現代數學教育理論的基礎和特性

吳道春

【摘 要】 現代數學教育理論作為理論的一種，既有理論的傳統的一般特征，又有其現代的獨特性. 特別是在現代數學教育理論基礎（觀測、數據和研究結果與效度）的三種主要的研究實踐方面，呈現出新的特性.

【關鍵詞】 數學教育；理論基礎；理論特性

1 數學教育理論

1.1 理論

理論源于人們認識世界的欲望，為人們的疑問，如“為什么”、“怎么樣”、“什么”等提供答案，而怎樣認識世界本身也是一個理論課題. 研究包括許多不同的方面，“問題”、“依據”和“理論”是研究的三個核心要素.

理論是世界觀和方法論，哲理和實際的統一體. 最重要的是理論提供了一種語言和框架，用來描述所研究的對象：（1）陳述問題并提問；（2）確定研究方法；（3）形成連續的、一致的觀點；（4）為證實結論提供途徑；（5）規范研究結論，使得結論的形式具有一致性.

按研究對象，理論分為自然科學理論和社會科學理論，數學教育理論和數學教育研究理論都屬于社會科學理論.

1.2 數學教育理論

在研究中，數學教育理論可以用作如下意義：（1）一個關于知識的有機系統，可以應用在多種情境中解釋一些特定的現象，例如“關于認知的建構主義理論”；（2）一個假設或一種可能性或一個沒有得到證實的觀念，如果它是正確的，就可以解釋某些事實或現象，例如“最近發展區理論”；（3）一個信念，它指導人的行為，如“合作學習理論”[1].

按數學教育理論所扮演的角色分，有前臺理論和后臺理論，數學教育研究的目的就是要發展理論，從這個意義上講，數學教育理論扮演著前臺角色；而既然所有的研究都是建立在理論基礎上的，數學教育理論就扮演著后臺角色. 有兩種后臺理論，一種包括目標（由研究的問題組成）、對象、方法和框架，另一種是用于討論的語言. 前者要以一定的哲學觀點為背景；后者既有描述功能，又有形成理論框架的功能. 后臺理論的出現，以及它在定義問題、對象、方法、結果和效度方面的角色，意味著：研究不僅是提出問題，尋找方法，收集數據和尋找分析工具，聚焦研究和評價它們的效度，而是在后臺理論背景中的這些活動的總和.

“應當提什么樣的問題，問題的答案是什么”，這種問和答的過程就是明顯的建立理論的過程，這樣的理論即是前臺理論；教學和研究的每個行為都可以看作是建立在一個數學教育理論的基礎上的，這樣的理論即是后臺理論. 理論作為教學或研究的基石，經常處于幕后. Rene Thom（1973）在第一次數學教育國際大會上指出：“所有數學教學法，即使幾乎不連貫，都建立在數學哲學的基礎上.”

2 數學教育理論的基礎

2.1 觀測

數學教育理論都是建立在觀測的基礎上的，而觀測又是建立在一定的理論的基礎上的. Goodman（1978）認為：“事實以理論為基礎，就像理論以事實為基礎一樣；事實是小理論，理論是大事實.”

什么是觀測，觀測的是什么，觀測又定位在哪里？一些人認為沒有辦法證實物質世界和人類行為的獨立存在性，觀測到的只是現象；一些人認為物質世界和人類行為是相對獨立的，認為物質世界和人類行為是客觀的. 現在主流觀點傾向于后者，這意味著我們可以更精確地觀測它們. 然而，所有的觀測都有局限性，受特定的社會狀況制約，所以數學教育理論帶有一定的情境性.

當前，研究者已從過去關注“記憶，或在事件發生過程中所做的記錄”，轉而關注“用電子設備復制事件演變的過程”，從而所記錄的內容也變得越來越豐富了，也就需要越來越深刻的分析. 例如，電子設備所記錄的每個行為只是事件發生過程中某些事物的某些方面，基于記錄所做的分析或推測必需和特定的理論框架聯系起來，這些理論框架支撐觀測和使得研究結論融入理論背景.

2.2 數據

數據一般包括：（1）對實驗的描述，結果的表示；（2）對調查的描述，對反應和分析的展示；（3）對事件或經驗的描述以及評論；（4）對重要事件和做法的描述.

