弧齒錐齒輪小輪粗切優化及驗證

蘇進展，方宗德

弧齒錐齒輪小輪粗切優化及驗證

蘇進展1，方宗德2

(1.長安大學道路施工技術與裝備教育部重點實驗室，陜西西安，710064；2.西北工業大學機電學院，陜西西安，710072)

為了獲得較為均勻的小輪精切余量，提出弧齒錐齒輪小輪粗切參數優化的方法。根據輪坯的中點檢查尺寸對小輪兩側精切齒面進行定位；預置精切余量并沿法向方向疊加，得到小輪粗切的目標齒面；建立小輪精切余量的最小二乘法優化模型，采用基于置信域策略的列文伯格?馬夸爾特法迭代算法，反求出小輪粗切參數，并對方案進行切齒驗證。研究結果表明：將垂直輪位、軸向輪位、床位和刀頂距作為粗切參數，能夠獲得比格里森粗切更加均勻的精切余量；采用大輪粗切刀盤對小輪進行粗切，則存在明顯的齒形角誤差。

弧齒錐齒輪；精切余量；粗切；優化

齒輪粗切是在輪坯上開出具有一定深度和厚度的齒槽，若粗切后齒槽兩側余量不均勻或者余量不夠，將嚴重地影響到齒輪精度、刀齒壽命和加工效率。大輪粗切是根據精切余量來調整粗切刀盤的刀頂距，而機床調整參數保持不變；小輪粗切要復雜得多，其原因是小輪精切的兩側齒面是采用單面刀盤在不同的機床調整下加工完成的，而小輪粗切要用雙面刀盤加工，在一次裝夾中加工出的齒槽是不可能給精切兩側留下相同的余量。目前，國內外學者對弧齒錐齒輪精切或磨齒的加工參數設計及其性能進行了大量的理論研究和試驗驗證[1?6]，而對粗切的研究較少。張金良等[7]提出了準雙曲面齒輪粗切方法。LI等[8]提出了螺旋錐齒輪粗切的優化模型，并采用復合形法求解粗切參數。美國Gleason公司推導出一套粗切調整卡，但計算公式繁多、不易掌握，且有些粗切調整卡不全或保密[9]。在實際生產中，采用近似粗切容易出現精切余量不均勻，甚至發生刀齒與齒面干涉的現象[10]。另外，上述方法對粗切刀盤的規格有嚴格的限制，而對于大多數中小型錐齒輪生產企業而言，需要利用現有粗切刀盤進行粗加工，并且保證兩側余量盡量均勻。本文作者首先獲得小輪精切齒面上離散網格點的齒面坐標，通過中點檢查尺寸對兩側的精切齒面進行定位；預置小輪精切余量，并沿著網格點的法向方向疊加，獲得小輪粗切的目標齒面；建立小輪精切余量的最小二乘法優化模型，采用基于置信域策略的Levenberg?Marquardt優化算法，反求粗切參數；然后比較了格里森粗切、指定刀頂距和優化刀頂距3種粗切方案的精切余量；探討了采用大輪粗切刀盤對小輪進行粗切的可行性；最后，對采用大輪粗切刀盤且優化刀頂距的粗切方案進行了切齒驗證。

1 小輪精切齒面定位

已知小輪的精切參數，根據坐標變換和嚙合方程，推導出小輪精切齒面Σf的表達式為

式中：uf和θf為小輪切削錐面的坐標參數；φf為加工轉角；r1f和n1f分別為小輪齒面的位矢和法矢；f1f為精切的嚙合方程。

在小輪旋轉投影面上取5行×9列共45個網格點，位置參數為(Ri，Li)(i=1,2,…,45)，如圖1所示。

圖1 小輪旋轉投影面Fig.1 Rotating Projection plane of pinion

通過求解非線性方程組(2)，獲得小輪精切齒面的齒面坐標。式中：x1f，y1f和z1f分別為小輪位矢r1f的3個坐標分量；Γ為節錐角。

小輪采用單面法加工，兩側齒面的精切參數不同，則凹、凸齒面不能構成完整的輪齒，需對某個齒面進行旋轉，以獲得正確的齒形。小輪中點檢查尺寸，包括中點弦齒高hm1和中點弦齒厚sn1；測量時，凹、凸面與量具接觸點的位置分別為Ov(Rv，Lv)，Ox(Rx，Lx)。圖2所示為中點檢查尺寸在節平面和旋轉投影面的表示，則凹面接觸點Ov到齒頂線的距離dv等于中點弦齒高hm1，即

