機械系統開關類元件的混合鍵合圖建模

胡均平，李科軍

機械系統開關類元件的混合鍵合圖建模

胡均平，李科軍

(中南大學機電工程學院，湖南長沙，410083)

針對鍵合圖難以表達機械系統開關類元件的非線性動力學問題，以常見的干摩擦、間隙接觸碰撞副和單向不可逆傳動為研究對象，通過分析其作用機理，引入開關類量的混合鍵合圖建模方法，運用功率結型結構(簡稱SPG)概念，提出一種新的開關類元件鍵合圖建模方法和鍵合圖模型。以包含干摩擦、間隙接觸碰撞副和單向不可逆傳動的機械系統為例，根據開關類元件的鍵合圖模型，結合機械傳動的工作原理，建立整個系統的鍵合圖模型，提取其狀態方程，并通過仿真計算予以驗證。研究結果表明：該模型不僅可以統一表達開關類元件在系統不同工作模式下的動力學特性，而且其因果關系在系統處于任何運動狀態時均保持不變；仿真結果驗證了建模方法正確、可行。

機械系統；開關類元件；混合鍵合圖；功率結型結構；因果關系

20世紀60年代初，PAYNTER提出鍵合圖建模理論[1]。與其他動力學建模方法相比，該建模理論具有以下顯著特點：可統一處理機、電、液等多能域并存的系統；用簡明的圖形符號描述系統的能量結構；以規則化的方式推導出系統狀態方程，便于計算機自動建模。由于鍵合圖建模的多能域特性以及上述優點，使得鍵合圖在復雜機電系統[2?3]、化學[4]、故障檢測[5?6]、核能系統[7]、熱力學[8?9]等多個領域得到應用。目前，制約鍵合圖理論發展的主要問題有：快速求解多維非線性微分方程全局數值解的計算方法；大變形柔性桿件、開關類元件和移動鉸等基礎單元的精準建模。開關類元件廣泛存在于機電液等系統中，如離合器、電氣開關、單向閥等。當這些元件的工作狀態發生變化時，系統就會從一個工作狀態過渡到另外一個工作狀態，從而造成系統的非連續性工作過程。因此，構建開關類元件的模塊化鍵合圖模型,對于建立系統全局耦合動力學模型、深入了解系統動態性能具有重要的理論意義和工程價值。國外學者在非連續系統的鍵合圖建模方面進行了大量工作，其中一種比較流行的方法是在鍵合圖中引入邏輯變量控制相關鍵合圖元件，達到模擬開關效應的目的，并把對應的鍵合圖稱為混合鍵合圖。KARNOPP等[1]利用可調轉換器MTF模數的變化來描述系統中的離散行為，然而，這種方法在開關斷開時，系統很可能產生錯誤的流變量。BORUTZKY[10]提出R元件與MTF元件相結合的方法，但該元件的引入改變了系統物理結構，而且元件本身的阻性容易導致非理想的開關效應。RICHARD等[11]構造了新型鍵合圖元件Sw來描述開關類元件的狀態轉換，該方法的困難在于其因果關系隨著系統工作狀態的變化而改變。為克服現有方法的不足，解決機械系統中典型開關類元件的鍵合圖建模問題，本文作者運用功率結型結構概念(簡稱SPG)，推導并建立干摩擦、間隙接觸碰撞副和單向不可逆傳動的通用鍵合圖模型。

1 功率結型結構

功率結型結構[12](簡稱SPG)是在基本結型元件1結和0結的基礎上，增加了2個相互排斥的流通口和勢通口，用fi(i=1,…,4)表示各鍵上的流變量，ei(i=1,…,4)表示各鍵上的勢變量，并用u1和u2表示1對布爾變量，則功率結型結構的因果關系如圖1所示。

圖1(a)中，1s結連接了2個流結，并且由1對布爾變量控制。變量u1與鍵1相連，變量u2與鍵2相連，系統的信號鍵決定了與布爾變量相連的鍵是否生效。具體工作過程為：當u1為1時，鍵1生效，f1為1s結的唯一流輸入；當u2為1時，鍵2生效，f2為1s結的唯一流輸入。因此，1s結上的流為，通過

