強震作用下變截面超高橋墩豎向時滯分析的傳遞矩陣法

程麥理，李青寧，孫建鵬，尹俊紅，閆 磊

強震作用下變截面超高橋墩豎向時滯分析的傳遞矩陣法

程麥理，李青寧，孫建鵬，尹俊紅，閆 磊

(西安建筑科技大學土木工程學院，陜西西安，710055)

為探討變截面超高橋墩豎向時滯效應，根據經典梁理論，構造典型桿件單元狀態向量的傳遞關系，利用達朗貝爾原理，推導集中質量模型節點狀態向量的遞推公式，建立等效階形變截面單元的傳遞矩陣法。結合結構在時域內振動波動傳播的離散時間序列性，推導建立變截面單元狀態向量在離散時間序列的傳遞關系，提出研究變截面超高橋墩豎向時滯效應分析的傳遞矩陣法。研究結果表明：采用傳遞矩陣法計算的變截面超高扁橋墩地震響應結果與有限差分法計算結果基本吻合；對比橋墩中點及橋墩頂節的起振時刻，得到該兩點振動時滯為0.07 s，表明傳遞矩陣法能夠有效計算分析變截面超高橋墩在強震作用下的豎向時滯。傳遞矩陣法計算結果正確、算法可行，可用于指導變截面超高橋墩結構的動力分析和設計。

強震作用；變截面單元；狀態向量；傳遞矩陣法；離散時間序列；時滯效應

由于變截面構件在根部能夠承受較大彎矩荷載，且使得建筑跨度和高度有大幅度提升，因而在工程建設中得到廣泛應用，如：高聳的煙囪、水平長懸臂結構和超高橋墩等。在強震作用下結構的動力反應是一種波動[1]，這主要是因為動載作用處產生的振動不能立刻影響到其他部位，結構的振動傳播需要一定時間，對于高柔的懸臂結構往往表現的更加明顯。在地勢起伏較大的山區，為了交通運輸方便，需建立存在較大墩高差的橋梁。當對該類橋梁進行地震動分析時，由于橋墩高度差異引起橋梁主梁接收的振動激勵在時域內不一致，這將導致主梁結構動力反應的空間化和橋梁結構整體振動模式的復雜化，給橋梁結構的地震響應分析帶來困難。為研究變截面超高橋墩地震動響應的時滯效應，通過建立階形變截面單元，結合離散時間序列的傳遞矩陣法對超高橋墩進行動力響應分析，探討變截面超高橋墩的豎向時滯效應。對于變截面桿件，張元海等[2]對變截面桿件振動時的應力計算及應力分布規律進行了研究；侯祥林等[3]探討了變截面受壓桿的承壓臨界荷載問題。為探討建筑結構豎向波動時延性，文獻[4?6]基于波動振動理論，對建筑結構進行了波動振動研究，并定量的分析了地震波動激勵對結構振動的損傷，由于其采用的方法多是僅考慮一維地震波作用下結構剪切變形的損傷，這與實際結構空間波動振動有較大差別，因而該理論的應用范圍很受限制。李東升等[7]針對高聳結構研究了地震荷載的豎向延遲性。劉鐵林等[8?9]根據桿件位移和內力協調關系，建立了結構分析的被研究塊體法，探討了框架高聳結構的波動特性。結構動力分析中常用的數值積分方法能夠較好地考慮時間增量和結構波動振動傳播的相關性，結合結構構件的空間性，提出離散時間序列的傳遞矩陣法對結構進行波動傳播分析。對于傳遞矩陣算法，孫建鵬等[10?11]將傳遞矩陣法與指數矩陣精細積分法結合，建立精細傳遞矩陣法研究了頻域內結構的地震反應問題和壓彎桿件的屈曲計算。韋成龍等[12]利用傳遞矩陣法對變截面連續箱梁橋的剪力滯及剪切變形效應進行了研究。芮筱亭等[13?14]根據艦炮系統的工作原理和機構運動規律，創立線性多體系統傳遞矩陣法及離散時間傳遞矩陣法，取得重大研究成果。本文作者根據經典梁理論及變截面構件變形協調特征，建立了變截面單元。引入質心偏移概念，解決了由于截面變化導致的質心與桿件單元幾何中心不重合問題。根據結構在動力分析中結構的時間和空間序列性，建立了變截面單元動力響應分析的空間傳遞矩陣計算方法。根據結構時程分析計算方法，給出變截面單元動力分析傳遞矩陣法的計算流程圖。通過研制變截面單元波動分析傳遞矩陣法的Matlab程序，對某超高變截面扁橋墩進行時程分析，探究了變截面超高扁橋墩結構振動的時滯性，并將計算結果與有限差分法計算結果對比。

