基于時(shí)序建模的光纖電流互感器隨機(jī)噪聲卡爾曼濾波方法

李波， 林聰， 劉清蟬， 朱全聰， 魏廣進(jìn)

(1.云南電網(wǎng)有限責(zé)任公司電力科研究院，云南 昆明 650217；2.中國(guó)南方電網(wǎng)公司 電能計(jì)量重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，云南 昆明 650217；3.東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 210096)

基于時(shí)序建模的光纖電流互感器隨機(jī)噪聲卡爾曼濾波方法

李波1,2， 林聰1,2， 劉清蟬1,2， 朱全聰1,2， 魏廣進(jìn)3

(1.云南電網(wǎng)有限責(zé)任公司電力科研究院，云南 昆明 650217；2.中國(guó)南方電網(wǎng)公司 電能計(jì)量重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，云南 昆明 650217；3.東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 210096)

針對(duì)光纖電流互感器(FOCT)隨機(jī)噪聲特性及其對(duì)繼電保護(hù)、電能計(jì)量等間隔層設(shè)備的影響，建立FOCT隨機(jī)誤差的時(shí)序模型，并采用濾波方法有效提高了FOCT測(cè)量精確度。首先，預(yù)處理和統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)FOCT原始數(shù)據(jù)，獲取數(shù)據(jù)隨機(jī)特征；根據(jù)赤池信息準(zhǔn)則(AIC)準(zhǔn)則選擇時(shí)間序列模型的階次，求出模型系數(shù)建立FOCT隨機(jī)誤差的ARMA(2,1)模型，并檢驗(yàn)其適用性；采用卡爾曼濾波方法對(duì)FOCT輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理?？偡讲罘治鼋Y(jié)果表明：建立的FOCT時(shí)序模型經(jīng)卡爾曼濾波后，隨機(jī)噪聲幅值明顯減小，方差值降低了兩個(gè)數(shù)量級(jí)，各項(xiàng)隨機(jī)噪聲的誤差系數(shù)均下降一個(gè)數(shù)量級(jí)，采用的時(shí)序建模和卡爾曼濾波方法能有效減小FOCT的隨機(jī)噪聲，提高電流信息的測(cè)量精確度。

隨機(jī)噪聲; 測(cè)量精確度; AIC準(zhǔn)則; ARMA模型;卡爾曼濾波

0 引 言

光纖電流互感器(fiber optical current transducer，F(xiàn)OCT)作為一種新型的電流測(cè)量裝置，較傳統(tǒng)的電流互感器，具有測(cè)量精確度高、動(dòng)態(tài)范圍大、頻響范圍寬、絕緣性能優(yōu)的一系列優(yōu)點(diǎn)[1-2]。FOCT面臨的隨機(jī)噪聲問(wèn)題成為限制其在電力工程中大量應(yīng)用的主要因素之一，其測(cè)量精確度對(duì)電力系統(tǒng)具有至關(guān)重要的作用[3-4]。為了提高FOCT測(cè)量精確度，對(duì)其輸出隨機(jī)噪聲進(jìn)行在線(xiàn)建模，選擇適當(dāng)?shù)臑V波方法對(duì)噪聲進(jìn)行減小甚至消除。文獻(xiàn)[5-6]提供了一種基于溫度補(bǔ)償?shù)姆椒▽?duì)FOCT隨機(jī)噪聲進(jìn)行減小的方法?，F(xiàn)有的時(shí)序建模方法通常直接分析不符合時(shí)間序列平穩(wěn)性的FOCT輸出數(shù)據(jù)，忽略了輸出序列的預(yù)處理和統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)分析工作，即對(duì)輸出序列進(jìn)行獨(dú)立、平穩(wěn)、正態(tài)、零均值以及趨勢(shì)項(xiàng)處理工作和輸出序列的非平穩(wěn)性、非隨機(jī)和非正態(tài)等特性檢驗(yàn)，直接建立的模型誤差較大。