當前，研究者常先收集采訪或交流的視頻和音頻記錄，然后再做分析. 我們該怎樣理解它們？在選擇、分析以及向他人展示的時候，我們所做的一切解釋都依賴于對記錄的事件的本質的理論假設，建立一個分析的詳細框架來處理數據和得出結論是很重要的. 我們還需要一個伴隨假設，即在錄制時，錄制對象的言行如實反映了他們所想的和所經歷的.

如果在錄制時，學生始終保持沉默，就不能完全反應事實. 就像Lave指出的：“沉默不能證明什么，除了沉默”. 事實上，沒有證據并不是“沒有”的證據. 當學生什么也沒做時，我們所知道的就是“他們什么也沒做”. 不能認為，在另一種場合，他們也將什么也不做或不能做. 有可能是這樣的情況，他們全身心地參與了，卻表現得像個局外人，就像有些人好像作為中心人物參與，卻只是很膚淺地思考和反思.

進行初步研究的一個常用工具是問卷調查. 然而當你面對一個問卷的時候，你會發現你處于一個完全不同的狀態，即使你渴望有所幫助，你有興趣探索相同的領域，你不可能和問卷設計者一樣地理解問卷中的問題.很多時候，你真心地設計問題，卻被理解為“猜，我心里在想什么”. 因此非形式化的訪談是必要的，然而，非形式化的訪談很難約束和系統化.

2.3 研究結果和效度

數學教育研究結果都是數據分析的結果.數據是研究和模式定位的依據，數據證實了一般性. 用一般性作為研究結果，需要清晰地確定適用范圍，在這個范圍中有些可變，有些不可變. 一般性需要被證實，將數據分析的邏輯論斷和理論框架或推測結合起來證實.一些研究結果可能需要不同形式的證實，但我們傾向于強調某些特殊的形式，如：（1）實驗中的推斷和顯著性；（2）調查中的顯著性和相關性；（3）三分法（從不同的角度尋找一致性）及不同點識別；（4）共鳴證據和實際生活經驗；（5）可重復性.

不同的研究對象需要達到不同的要求：（1）如果研究的是外部事實，就需要可重復的實驗，這在自然科學的研究中較典型；（2）如果研究的是觀點和信念，就要調查具有代表性的人口抽樣，這在社會科學的研究中較典型；（3）如果研究的是他人的經歷，就需要源自一個與他有關系的人的生動的描述，這在人物研究中較典型；（4）如果研究的是行動和決策，就要描述并預測，這在行為研究中較典型；（5）如果研究的是個人對一個值得反省的事情的經驗，就要敏感，注意尋找共鳴，這在現象學研究、實驗經驗中較典型.

3 三種主要的研究實踐

數學教育界的三種主要研究實踐是實用經驗主義研究、理論研究和應用研究. 它們和Bishop（1992）描述的三個基本研究傳統對應：（1）教師傳統，目的是提高教學水平，以學生的行為作為證據，包括不斷積累的專家教師的智慧；（2）哲學家傳統，具有嚴格的理論觀點，注重理想情境，這也是教育實際面向的目標；（3）經驗主義科學家傳統，目的是解釋教育現實[2].

3.1 實用經驗主義研究

注重實用經驗的研究方法是行為研究運動的基礎. 一些研究者引導教師質疑他們的實踐并嘗試，指導并引導他們做研究，支持新教師評價他們的成果并修改教學計劃. 當前“分析—計劃—實施—評價”的循環重復是很普遍的研究范式，有時要嚴格按照這一次序，但有時也很靈活. 一些研究人員鼓勵并支持教師們提出問題并自己探索.與其說研究人員是指導者，還不如說他們是促進者或經驗豐富的同事.優秀教師一般都注重自己的實踐，這些實踐具有不同程度的系統性，包括對方法論的關注和對他們的教學活動的理論基礎的反思.

Carraher和Schliemann，Lava，Frankenstein等人研究了人們現實生活中的數學能力，這和人們在制度化的背景中學習數學的能力形成對照，揭示了校內實踐和校外實踐的區別，揭示人們在正式的測試中表現不出來的能力，這也是一種實用經驗研究.

對現代教育技術在數學教學中的應用的研究是注重實用經驗的又一個例子. 實用經驗學家們經常以大量的數據如視頻、音頻和課堂復制來分析，當研究者努力理解實際調查和形成研究建議時才會考慮到理論結構. 當然，從一切研究都是以理論為基礎的這一角度看，這里的行動和觀測都是以理論為基礎的，只是沒有清晰地表達出來.

