制了模態混淆，已被應用于信號分析和機械故障診斷等領域，取得了較好的效果[9-11].

EMD和LCD等這類基于篩分的信號分解方法有共同的分解思路，即在定義瞬時頻率具有物理意義的單分量信號的基礎上，定義一種基于均值曲線的篩分過程，通過篩分過程不斷從原始信號中分離出相對高頻的分量.因此，在這類基于篩分過程分解方法中核心問題是如何定義合理的均值曲線，均值曲線的定義優劣直接決定了方法的有效性和精確性[12].LCD均值曲線的插值點是由連接兩相鄰同類極值點的連線計算產生，雖然相對EMD減小了迭代計算量、提高了分解精度，但由于均值曲線插值點的屬性主要由相鄰兩同類極值點的屬性決定，不能很好地體現數據的整體變化趨勢，從而可能引起分解精度降低，因此有待進一步改進.本文提出了基于Lagrange插值的局部特征尺度分解（Lagrange Interpolation based Local Characteristic-scale Decomposition，LILCD），采用Lagrange插值[13-14]取代LCD中的線性插值，且均值曲線的插值點是由相鄰的3個同類極值點構成的Lagrange插值多項式計算產生，可以更好地體現數據的整體屬性；引入了對稱系數的概念，并給出了最優對稱系數評價準則，選取最優對稱系數，提高LCD分解精度.

本文研究了LILCD方法的原理及最優對稱系數評價準則，通過仿真信號將LILCD與LCD進行分析對比，結果表明，LILCD在提高分量精確性等方面具有一定的優越性，并采用LILCD方法對具有不對中故障的轉子振動位移信號進行了分析，結果表明LILCD能夠有效地將高頻不對中故障成分與轉頻等成分進行分離，從而實現轉子故障診斷.

1 LILCD

1.1 LILCD均值曲線

對稱系數λ取不同的值，則可得到不同的均值曲線，進而得到不同的ISC分量.選取最優的對稱系數λ可以改善LCD均值曲線，以在迭代過程中消除趨勢，降低篩分誤差，提高分解精度.

由于Ak和Lk值的下標k值從4變化到K-1，采用端點延拓方法[15]，求得L1，L2，L3和Lk的值.實際上，LCD方法中Ak和Lk的值也可以看作是由相鄰極值點采用Lagrange插值產生的曲線計算產生的，區別在于Lagrange插值階次和插值點個數不同.

1.2 LILCD分解過程

對實信號x（t），對稱系數λ在取值范圍內，以一定步長改變，得到的一系列值記為λj，j=1，2，…，J，J為λ的總個數.LILCD分解步驟如下：

1.3 最優對稱系數評價準則

為了評價對稱系數λ取不同值時，分解得到的ISC分量精確性，需要確定一個最優λ評價準則.參考文獻[3]提出了正交性性質，文獻[16]在對EMD方法改進時提出了正交性檢驗準則，本文使用正交性評價指標選取最優的對稱系數λ（opt）.理想狀態下，單個ISC分量正交于其余的ISC成分，則單個ISC也正交于其余的ISC成分的和，即要滿足：

式中：x（t）為原始信號的真實值；ISCi（t）為分解得到的單分量信號；T為信號長度；N為ISC分量總數.定義式（10）為單個ISC分量與其余ISC成分之和的正交性評價指標（Evaluation Index of Orthogonality， EIO）.

1.4 仿真信號分析

為了說明所提出的LILCD方法的優越性，不失一般性，考慮式（11）所示的混合信號：

分別采用LILCD和LCD對仿真信號x（t）進行分解，2種方法均采用端點延拓方法處理端點效應.采用LILCD分解時，對稱系數λ∈[0.5，2]，步長為0.05.圖3是λ分別為0.50，1.25和2.00時，LILCD分解得到的各ISCj1（t）和ISCj2（t）分量的分解絕對誤差.分解絕對誤差定義為分解得到的ISC分量與真實分量之差的絕對值.圖4是λ∈[0.5，2]時得到的各ISCji（t）分量對應的EIOji值變化情況，i=1，2.

從圖3可以看出，當λ取不同值時，對LILCD得到的2組ISC分量的分解絕對誤差均有一定的影響，對ISCj1（t）分量的分解絕對誤差影響相對更明顯些，這說明λ值的選取會影響LILCD的分解精度.由圖4可知，LILCD在分解第1個分量時，λ（opt）1=0.95，對應的EIO值為1.775×10-5；在分解第2個分量時，λ取不同的值，EIO值均較小，λ（opt）2=2，對應的EIO值為0.005 7.