1 變截面單元傳遞矩陣建立

根據經典梁理論，考慮構件截面尺寸變化對桿件特性的影響，計入桿件質量對結構動力響應的貢獻，引入質量偏心概念。將變截面桿件做離散化分析，通過對桿件上下段的桿件等效特性計算，建立動力分析的變截面單元，計算簡圖如圖1所示。圖中：hl和hp分別為單元在i～i+1和i+1～i+2段的長度；Il和Ip分別為單元在i～i+1和i+1～i+2段的等效慣性矩；Al和Ap分別為單元在i～i+1和i+1～i+2段的等效面積；mi+1為單元的總質量。

圖1 變截面桿單元Fig.1 Variable cross-section barelement

為便于分析截面尺寸變化對桿件特性影響，將單元的總質量放置于單元的質心處。由于單元截面變化使得質心位置與單元幾何中心偏移，質心距單元i節點距離為hl，距i+2節點距離為hp，質心處節點編號為i+1。為便于處理，將該典型單元分為3個部件，即上部桿件、中部質點和下部桿件。

1.1 桿件狀態向量遞推關系

圖2所示為梁單元桿端力與位移的分析簡圖。根據經典梁理論[15]，建立桿端力與位移的關系表達式：

式中：Il為桿件等效抗彎慣性矩；hl為桿件長度；，為桿件的剪切修正系數，E和G分別為桿件材料的彈性模量和剪切模量，k′為截面形狀系數，Al為截面等效面積；N為桿件軸力，Nl=Ni；V和M分別為桿件端部的剪力和彎矩；w，u和θ分別為桿件的軸向位移、橫向位移和截面轉角；下角標i和i+1分別為桿件上下端的編號。令

圖2 桿件內力和變形分析Fig.2 Member forcesand deformation analysis

考慮桿件彎曲變形和剪切變形，距桿件i端z處的橫向位移公式為

根據式(1)～(5)，推導給出桿件位移、內力的迭代表達式為：

結合式(6)～(11)，桿件內力和桿端位移可表示為矩陣形式

式中：Q=(w, u,θ, N, V, M,1)-1為桿件狀態向量；Ci

i i為桿件狀態向量由i端到i+1端的的場傳遞矩陣，各元素可根據式(6)～(11)推導得到，

1.2 集中質量點動平衡分析

結構的振動是結構慣性力與外荷載相互作用的外在表現。根據d’Alembert原理[16]對結構質點模型進行動力平衡分析，圖3所示為質點動力分析簡圖。

對變截面單元結構進行動力分析時應考慮結構質量慣性力的作用。根據節點i+1處位移連續、動力平衡條件，得以下關系式

圖3 質點動力分析Fig.3 Dynam ic analysisof particle

式中：角標r和d分別表示質量節點上部和下部。

表達式(13)～(18)可用矩陣表示為

1.3 變截面單元傳遞矩陣

圖4所示為變截面單元分析簡圖。根據桿件場傳遞場矩陣和質量集中處的點傳遞矩陣可知，對于整個變截面單元，桿件狀態向量的傳遞矩陣可表示為

圖4 變截面單元分析簡圖Fig.4 Analysisprogram of variable cross-section element

式中：iF為變截面單元總傳遞矩陣。

在工程實踐中，變截面橋墩主要承受彎曲和剪切作用，軸力對桿件變形的影響較小，可不予考慮。當略去桿件軸力影響，根據式(2)～(4)桿件內力與桿端位移的關系，桿件點傳遞矩陣為

場傳遞矩陣為

根據變截面單元的組成，單元i+1～i+2段的剪切修正系數為pα，高度為hp，抗彎慣性矩Ip，結合場傳遞矩陣和點傳遞矩陣，建立總傳遞矩陣

根據矩陣運算規則，推導單元總傳遞矩陣Fi各元素，

2 離散時間序列的參量傳遞

對桿件進行動力分析時，引入時間參量。取時間積分步長為tΔ，對用速度、加速度表示的i+1節點處的位移進行泰勒級數展開，并對其截斷可表示為

對式(22)中i+1節點的位移對時間微分得到恒定速度

由式(22)變換給出變截面單元總傳遞矩陣Fi的參量元素1iu+˙的表達式

根據圖4右側j系列編號，變截面單元整體傳遞關系可用傳遞矩陣表示為

式中，單元傳遞矩陣Fj可通過式(21)求得。式(25)即為變截面單元動力分析時單元狀態向量的傳遞矩陣計算公式。

3 邊界條件

邊界條件是結構求解的基礎。在離散時間序列中，結構波動振動進行求解時，既定的邊界與時間序列無關，即不隨時間變化。在利用傳遞矩陣法求解結構狀態向量各參量時，其實質是對含邊界條件方程組的求解。用u表示已知位移荷載。