本文針對(duì)FOCT輸出數(shù)據(jù)的隨機(jī)噪聲問(wèn)題，從FOCT輸出數(shù)據(jù)預(yù)處理和統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)入手，通過(guò)赤池(AIC)準(zhǔn)則選擇階次建立最佳模型，經(jīng)最小二乘法求解模型參數(shù)，通過(guò)模型殘差的自相關(guān)函數(shù)圖和偏自相關(guān)函數(shù)圖檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪m用性，建立系統(tǒng)相應(yīng)的狀態(tài)方程和輸出方程，采用卡爾曼濾波算法對(duì)FOCT隨機(jī)噪聲實(shí)時(shí)濾波，利用總方差法分析濾波前后FOCT數(shù)據(jù)的各項(xiàng)隨機(jī)誤差。

1 時(shí)間序列建模方法

1.1 時(shí)序模型的描述

FOCT輸出數(shù)據(jù)是有序的隨機(jī)信號(hào)，無(wú)法采用基于輸入輸出的傳統(tǒng)建模方式對(duì)其進(jìn)行建模，可采用時(shí)序分析的方法對(duì)其處理，即根據(jù)統(tǒng)計(jì)理論利用系統(tǒng)的輸出信號(hào)建立反映系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)的參數(shù)模型，建立FOCT的時(shí)間序列模型[7-8]。

時(shí)間序列模型常用于擬合平穩(wěn)、正態(tài)序列，在某種近似程度上，通過(guò)相應(yīng)準(zhǔn)則選擇適當(dāng)階數(shù)的ARMA(p,q)能用于描述任何廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。設(shè){xk}(k=1,...,n){xk}(k=1,2,…,n)是一個(gè)平穩(wěn)、正態(tài)、零均值時(shí)間序列，則ARMA(p,q)模型可表示為

xk=φ1xk-1+φ2xk-2+...+φpxk-p+

ak-θ1ak-1-…-θqxk-q。

(1)

其中：n為數(shù)據(jù)序列的個(gè)數(shù)，xk為時(shí)間序列，φp為自回歸系數(shù)，θa為滑動(dòng)平均系數(shù)，ak為殘差，p、q為ARMA(p,q)模型的階次。式(1) 表示的是時(shí)間序列{xk}在第k時(shí)刻的取值，xk可以用該時(shí)序在過(guò)去n個(gè)時(shí)期的值xk-1,xk-2,…,xk-p進(jìn)行估計(jì)，其誤差為

e=ak-θ1ak-1-…-θqak-q。

(2)

1.2 時(shí)序建模預(yù)處理

建立ARMA模型的前提是原始FOCT信號(hào)滿(mǎn)足平穩(wěn)性、正態(tài)性和零均值的要求，對(duì)于錄入的FOCT輸出數(shù)據(jù)通常并不具備這些條件，需要對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理操作和相應(yīng)特性的檢驗(yàn)。

1)均值濾波。

對(duì)于錄入的實(shí)際數(shù)據(jù)選取若干個(gè)FOCT數(shù)據(jù)的均值構(gòu)成新的數(shù)據(jù)序列，處理速度較快，算法簡(jiǎn)單，能夠有效減弱FOCT隨機(jī)噪聲。

2)平穩(wěn)性檢驗(yàn)。

通常采用逆序檢驗(yàn)法來(lái)檢驗(yàn)FOCT數(shù)據(jù)序列的平穩(wěn)性情況，如果不滿(mǎn)足平穩(wěn)性要求，則對(duì)FOCT隨機(jī)序列進(jìn)行趨勢(shì)項(xiàng)提取。逆序檢驗(yàn)法[9]定義如下：將{xn}分成l個(gè)子序列{xj,n}，j∈(0,1,2,...,l)，求出各子序列的均值μl后，均值構(gòu)成一個(gè)序列μ1μ2μ3…μl。當(dāng)i>j時(shí)，每出現(xiàn)一次μi>μj，定義為μj的一個(gè)逆序，同時(shí)定義μj的逆序，Aj為μi>μj出現(xiàn)的次數(shù)，則序列的逆序總數(shù)為