圖1 1s和0s結因果示意圖Fig.1 Schematic diagram sof causality of 1sjunction and 0sjunction

1s結的各勢變量(e1,e2,e3)之和為0，組成關系式如下：

類似地，圖1(b)中，0s結上有2個勢輸入，0s結上的勢為u1e1+ u2e2。通過0s結的各流變量(f1,f2,f3)之和為0，組成關系式如下：

根據需要，運用布爾算法，可以有u1，u2，…，un等n個變量推導出1s結和0s結上的組成關系式。

2 機械系統開關類元件的混合鍵合圖建模

干摩擦、間隙接觸碰撞副及單向不可逆傳動普遍存在于機械系統中，并對系統的動力學響應、載荷傳遞、運動精度及控制穩定性等有重要影響[13?14]。因此，建立這些基礎單元的通用鍵合圖模型，對于搭建復雜機電系統鍵合圖模型、進行系統動態性能優化具有重要的理論意義和應用價值。

2.1 干摩擦鍵合圖建模

目前有多種摩擦模型和計算方法，最主要的4種摩擦模型為Bristle摩擦模型、Dahl摩擦模型、LuGre摩擦模型和Leuven摩擦模型。為計算簡單，以靜態摩擦模型為研究對象，而庫侖摩擦模型是其中最簡單的靜態摩擦模型[15]。庫侖模型中摩擦力Fslip與接觸面積無關，與物體上的正壓力成正比，與相對滑動的方向相反，但與相對滑動的速度無關，其計算公式為

式中：Fc為庫侖摩擦力；μ為摩擦因數；FN為物體上的正壓力；sgn(x˙)為符號函數；x˙= x˙a- x˙b，為相對滑動速度。

庫侖模型只描述了動摩擦力，沒有考慮最大靜摩擦力與動摩擦力的差值。當2個物體相對靜止(相對滑動速度為0)，最大靜摩擦力Fstick大于外力Fext時，摩擦力可用下式定義：

式(10)表明：當接觸面相對滑動速度為0m/s時，摩擦力取決于外力與最大摩擦力的關系；當作用力小于最大靜摩擦力時，摩擦力等于作用力；當作用力大于或等于最大靜摩擦力時，摩擦力為最大靜摩擦力。

圖2所示為庫侖摩擦和靜摩擦同時作用的摩擦模型，此時干摩擦有2種工作模式：stick模式和slip模式。通過接觸面相對滑動速度可以判斷干摩擦處于哪種工作模式。圖3所示為2個接觸滑塊組成的摩擦系統，運用前面介紹的SPG開關鍵合圖建模方法，建立圖4所示摩擦系統鍵合圖模型。圖4中：Fa，Ma和ax˙分別為滑塊A的作用外力、質量與運動速度；Fb，Mb和bx˙分別為滑塊B的作用外力、質量與運動速度；0s結上的調制阻性元件和可變勢源對應式(9)和式(10)中的干摩擦力計算值；布爾變量與摩擦力的2個工作狀態對應，在任一時刻有且僅有1個變量為1，其他變量為0。因此，0s(Fm)結的勢變量可統一表示為

圖2 庫侖摩擦和靜摩擦模型Fig.2 Model of Coulomb and static friction

圖3 2個滑塊摩擦系統Fig.3 Frictional system of two bodies in contact

圖4 摩擦系統鍵合圖模型Fig.4 Bond graphmodelof frictionalsystem

可見，摩擦系統有2個基本狀態：狀態1，0v≠ m/s，um1= 1，um2= 0，Fm= Fslip；狀態2，v=0m/s，um1= 0，um2= 1，Fm= Fstick。同時，可以根據實際工況對干摩擦鍵合圖模型進行修改，只需在0s(Fm)結上添加相應勢源和阻性元件，即可表達更復雜的摩擦模型。

2.2 間隙接觸碰撞副鍵合圖建模

間隙接觸碰撞副如圖5所示。

圖5 間隙接觸碰撞副Fig.5 Modelof twomechanical partswith backlash

如圖5(a)所示，物體1與物體2之間存在間隙，左右距離均為b，兩者通過接觸碰撞傳遞位移和力，其等價的力學模型[16]如圖5(b)所示。設2個物體的相對位移為x= x1- x2，則基于Hertz線性化模型的彈性力Fk表達式為