圖2 中點檢查尺寸Fig.2 Tooth sizesatm iddle of face

式中：Ai和Ao分別為小輪的內錐距和外錐距；hai和hao分別為小輪的小端齒頂高和大端齒頂高。

在節平面的ΔOpOmOv中，滿足余弦定理

式中：β為小輪的中點螺旋角，Am為小輪中點錐距。聯立式(3)和(4)，求出Ov的位置參數Rv和Lv，再結合式(1)和(2)，即可獲得Ov的齒面坐標(xv，yv，zv)。

同理，將式(4)中β用π/2+β代替，求出凸面接觸點Ox的齒面坐標(xx，yx，zx)。按照小輪中點弦齒厚的定義，有則旋轉定位角θx應滿足如下關系

本文以小輪凸面為基準，將小輪凹面旋轉 θx后實現小輪精切齒面的定位。

2 小輪粗切目標齒面

通過式(2)求解出小輪精切凸面上45個網格點的位矢xip和法矢xin，預置小輪單面精切余量δ，則小輪凸面的粗切目標齒面*xΣ的位矢為

式中： pvi和 nvi分別為小輪的精切凹面經旋轉θx定位后得到45個網格點的位矢和法矢。記小輪粗切的目標齒面的離散點矢量表示為

3 小輪粗切參數反求

小輪粗切是雙面法開槽，不涉及齒面定位的問題。小輪的粗切齒面Σr表示為

式中：ur和θr為小輪粗切切削錐面的坐標參數；φr為粗切加工轉角；fr為粗切的嚙合方程。小輪粗切齒面Σr的單位法矢為

式中： r1,ur和r1,θr分別為小輪粗切齒面對坐標參數的偏導。網格點的位矢為pk，其對坐標參數的偏導記為 pi,ur和pi,θr。由式(9)得到的小輪凹、凸面組成了一個齒槽，而式(8)得到的是一個輪齒；將粗切齒槽的凸面固定，凹面旋轉2π/z1得到粗切后的輪齒，z1為小輪齒數。另外，小輪的粗切輪齒面Σr與粗切目標齒面Σ*可能相距較遠，需將粗切齒面Σr旋轉θr角度后，使粗切齒面和目標齒面盡量靠近，以便小輪精切余量的計算，旋轉角θr是通過式(11)確定，最終得到粗切齒面。

即小輪粗切輪齒面Σr與小輪粗切目標齒面Σ*上對應離散點的距離平方和最小，從而求得θr。

定義小輪的目標齒面Σ*與粗切齒面Σ′r對應離散點的偏差：

式中：k=1,2,···,90；hk表示第k個網格點的齒面偏差；h為所有網格點的齒面偏差矢量?？紤]到pk對坐標參數的偏導均位于小輪粗切齒面的切平面內，則有下列方程組成立

齒面偏差向量h可表示為

以小輪粗切的刀盤參數和機床調整參數及旋轉角作為優化變量，小輪粗切齒面Σ′r與目標齒面Σ*的殘余偏差平方和最小為目標函數，建立最小二乘優化模型

采用基于置信域策略的Levenberg?Marquardt迭代算法求解式(15)，詳細算法可參考相關文獻[11?15]。在本文中，以小輪凹面的精切參數為初值，給定優化變量的區間，進行迭代反求。

4 算例

4.1 結果比較

以變性法弧齒錐齒輪小輪為例，預置小輪的單面精切余量為0.2mm。表1所示為小輪基本參數，其中，弦齒高和弦齒厚均在中點測量；表2所示為小輪的精切切齒參數，包括刀盤參數和機床調整參數，表3所示為小輪的3種粗切參數及中點檢查尺寸，其中方案1為格里森粗切參數，方案2為采用Gleason刀盤參數而機床調整參數是采用本文方法得到的，方案3是在方案2的基礎上將刀頂距作為優化變量得到的粗切參數。圖3所示為3種粗切方案對應的精切余量圖。

從圖3可知：方案1的精切余量較大，這是由于Gleason粗切的徑向刀、角向刀位都與大輪的精切參數相同，且垂直輪位和軸向輪位與大輪的精切參數相同且都為0造成。而本文將這些參數進行優化，因此方案2和方案3的精切余量小且均勻，算例中方案1精切余量的均方根為0.033 9mm，方案2精切余量的均方根為0.018 7 mm，方案3精切余量的均方根為0.017 1mm。從表3可見：優化刀頂距的中點全齒高比Gleason和指定刀頂距大，這是由于Gleason粗切刀頂距是由外端槽寬減去精切余量，該方法較為近似。而本文的優化刀頂距能夠使精切余量更均勻、弦齒厚更小、中點全齒高更大，這可減小后續精加工的進給量。

表1 小輪輪坯參數Table1 Tooth blank of pinion

表2 小輪精切參數Table2 Machine-tool settings of finishing pinion

表3 小輪粗切參數及中點檢查尺寸Table3 Roughing parameters of pinion and tooth sizesat middle of face