(3)

逆序總數(shù)的理論平均值為

(4)

逆序總數(shù)的理論方差為

(5)

構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量為

(6)

當(dāng)顯著水平為0.05時(shí)，如果|u|≤1.96，則可確定μj間無(wú)顯著性差異，可確定{xn}是平穩(wěn)序列。

3)趨勢(shì)項(xiàng)提取。

差分處理的方法可用于提取趨勢(shì)項(xiàng)，通常不滿(mǎn)足平穩(wěn)性要求的隨機(jī)序列經(jīng)一次差分處理后大多能滿(mǎn)足平穩(wěn)性要求，處理后再檢驗(yàn)平穩(wěn)性，若不滿(mǎn)足平穩(wěn)性要求進(jìn)行二次差分處理。數(shù)據(jù)序列經(jīng)差分處理后得到新序列，減去新序列的均值進(jìn)行均值處理，完成趨勢(shì)項(xiàng)提取。

4)正態(tài)性檢驗(yàn)

對(duì)于平穩(wěn)觀測(cè)的FOCT數(shù)據(jù)序列進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)其標(biāo)準(zhǔn)偏度系數(shù)ξ和標(biāo)準(zhǔn)峰度系數(shù)ν，以下四個(gè)參數(shù)表示其總體概率密度。

均值為

(7)

方差為

(8)

標(biāo)準(zhǔn)偏度系數(shù)為

(9)

標(biāo)準(zhǔn)峰度系數(shù)為

(10)

當(dāng)ξ≈0，ν≈0，隨機(jī)序列滿(mǎn)足正態(tài)性要求。

1.3 在線(xiàn)時(shí)序建模

FOCT數(shù)據(jù)時(shí)序建模的預(yù)處理和統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)后，需要對(duì)模型進(jìn)行定階，模型參數(shù)計(jì)算，得到的可用模型仍需進(jìn)行模型適用性檢驗(yàn)，通過(guò)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜌埐钍欠駷榘自肼?，?duì)通過(guò)檢驗(yàn)后的適用模型建立系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程，采用卡爾曼濾波方法對(duì)FOCT數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。

1)階次選擇。

經(jīng)過(guò)預(yù)處理和檢驗(yàn)的FOCT隨機(jī)噪聲序列已經(jīng)是零均值、平穩(wěn)、正態(tài)的時(shí)間序列，滿(mǎn)足建模要求。赤池信息準(zhǔn)則(akaikeinformationcriterion,AIC)是判斷時(shí)間序列模型階次的常用方法，其定階準(zhǔn)則的定義如下：

(11)

AIC準(zhǔn)則考慮了模型階次和殘差的相互作用，從低到高分別計(jì)算不同階次模型的AIC值，選擇AIC值最小的階次建立時(shí)間序列模型。

2)模型檢驗(yàn)。

模型定階并經(jīng)最小二乘法計(jì)算模型參數(shù)后，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪m用性，即檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜌埐钍欠駷榘自肼?，如果模型殘差為白噪聲，則模型可用；反之，不可用。

2 基于時(shí)序模型的卡爾曼濾波方法

根據(jù)得到的ARMA模型，可利用卡爾曼濾波方法進(jìn)一步對(duì)中低精確度FOCT的隨機(jī)噪聲進(jìn)行抑制[10-12]，建立以FOCT隨機(jī)噪聲為白噪聲形式的系統(tǒng)狀態(tài)方程。

狀態(tài)方程為

(12)

設(shè)Wk為ARMA模型的估計(jì)誤差，則有

Yk=Xk+Wk。

(13)

系統(tǒng)輸出為

Zk=Y。

(14)