2種方法對仿真信號x（t）的分解結果分別如圖5和圖6所示，2種方法的分解絕對誤差如圖7所示.

由圖5～圖7可以看出，LILCD的分解結果比較理想，分解分量與真實分量非常接近，分解絕對誤差較小；LCD的分解分量I1與真實分量也比較接近，但分量I2與R2的局部波形失真，與真實分量分解絕對誤差較大.

為了進一步比較2種方法的分解效果，本文還考察了2種分解方法的分解正交性指標（IO）[3]，以及2種分解方法得到的前2個分量與真實分量的均方根誤差（RMSE）和相關系數（CC）[3].IO值越小，表示所有分解分量之間的正交性越好；RMSE值越小，表示分解誤差越小；CC值越大，表示分解的準確性越高.各評價指標值如表1所示，其中RMSEi和CCi分別表示第i個分解分量與其對應真實分量的均方根誤差和相關系數，i=1，2.

由表1可以看出，與LCD方法相比，LILCD方法的正交性指標和均方根誤差指標值都更小，相關系數指標值都更大，說明LILCD方法在正交性和精確性等方面表現出一定的優越性.

2 應用實例

為了進一步說明LILCD方法的有效性與實用性，將其應用于由彎曲變形引起的不對中故障的轉子振動位移實驗信號分析，實驗裝置示意圖如圖8所示.轉子轉速為3 000 r/min，轉頻fr=50 Hz，實驗采樣頻率為fs=2 048 Hz，采樣時長為0.5 s.其中調速電機為直流并勵電動機，功率為250 W；轉子徑向位移振動信號由垂直和水平安裝的電渦流傳感器拾取；鍵相傳感器采用電渦流傳感器，可以提供相位和轉速信號；這些信號經過信號調理箱處理后，送入數據采集系統.實驗數據的時域波形如圖9所示，其幅值譜如圖10所示.轉子發生由彎曲變形引起的不對中故障時，由于轉軸內阻現象以及轉軸表面與旋轉體內表面之間的摩擦而產生的相對滑動，使轉子產生自激旋轉周期性振動，轉子振動位移信號會產生一個以轉頻為幅值調制頻率的高頻分量，其振動頻率為轉子轉頻fr的兩倍，常伴頻率為轉頻fr的1倍頻及高次諧波[17-19].由圖9可以看出高頻的分量信號被淹沒在強大的背景信號中.從圖10中主要看到的是與轉頻fr相關的基頻分量，看不出不對中故障信息.為提取高頻不對中信息，分別采用LILCD和LCD對實驗數據進行分解，分解結果如圖11和圖12所示，2種方法分量I2包絡譜分別如圖13和圖14所示.

由圖11可以看出，LILCD方法對實驗數據分解得到的第1個分量I1是高頻背景噪聲信號，第2個分量I2具有明顯的調制特征，分量I3是與轉頻有關的背景信號，剩余信號R3是一些低頻噪聲.從圖12中可以看出，LCD方法對實驗數據分解得到的第1個分量I1也是高頻背景噪聲信號，第2個分量I2也能看出調制特征，第3個分量是與轉頻有關的背景信號；但分量I2，I3和R3出現了嚴重的波形失真.由圖13所示LILCD分量I2的包絡譜圖可以看到明顯的轉頻fr的2倍頻和轉頻fr的1倍頻及高次諧波成分，這與轉子發生不對中故障時的頻率特征相符合，因此LILCD分量I2的主要成分是不對中故障信號.圖14所示的LCD分量I2的包絡譜圖未出現明顯的轉頻2倍頻，無法有效識別實驗數據所包含的故障類型.

綜上，相對LCD方法，LILCD能更為有效地將高頻不對中信號從強大的背景信號中提取出來，實現不對中故障信號、背景信號和噪聲信號的分離，從而實現轉子故障診斷.

3 結 論

提出了基于Lagrange插值的局部特征尺度分解（LILCD）方法，給出了最優對稱系數評價準則，對仿真信號和實驗數據的分析結果表明：

1）使用仿真信號將LILCD方法與LCD方法進行對比，分析結果表明，LILCD方法在分量的正交性、精確性等方面要優于LCD方法.

2）將LILCD方法應用于轉子不對中故障信號的分析，能將高頻不對中故障信號從強大的背景信號和噪聲中提取出來，有效地實現了轉子不對中故障的診斷.

3）LILCD不需要預測和限制待分析信號的形態特征或信息，是一種自適應時頻分析方法.

論文提出的LILCD方法可有效地應用于機械設備故障診斷.盡管如此，該方法仍有其不足之處，如LILCD方法存在運行效率相對較低等問題，作者將進一步深入完善該方法的理論.

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