圖3 3種粗切方案的精切余量(單位：μm)Fig.3 Finishing allowance of three cases

弧齒錐齒輪傳統的5刀法中，分別有大輪粗切刀盤和小輪粗切刀盤，而在實際生產中，特別是中小型錐齒輪企業，為了減少刀盤規格直接用大輪粗切刀盤對小輪開槽。一般而言，大、小輪粗切刀盤的齒形角不同，通過調整大輪粗切刀盤的刀頂距和機床調整參數進行一定的補償。表4所示為采用大輪粗切刀盤的小輪粗切切齒參數及檢查尺寸，方案4為直接采用大輪粗切刀盤，方案5為優化大輪粗切刀盤的刀頂距，圖4所示為兩粗切方案對應的精切余量圖。

從表3和圖4可知：采用大輪刀盤粗切的中點全齒高較??；圖4中，指定刀頂距的精切余量的均方根為0.022 7mm，而優化刀頂距的精切余量的均方根為0.019 7mm，兩者均存在明顯的齒形角誤差。

4.2 齒輪試切

小輪粗切、精銑切齒是在YKT2250螺旋錐齒輪銑齒機上進行的。小輪粗切方案是采用大輪粗切刀盤和優化刀頂距。粗切時分2次進給，床位分別為0.300 0mm和0.154 6mm，其余參數按表4中的方案5取值，完成粗切開槽，如圖5(a)所示。小輪精切時分3次進給，凹面床位分別為1.300 0mm，1.100 0mm和0.899 9mm，凸面床位分別為0.100 0mm，-0.300 0mm和-0.497 6mm，其余參數按表2設置，最終完成小輪精銑，如圖5(b)所示。最后，對小輪的中點檢查尺寸進行測量，中點測量結果：弦齒高3.99mm，弦齒厚6.368mm，全齒高6.235mm，與計算結果基本吻合。

表4 小輪2種粗切參數及中點檢查尺寸Table4 Two sets roughing parameters of pinion and tooth sizesatm iddle of face

圖4 大輪粗切刀盤的精切余量(單位：μm)Fig.4 Finishing allow ancew ith gear head-cutter

圖5 小輪粗精加工Fig.5 Roughing and finishing of pinion

5 結論

1)建立了弧齒錐齒輪小輪精切余量的最小二乘法優化模型，采用基于置信域策略的L-M迭代算法，反求出小輪粗切參數。

2)將垂直輪位、軸向輪位和床位作為粗切參數，能夠獲得比Gleason粗切方法更均勻的精切余量。

3)優化刀頂距能夠取得較好的粗切效果；若采用大輪粗切刀盤對小輪粗切，則會產形明顯的齒形角誤差。

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(編輯 趙俊)

Op tim ization and validation of pinion roughing for spiralbevelgears

SU Jinzhan1,FANGZongde2

(1.Key Laboratory of Road Construction Technology and Equipment,M inistry of Education, Chang’an University,Xi’an 710064,China; 2.SchoolofMechanical Engineering,Northwestern PolytechnicalUniversity,Xi’an 710072,China)

In order to obtain amore uniform finishing allowance,an optimalmethod for roughing pinion of spiral bevel gearswas proposed.The location of both tooth flankswas determined by pinion tooth sizes at themiddle of face from gear blank;the objection of roughing surface was achieved according to add the preset finishing allowance to the theoretical finishing surface along the normal direction.The least squares optim izationmodel of the finishing allow ance was established,and the parameters of roughing pinion were solved by the Levenberg?Marquardt method w ith a trust-region strategy,and then an experiment of pinion cutting was conducted to valid the proposed method.The results show that amore uniform finishing allow ance can be obtained by the optimalmethod,com pared w ith Gleason’s rough settings,where themachine settings ofwork offset,machine center to back sliding base and pointw idth are taken as the optimization parameters,and thereexists the profile errorof finishing allowance due to the use of roughing head-cutter of wheelgear directly.

spiralbevelgear;finishing allowance;roughing;optimization

TH132

A

1672?7207(2017)03?0644?06

10.11817/j.issn.1672-7207.2017.03.012

2016?03?07；

2016?05?12

國家自然科學基金資助項目(51205310，51375384)；陜西省自然科學基金資助項目(2015JQ5162)；中央高?；究蒲袠I務費專項資金資助項目(310825171003)(Projects(51205310,51375384)supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(2015JQ5162)supported by the Natural Science Foundation of Shannxi Province;Project(310825171003)supported by the Fundamental Research Funds for the CentralUniversities)

蘇進展，博士，副教授，從事齒輪傳動技術研究；E-mail:sujinzhan@chd.edu.cn