懸臂結構桿件，邊界條件為

當一端固定，另一端鉸支時，邊界條件為

當兩端鉸支桿件時，邊界條件為

當兩端固定時，邊界條件為

4 結構動力計算流程

本文建立的變截面單元傳遞矩陣算法考慮了結構動力特性，通過引入質量中心偏移的位置，使得在計算中需要對質量中心點的位移、速度和加速度求解，從而保證單元計算的可靠性和正確性。由于結構波動分析存在時間和空間的序列性，因而結構的動力響應分析能夠依據傳遞算法完成。

根據本文理論，將變截面單元的傳遞計算方法整理，建立圖5所示的計算流程圖。

圖5 動力計算流程圖Fig.5 Flow chartof dynam ic calculation

5 算例

某單向變截面超高鋼筋混凝土扁橋墩，采用C50混凝土，密度2 500 kg/m3，墩高100m，截面形狀為矩形，截面尺寸按線性變化，橋墩每隔20m設置厚為1.5m的橫隔板。圖6所示為結構橫截面尺寸。在該變截面超高橋墩底部輸入圖7所示的強震位移荷載，分析該結構動力響應的豎向時滯效應。

圖6 變截面橋墩橫截面尺寸Fig.6 Size of variable cross-section pier

圖7 動位移荷載時程曲線Fig.7 Dynam ic disp lacement load time history curve

根據結構特性，結合本文方法，編制變截面單元波動分析傳遞矩陣法的Matlab計算程序。為校驗本文方法的正確性，同時利用有限差分法對該結構進行地震響應分析。圖8所示為利用本文方法和有限差分法計算得到的距墩底x=50m和x=100m處結構的位移響應時程曲線。

圖8 橋墩動力位移響應Fig.8 Dynam ic displacement responseof pier

由圖8可知：本文方法計算結果與有限差分法計算結果吻合較好，僅有細微差異。計算結果表明本文方法正確，如對時間和結構離散的足夠小，本文方法為精確解。對比圖8(a)和圖8(b)可知：x=50m處結構起振時刻為t=0.08 s，而x=100m處結構的起振時刻為t=0.15 s，此外對比結構峰值位移出現時刻均能表明結構超高橋墩的振動傳遞具有時間滯后性。

6 結論

1)根據經典梁理論，將變截面桿件等效為階形變截面桿單元。通過分析階形變截面單元上、下段及質量集中點處狀態向量的傳遞關系，建立了變截面單元的傳遞矩陣算法。結合結構時程分析的時間序列性，推導了狀態向量在離散時間序列的傳遞矩陣，得到變截面單元波動分析的傳遞矩陣法。

2)利用本文方法能夠對變截面高橋墩進行豎向時滯效應計算，通過與有限差分法計算結果進行對比，表明本文方法正確。由于本文方法計算中利用了矩陣計算，易于編程，可應用于工程實踐。

[1]廖振鵬.工程波動理論導論[M].2版.北京:科學出版社, 2002:3.

LIAO Zhenpeng.Introduction to engineering wave theory[M]. 2nd ed.Beijing:Science Press,2002:3.

[2]張元海,李喬.變截面梁的應力計算及其分布規律研究[J].工程力學,2007,24(3):78?82.

ZHANG Yuanhai,LI Qiao.Stress calculation and stress distribution analysis of non-uniform beams[J].Engineering Mechanics,2007,24(3):78?82.

[3]侯祥林,盧宏峰,范煒,等.變截面承壓桿的臨界載荷的優化算法研究與應用[J].工程力學,2013,30(增刊):6?10.

HOU Xianglin,LU Hongfeng,FAN Wei,et al.Optimization algorithm and application of critical load for variable cross-section compression bar[J].Engineering Mechanics,2013, 30(Suppl):6?10.

[4]TODOROVSKA M I,TRIFUNAC M D.Earthquake damage detection in the Imperial County Services Building III:Analysis of wave travel times via impulse response functions[J].Soil Dynam icsand Earthquake Engineering,2008,28:387?404.

[5]ZHANG R R,SNIEDER R,GARGABA L,et al.M odeling of seismic wave motion in high-rise buildings[J].Probabilistic Engineering Mechanics,2011,26:520?527.

[6]GICEV V,TRIFUNAC M D.Energy and power of nonlinear waves in a seven-story reinforced concrete building[J].Journal of Earthquake Technology,2007,44(1):305?323.

[7]李東升,賈輝,李宏男,等.論高聳結構地震動響應的時延性[J].建筑結構,2010,40(增刊2):119?123.

LIDongsheng,JIA Hui,LI Hongnan,et al.Discussion on the time delay of earthquake excitation in high-rise building[J]. Building Structure,2010,40(Suppl2):119?123.

[8]劉鐵林,姜迎春,陳文博.結構地震響應分析的波動方法[J].工程力學,2012,29(增刊):43?56.