式中：k為Hertz線性化模型的彈性系數。

根據Herbert模型的定義，間隙接觸碰撞副黏滯阻尼c可表示為

由式(13)可得兩物體的黏滯阻力為

綜合式(11)和式(14)，可得2個物體之間的接觸力為

根據式(15)及鍵合圖建模規則，可得圖6所示的間隙接觸碰撞副的鍵合圖模型。圖6中：F1和1x˙分別為滑塊1的作用外力與運動速度；F2和2x˙分別為滑塊2的作用外力與運動速度。0s(Fj)結上的勢源及并聯的容性、阻性元件用來表示兩物體接觸、分離時作用力的變化規律，鍵上的布爾變量值由兩物體的相對位移決定。

圖6 間隙接觸碰撞副鍵合圖模型Fig.6 Bond graphmodelofmechanicalsystem with blacklash

0s(Fj)結的勢變量可統一表示為

從圖6可見間隙接觸碰撞副有3個基本狀態：狀態1，x≥b，uj1=1，uj2=0，uj3=0，容性元件Cj1起作用，Fj= k( x- b)+ cv；狀態2，?b＜x＜b，uj1=0，uj2=1，uj3=0，勢源Se:0起作用，Fj=0；狀態3，x≤ b，uj1=0， uj2=0，uj3=1，容性元件Cj3起作用，Fj= k( x+ b)+ cv。與干摩擦鍵合圖模型類似，可以根據間隙接觸碰撞模型的復雜程度，在0s(Fj)結上添加相應勢源和容性元件，以滿足實際模型的計算精度要求。

2.3 單向不可逆傳動鍵合圖建模

圖7所示為棘輪與螺桿副組成的傳動機構，該系統結合了棘輪機構單向傳動與螺桿副(具有自鎖功能)不可逆傳動的工作特點。具體傳動過程為：當棘爪插入棘輪順時針方向(圖中從左往右看)旋轉時，可推動棘輪轉動一定角度；當逆時針方向旋轉時，棘輪靜止不動。同時，棘輪與螺桿連接成一體，利用其順時針旋轉可以實現螺母沿x軸正向的直線運動，但該傳動是不可逆的，即在螺母上施加沿x軸方向的力，無論正、反方向均不能驅動螺桿旋轉。

圖7 棘輪與螺桿副傳動系統Fig.7 Ratchetwheeland nut-screw system

根據鍵合圖建模規則，構建圖8所示的單向不可逆傳動鍵合圖模型。圖8中：Ti，Js和rn分別為棘輪螺桿的輸入扭矩、等效轉動慣量及轉動阻尼系數；m為轉換器TF的模，即螺桿螺母的傳動比；ksn和rsn分別為螺桿副螺紋接觸處的剛度系數與阻尼系數；Fn，Mn和rn分別為螺母的作用外力、質量與平動阻尼系數；與1s(ωs)結相連鍵上的布爾變量值由輸入轉矩的旋轉方向決定；與1s(nx˙)結相連鍵上的布爾變量值由該結上的勢變量決定。

圖8 棘輪與螺桿副鍵合圖模型Fig.8 Bond graphmodelof ratchetw heeland nut-screw mechanism

0s(Ts)結的輸入轉矩可統一表示為

可見，棘輪輸入轉矩有2種基本狀態：狀態1，Ti為正(根據右手螺旋法則判定)，us1=1，us2=0，Ts=Ti；狀態2，Ti為負，us1=0，us2=1，Ts=0。

1s(ωn)結的速度可統一表示為

式中：F= Fsn- Fn；布爾變量的取值由F的傳遞方向決定，當F≥0時，力由螺桿傳遞到螺母；當F＜0時，力由螺母傳遞到螺桿。因此，螺桿副有2種基本狀態：狀態1，F≥0，un1=1，un2=0，ωn=PMs/ Ms，PMs為螺母的動量；狀態2，F＜0，un1=0，un2=0，ωn=0。

需要指出的是：在系統實際工作過程中，開關類元件的各個工作狀態不是都會出現，但式(11)，(16)～(18)統一表達了各開關類元件可能出現的所有運動狀態，且對應鍵合圖模型的因果關系在系統處于任何運動狀態時均保持不變。