則輸出方程為

Zk=CXk+Wk。

(15)

vk和Wk的通常為均值為0，自相關(guān)系數(shù)為常數(shù)的白噪聲，且互不相關(guān)。統(tǒng)計(jì)特性為：均值E(Wk)=E(vk)=0，自相關(guān)函數(shù)φvv=Rδkj，φvv=Qδkj，互相關(guān)函數(shù)φvw(k,j)=0。

根據(jù)狀態(tài)方程和輸出方程，采用卡爾曼濾波方法對(duì)FOCT數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，建立的卡爾曼濾波方程如下：

(16)

3 實(shí)驗(yàn)與仿真分析

現(xiàn)取某型號(hào) FOCT樣機(jī)，充分預(yù)熱之后，錄入 FOCT穩(wěn)定工作狀態(tài)下的輸出的電流數(shù)據(jù)，測(cè)試環(huán)境如圖1所示，F(xiàn)OCT工作原理如圖2所示。

圖1 光纖電流互感器測(cè)試環(huán)境Fig.1 Experimental environment of the current transducer test system

圖2 FOCT工作原理圖Fig.2 Principle diagram of FOCT

FOCT工作原理如圖2所示，測(cè)試系統(tǒng)接入工頻單相220V電源作升流系統(tǒng)調(diào)節(jié)電流，產(chǎn)生的一次電流同時(shí)作用于高精確度標(biāo)準(zhǔn)電流互感器和FOCT，標(biāo)準(zhǔn)互感器產(chǎn)生二次電壓輸出到采樣頻率不低于50kHz的高精確度模擬量采集板卡，模數(shù)轉(zhuǎn)換模塊在時(shí)鐘基準(zhǔn)提供的同步信號(hào)下觸發(fā)采集標(biāo)準(zhǔn)電流值；一次電流作用于FOCT上，采集實(shí)時(shí)電流數(shù)據(jù)，通過(guò)光纖傳輸?shù)胶喜卧?jīng)整理后的采集量以FT3數(shù)據(jù)格式傳送至光纖收發(fā)器，再經(jīng)FPGA數(shù)字量接收裝置接收。電流校驗(yàn)儀接收來(lái)自標(biāo)準(zhǔn)互感器和FOCT采集到的電流數(shù)據(jù)，進(jìn)行后臺(tái)數(shù)據(jù)分析與處理，實(shí)際測(cè)試曲線(xiàn)如圖3所示。

均值濾波后的FOCT數(shù)據(jù)序列首次平穩(wěn)性檢驗(yàn)結(jié)果為：|u|=2.54>1.96，不滿(mǎn)足平穩(wěn)性要求；提取趨勢(shì)項(xiàng)后，如圖4所示，|u|=0.5<1.96，滿(mǎn)足平穩(wěn)性要求；正態(tài)性檢驗(yàn)主要結(jié)果為：標(biāo)準(zhǔn)偏度系數(shù)ξ=0.003 2≈0，標(biāo)準(zhǔn)峰度系數(shù)ν=4.547 7×10-4≈0，新的數(shù)據(jù)序列滿(mǎn)足正態(tài)性要求。該組新的數(shù)據(jù)序列為平穩(wěn)性、零均值、正態(tài)性序列，滿(mǎn)足在線(xiàn)建模的前提條件。

圖3 原始錄入數(shù)據(jù)與均值濾波數(shù)據(jù)Fig.3 Raw FOCT data and the data after mean filtering

圖4 一階差分后FOCT隨機(jī)噪聲Fig.4 FOCT stochastic noise after one-order differential process

針對(duì)滿(mǎn)足時(shí)序建模條件的電流序列，由于FOCT隨機(jī)噪聲模型的階次都較低，一般不超過(guò)2～3階，在模型參數(shù)數(shù)目小于3 的范圍內(nèi)，遍歷計(jì)算AIC最小值所對(duì)應(yīng)的模型，各模型AIC值計(jì)算如表1所示。