LIU Tielin,JIANG Yingchun,CHENWenbo.Wave propagation method for seismic response analyses of structures[J]. Engineering Mechanics,2012,29(Sup):43?56.

[9]姜迎春.結構地震響應波動分析的被研究塊體方法[D].大連:大連理工大學土木工程學院,2013:14?24.

JIANG Yingchun.Investigated lump method for wave propagation analysis of earthquake response of structure[D]. Dalian:Dalian University of Technology.School of Civil Engineering,2013:14?24.

[10]孫建鵬,李青寧.壓桿彈性屈曲分析的精細傳遞矩陣法[J].工程力學,2011,28(7):26?29.

SUN Jianpeng,LIQingning.Precise transfermatrix method for elastic-bucking[J].Engineering M echanics,2011,28(7):26?29.

[11]孫建鵬,李青寧.大跨橋梁地震反應的頻域精細傳遞矩陣法[J].工程力學,2010,27(12):8?13.

SUN Jianpeng,LIQingning.Precise transfermatrix method for seismic response analysis of the long-span bridges in frequency domain[J].Engineering Mechanics,2010,27(12):8?13.

[12]韋成龍,李斌,曾慶元.變截面連續箱梁橋剪力滯及剪切變形雙重效應分析的傳遞矩陣法[J].工程力學,2008,25(9): 111?117.

WEI Chenglong,LI Bin,ZENG Qingyuan.Transfer matrix method considering both shear lag and shear deformation effects in non-uniform continuous box girder[J].Engineering M echanics, 2008,25(9):111?117.

[13]芮筱亭,贠來峰,陸毓琪,等.多體系統傳遞矩陣法及其應用[M].北京:科學出版社,2008:1?13.

RUI Xiaoting,YUN Laifeng,LU Yuqi,et al.Transfer matrix method of multibody system and its application[M].Beijing: Science Press,2008:1?13.

[14]楊海根,芮筱亭,劉怡昕,等.多體系統傳遞矩陣法分布式并行計算研究[J].振動工程學報,2014,27(1):9?16.

YANG Haigen,RUI Xiaoting,LIU Yixin,et al.Study on distributed parallel computing of transfer matrix method for multi-body systems[J].Journal of Vibration Engineering,2014, 27(1):9?16.

[15]邱吉寶,向樹紅,張正平.計算結構動力學[M].北京:中國科學技術大學出版社,2009:166?168.

QIU Jibao,XIANG Shuhong,ZHANG Zhengping.Structural dynamics compute[M].Beijing:University of Science and Technology of China Press,2009:166?168.

[16]克拉夫RW,PENZIEN J.結構動力學[M].王光遠,譯.北京:高等教育出版社,2006:3?5.

CLOUGH R W,PENZIEN J.Dynamics of structures[M]. WANG Guangyuan,trans.Beijing:Higher Education Press, 2006:3?5.

(編輯 趙俊)

Vertical tim e lag effectanalysisof variable cross-section high piers under strong earthquakeexcitation

CHENGMaili,LIQingning,SUN Jianpeng,YIN Junhong,YAN Lei

(Schoolof Civil Engineering,Xi'an University of Architecture and Technology,X i’an 710055,China)

In order to investigate vertical time-lag effect on variable cross-section high bridge pier,typicalmember unit state vector’s transitive relation was constructed according to classical beam theory.According to d’Alembert’s principle, node state vector’s recurrence formula of the lumpedmassmodelwas derived.Equivalent stepped variable cross-section unit’s transfer matrix method is proposed.Considering structure seism ic propagation’s discrete time sequence in time domain,variable cross-section unit state vector’s transitive relation in discrete time sequence was constructed.Transfer matrixmethod to investigate vertical time-lag effect on variable cross-section high bridge pierwas proposed.The results show that seism ic response of variable cross-section high p lat bridge pier calculated by the transfer matrix method is closely related to the finite differencemethod;comparing vibration beginning time ofm iddle position of the pier and top position of the pier,time lag is calculated to be 0.07 s,and the transfermatrixmethod isverified to be useful in analyzing vertical time-lag effecton variable cross-section high bridge pier in strong earthquake.Calculated results by the transfer matrixmethod are correctand thismethod is viable.

strong earthquake excitation;variable cross-section element;state vector;transfermatrix method;discrete timeseries;time-lag effect

TU997

A

1672?7207(2017)03?0787?07

10.11817/j.issn.1672-7207.2017.03.029

2016?04?07；

2016?06?10

國家自然科學基金資助項目(51078306，51408453)；陜西省自然科學基礎研究計劃項目(2013JQ 7007)(Projects(51078306, 51408453)supported by the National Natural Science Foundation of China;Project(2013JQ7007)supported by the Natural Science Basic Research Plan in Shaanxi Provinceof China)

程麥理，博士，講師，從事橋梁結構抗震研究；E-mail:cm l3635@163.com