3 含開關類元件的機械系統建模與仿真

以圖9所示的包含干摩擦、間隙接觸碰撞副及單向不可逆傳動的機械系統為例，驗證本文對開關類元件進行混合鍵合圖建模的有效性與可行性。給該系統輸入1個三角波周期函數形式的扭矩到棘爪以驅動棘輪，螺桿和棘輪相連將旋轉運動轉化為螺母的直線運動。螺母上固結的物體C與滑塊D存在一定間隙，所以，物體C只有運動一段距離與滑塊D接觸碰撞后，才能將力和位移傳遞到滑塊D，使之克服地面的摩擦力而滑動。

圖9 包含干摩擦、間隙接觸碰撞副及單向不可逆傳動的機械系統Fig.9 M echanical system w ith dry friction,back lash and unidirectional irreversiblemotion

3.1 機械系統建模

在建立機械系統的鍵合圖模型之前需作進行如下假設：1)采用集中參數處理質量、阻尼和剛度等；2)除了滑塊D處為干摩擦外，其余各處摩擦力計算均按黏性摩擦處理。根據前面建立的干摩擦、間隙接觸碰撞副、單向不可逆傳動的鍵合圖模型，結合機械傳動的工作原理，可得圖10所示的機械系統混合鍵合圖模型。圖10中：cM和cx˙分別為物體C(包括螺母)的等效質量與運動速度；dM和dx˙分別為滑塊D的質量與運動速度。

圖10 機械系統混合鍵合圖模型Fig.10 Hybrid bond graphmodel ofmechanical system

根據鍵合圖模型狀態方程生成規則[17?18]，可知棘輪螺桿的動力學平衡方程為

式中：Fsn= ksn( mθs- xc)+ rsn( mωs- x˙c)；θs為螺桿轉過的角度； Ts由式(17)確定。

螺桿的轉速為

螺母的動力學平衡方程為

式中：Fj由式(16)確定。

螺母的速度為

滑塊D的動力學平衡方程為

式中：Fm由式(11)確定。

滑塊D的速度為

3.2 仿真分析

為驗證開關類元件混合鍵合圖建模方法的正確性，運用Matlab軟件對圖9所示機械系統的狀態方程進行求解。系統仿真參數見表1。為計算簡單，接觸碰撞副的接觸剛度與阻尼系數均取常數，棘爪輸入扭矩曲線如圖11所示。采用四階Runge-Kutta算法進行數值計算，仿真時間設為8 s，得到部分仿真結果如圖12～15所示。

表1 機械系統仿真參數Table1 Simulation parametersofmechanical system

圖11 棘爪輸入扭矩與時間的關系Fig.11 Relationship between input torqueof paw land time

圖12 棘輪輸入扭矩與時間的關系Fig.12 Relationship between input torque of ratchetwheel and time

圖13 棘輪轉速與時間的關系Fig.13 Relationship between rotating speed of ratchetwheel and time

圖14 物體C與滑塊D的間隙距離與時間的關系Fig.14 Relationship betw een gap distance and time betw een body C and slider D

圖15 摩擦力與時間的關系Fig.15 Relationship between contact forceand time

對比圖11和圖12可知：由于棘輪的單向傳動特性，棘爪輸入扭矩的負值部分沒有傳遞到棘輪。從圖12和圖13可以看出：在4 s時，機械系統的輸入扭矩變為0，但棘輪螺桿本身的慣性將帶動系統進行一段時間的減速運動，在6.82 s時運動停止；螺母上一直作用800N的外力，方向沿x軸正向，但螺桿副的自鎖功能使得傳動具有不可逆性，在棘輪螺桿無扭矩輸入時，無論軸向力Fn多大，螺母都不會滑動。為進一步說明螺桿副的不可逆傳動特性，將螺桿傳動替換成齒條傳動，將同一軸向力作用在齒條上，系統其他參數不變。圖13表明：齒條傳動所在的機械系統中，棘輪輸出轉速始終不為0(零時刻不包括在內)，且整個運動過程中棘輪轉速都稍微高出螺桿傳動所在的機械系統的轉速，其原因是齒條傳動是雙向的，齒條上的軸向力可以作為系統的動力源。