表1 FOCT隨機(jī)噪聲各模型的AIC值Table 1 AIC values of stochastic error model of FOCT

根據(jù)最小AIC值的選擇ARMA(2,1)模型作為FOCT隨機(jī)噪聲的最佳模型。建立的ARMA(2,1)模型基礎(chǔ)為

xk=φ1xk-1+φ2xk-2+ak-θ1ak-1。

(17)

xk=-0.707 2xk-1-0.132 5xk-2+ak-0.124 2ak-1。

(18)

根據(jù)殘差的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)圖可知，如圖5所示，二者可看作為白噪聲輸入，表明此模型有效。

圖5 模型殘差的自相關(guān)函數(shù)圖和偏自相關(guān)函數(shù)圖Fig.5 ACF and PACF of model residual

根據(jù)建立的ARMA(2,1)模型，求得相應(yīng)的系統(tǒng)狀態(tài)方程為

Xk=AXk+BVk。

(19)

系統(tǒng)輸出方程為

Zk=CXk+Wk。

(20)

利用卡爾曼濾波方法對(duì)FOCT數(shù)據(jù)隨機(jī)噪聲進(jìn)行去噪處理，濾波前后的曲線(xiàn)如圖6所示。對(duì)比濾波前后的曲線(xiàn)可以看出，采用ARMA模型建模和卡爾曼濾波后的FOCT隨機(jī)噪聲數(shù)據(jù)中的噪聲幅值明顯減小，計(jì)算數(shù)據(jù)濾波前后統(tǒng)計(jì)特性，濾波前方差為1.8×10-4，卡爾曼濾波后方差為3.1×10-6，濾波后的隨機(jī)噪聲數(shù)據(jù)特性有明顯提高，方差值下降了兩個(gè)數(shù)量級(jí)，說(shuō)明卡爾曼濾波方法可在保證無(wú)偏估計(jì)的同時(shí)提高FOCT輸出數(shù)據(jù)的分散程度。

圖6 光纖電流互感器數(shù)據(jù)濾波前后對(duì)比Fig.6 FOCT data comparison before and after Kalman filtering

采用總方差法[15]分析FOCT數(shù)據(jù)濾波前后的隨機(jī)噪聲，F(xiàn)OCT輸出數(shù)據(jù)中通常包括五項(xiàng)隨機(jī)噪聲：量化噪聲(quantization noise)、電流隨機(jī)游走噪聲(current random walk)、零偏不穩(wěn)定性噪聲(bias instability)、速率隨機(jī)游走噪聲(rate random walk)、速率斜坡噪聲(rate ramp)，誤差系數(shù)分別用S、N、B、K和R表示。鑒于FOCT不同類(lèi)型的隨機(jī)噪聲誤差出現(xiàn)在不同的相關(guān)時(shí)間域內(nèi)，不同類(lèi)型噪聲的功率譜密度及相關(guān)時(shí)間的函數(shù)關(guān)系均不同，故獨(dú)立統(tǒng)計(jì)各項(xiàng)噪聲誤差得

(21)

通過(guò)總方差法檢驗(yàn)FOCT隨機(jī)噪聲數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)ARMA建模和卡爾曼濾波的濾波效果，表2為對(duì)應(yīng)FOCT卡爾曼濾波前后的誤差項(xiàng)系數(shù)比較，圖7是該FOCT卡爾曼濾波前后的總方差曲線(xiàn)對(duì)比。

表2 卡爾曼濾波前后隨機(jī)誤差系數(shù)表Table 2 Stochastic error coefficients before and after Kalman filtering

圖7 濾波前后總方差分析Fig.7 Total variance analysis before and after Kalman filter

由表2和圖7可知，該型號(hào)FOCT輸出數(shù)據(jù)隨機(jī)噪聲以量化噪聲、速率隨機(jī)游走、速率斜坡以及零偏不穩(wěn)定性噪聲為主。經(jīng)過(guò)時(shí)間序列建模和卡爾曼濾波后，F(xiàn)OCT輸出數(shù)據(jù)中各項(xiàng)隨機(jī)誤差均有所改善，均下降了一個(gè)數(shù)量級(jí)，表明濾波有效去除了信號(hào)中的隨機(jī)噪聲成分，相應(yīng)的FOCT測(cè)量精確度得到了提高。