從圖14可以看出：物體C與滑塊D最初的間隙為1mm；在1.4 s時，兩者發生接觸碰撞，但由于定義的接觸剛度很大，產生的彈性變形非常小，間隙距離接近于0mm；在1.40～6.82 s內，物體C與滑塊D始終保持接觸，但在6.82 s時，物體C停止向滑塊D傳遞力和位移，而滑塊D由于自身的慣性可以運動極短的一段時間，使得兩者又發生分離，但間隙距離仍然接近于0mm，其原因在于該時刻滑塊D的初速度很小，其所受庫侖摩擦力較大；在6.84 s時，滑塊D就停止運動。這從圖15的摩擦力變化曲線也可以觀察到。

從圖15可以看出：在0～1.4 s內，摩擦力一直為0N；1.4s時，物體C與滑塊D發生碰撞，摩擦力由0N突變至?70N(負號表示摩擦力的方向沿x軸負向)，接著又增至?50N，這與文中定義的干摩擦模型相符。其原因是物體C沒有將位移和力傳遞過來之前，滑塊D接觸面的相對滑動速度為0m/s，摩擦力由式(10)確定，最大靜摩擦力為?70N，而在物體C和滑塊D接觸的極短時間內，滑塊D克服最大靜摩擦力開始運動，此時摩擦力又由式(11)確定，對應的庫侖摩擦力為?50N；在6.82～6.84 s時，摩擦力又由?50N增至0N，其原因是物體C不再傳遞力和位移到滑塊D，而滑塊D在庫侖摩擦力的作用力下瞬間恢復到靜止狀態。

4 結論

1)引入開關類量的混合鍵合圖建模方法，運用功率結型結構概念，推導與建立了干摩擦、間隙接觸碰撞副和單向不可逆傳動的通用鍵合圖模型，并通過實際算例驗證了所建模型的有效性和可行性。

2)建立的鍵合圖模型不僅可以統一表達開關類元件在系統不同工作模式下的動力學特性，而且其因果關系在系統處于任何工作狀態時均保持不變，因而使得整個系統的狀態變量及維數不隨時間變化。

3)干摩擦等開關類元件是機械系統動力學建模的基礎單元，可將其鍵合圖模型以模塊化的形式嵌入系統的鍵合圖建模中，為多開關類元件并存的機械系統耦合動力學問題的研究提供了一種新的方法。

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(編輯 陳燦華)

Hybrid bond graphmodeling ofmechanicalsystem w ith sw itching elements

HU Junping,LIKejun

(School of Mechanicaland Electrical Engineering,Central South University,Changsha 410083,China)

Aim ing at themodeling problem of nonlinear dynam ics of mechanical system w ith sw itching elements using bond graph technology,the dry friction,back lash and one-w ay irreversible motion transm ission w ere chosen as the research object,theirmechanism was analyzed,the hybrid approach m ixing bond graph and the concept of sw itched power junctions(SPJ)were introduced,and the new bond graph model of ideal sw itches was proposed.Taking a mechanical system including all the nonlinear phenomena of interest for an examp le,according to the bond graph model of sw itching elementsmentioned before and combining the working princip le of mechanical transm ission,the efficiency of themodeling approach was illustrated.The results show that themodel can not only express uniform ly the system dynam ic characteristics in differentworkingmodes,butalso keep their causal relations unchanged when the system is in any state ofmotion.The simulation resultsw erify the correctnessand feasibility of themodel.

mechanical system;sw itching elements;hybrid bond graph;sw itched power junctions;causal relation

TH11

A

1672?7207(2017)03?0658?08

10.11817/j.issn.1672-7207.2017.03.014

2016?04?10；

2016?06?20

國家自然科學基金資助項目(51175518)；湖南省科技型中小企業技術創新基金立項項目(12C26214305029) (Project(51175518)supported by the National Natural Science Foundation of China;Project(12C26214305029)supported by the SME Technology Innovation Fund of Hunan Province)

李科軍，博士研究生，從事系統動力學的鍵合圖建模研究；E-mail:likejuncsu@126.com