4 結(jié) 論

FOCT隨機(jī)噪聲導(dǎo)致的測(cè)量精確度誤差對(duì)智能變電站間隔層設(shè)備具有重要的影響。通過(guò)建立FOCT數(shù)據(jù)的時(shí)間序列模型和卡爾曼濾波處理，分析結(jié)果顯示處理后的 FOCT輸出數(shù)據(jù)隨機(jī)噪聲幅值明顯減小，方差值下降了兩個(gè)數(shù)量級(jí)，總方差法分析得到FOCT的電流隨機(jī)游走噪聲、零偏不穩(wěn)定性噪聲、速率隨機(jī)游走噪聲、速率斜坡噪聲和量化噪聲等五項(xiàng)隨機(jī)噪聲誤差系數(shù)均下降一個(gè)數(shù)量級(jí)，采用的處理過(guò)程能夠有效地抑制FOCT輸出信號(hào)的隨機(jī)噪聲，濾除信號(hào)中無(wú)用信號(hào)，提高了電流測(cè)量精確度。鑒于FOCT頻響帶寬可以達(dá)到10 kHz，卡爾曼濾波處理過(guò)程中導(dǎo)致FOCT動(dòng)態(tài)響應(yīng)精確度降低和時(shí)間延遲的負(fù)面影響可忽略不計(jì)。

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(編輯：賈志超)

Kalman filter offiber optical current transducer′s stochastic noise based on time series model

LI Bo1,2， LIN Cong1,2， LIU Qing-chan1,2, ZHU Quan-cong1,2, WEI Guang-jin3

(1.Electric Power Research Institute of Yunnan Power Grid co.Ltd, Kunming 650217, China;2.Key Laboratory of Electric Power Measurement, China Southern Power Grid, Kunming 650217, China;3.School of Instrument Science and Engineering, Southeast University, Nanjing 210096,China)

Due to the effects on the devices like relay protection and power metering, created by stochastic error characteristic of fiber optic current transducer (FOCT), modeling online and filtering real-time can effectively improve measurement accuracy.At first, pretreating and inspecting statistically the FOCT data is essential to characterize the stochastic error of FOCT.Then, set order for the time series model by Akaike information criterion (AIC) rule and acquire model coefficients to establish ARMA(2,1) model.Next, test the applicability of the established model.Finally, Kalman filter is adopted to process the FOCT data.Simulation results of total variance demonstrate that stochastic error is obviously decreased after Kalman filtering based on ARMA(2,1) model.Besides, variance is reduced by two orders, and every coefficient of stochastic error is reduced by one order.The filter method based on time series model does reduce stochastic noise of FOCT, and increase measurement accuracy.

stochastic noise; measurement accuracy; AIC rule; ARMA model; Kalman filter

2016-04-18

南方電網(wǎng)科技項(xiàng)目(YNKJ0000124)；云南電網(wǎng)科技項(xiàng)目(HLZB20150738)

李 波(1982—)，男，碩士，高級(jí)工程師，研究方向?yàn)殡姎鉁y(cè)量、智能電網(wǎng)測(cè)控； 林 聰(1986—)，男，碩士，工程師，研究方向?yàn)殡娏τ?jì)量、智能電網(wǎng)測(cè)控； 劉清蟬(1983—)，男，碩士，工程師，研究方向?yàn)殡娔苡?jì)量、計(jì)量自動(dòng)化； 朱全聰(1987—)，男，碩士，工程師，研究方向?yàn)橹悄茏冸娬拘畔⒉杉㈦娔苡?jì)量測(cè)試； 魏廣進(jìn)(1991—)，男，碩士研究生，研究方向?yàn)楣饫w傳感器、儀器儀表測(cè)試。

李 波

10.15938/j.emc.2017.04.012

TM 452+.94

A

1007-449X(2017)04-0083-06