3.2 理論研究

和實用經驗主義研究形成對比，一些研究人員，主要在歐洲大陸，強調理論的重要性，試圖在繼續推測、觀察和修改之前描述那些基礎理論.他們將每個行為、每句話都看作是基于理論的，研究就是要揭露那些理論. 只有理論基礎是相對穩定的，研究才有意義. 這樣，才可以精確、系統地構建實驗，區分不同的理論假設，結果才可以用理論解釋，或用來修改理論. 理論研究人員可以收集視頻、音頻或課堂復制來做分析，他們知道他們要找什么，將做什么. 也可能會出現一些理論沒有預測到的事件，這就可以用來修改理論或提高它們的預測能力.

從理論研究的觀點來看，實用經驗主義研究似乎沒有原則和約束，不可推廣，是混亂的.從實用經驗主義研究觀點來看，理論基礎可以產生有用的想法，用來實踐，但它們往往很復雜，難以理解.

3.3 應用研究

在北美流行的一個研究范式是將當前的研究基于最近的發現和同行的著作，這符合“知識體是不斷增長的”這一觀點，知識的不斷擴張預示這一領域的進步. 應用研究經常被用于建立和驗證測試（定性和定量）. 這些測試又可被其他的研究人員用來完成研究著作，這些著作可以被總結、比較和調查，因為它們有共同的依據.

從應用研究的觀點來看，理論研究使用了過多的技術術語，而這些技術術語似乎是無意義的，除非你早已了解它們. 理論很抽象，因為研究結果被大量的理論淹沒了. 實用經驗研究一般沒有建立在已有成果的基礎之上，不能系統地發展、進步.

4 數學教育理論的特性

4.1 語言

當前，語言的重要性在大多數學科都被重新審視，包括數學教育. 很多學者都提出這個問題：思維和語言到底具有什么聯系？語言一開始是用來解釋、交流和記錄的，但現在人們認為，語言表達影響著人們的思維. 當前，電子文本，如音頻和視頻，它們的產生就像文字一樣容易. 我們原以為越來越豐富、詳細的資料將使得所描述的事件變得更清晰，問題更少，但這是沒有根據的，因為電子文本所記錄的每一個行為都是經過選擇和編輯的， 每張圖像都有過去、現在和將來， 每個文本都需要解釋，沒有文字的要加上文字并排版. 法國啟蒙運動的百科全書派成員的教訓要牢記，沒有一個真理是可被CD Rom捕捉的.

被圖標和圖像覆蓋的電子屏幕的大量出現，表明電子文字可能要被越來越復雜的圖標和圖像所取代，波及從數學本身到數學學習、教學和研究的所有范圍.

4.2 獨特性

一向以來，數學教育理論吸收其它領域的方法和理論，心理的、社會的、統計的、文學的和心理分析的. 然而，數學似乎在抽象和具體、發現和發明、客觀和主觀、公理的形式化和直觀的非形式化之間的爭論方面不同于其它所有領域，這使得數學課堂成為一個獨特的環境，盡管從其它學科吸取方式和方法十分重要和有效，為確保能夠解釋、有效預測或指導未來的實踐，必須加以整合.

4.3 多樣性

數學教育中存在著一些相互對立的理論. 起初，數學教育是從教育心理學和課程開發中發展起來的，研究者傾向于依據不同的處理方法或環境來選擇樣本，觀察結果，數學教育研究在行為主義、實證主義的背景中發展. Piaget和Vygotsky在他們各自的領域里，分別創立了“經驗域”的理論，將學生們看作是適應和構建實踐的認識主體和社會存在[3]. 在哲學基礎和靈感確定后，我們所看到的都是由方法論和典范演化而來的.

數學教育研究由于建立在一種或少數幾種理論之上. 為了引起注意，必需過激一點，既然要表達就要強調，數學教育理論不是不同背景的、不同觀點的、折衷的融合，而是傾向于單意、不含糊. 問題解決學習強調實際的、個人的經歷，以提供參照、動力和意義；發現學習強調個體建構，學生根據自己的智慧，發現新知識；講授-訓練學習強調形式化、教師指導和重復練習.

沒有一個理論是絕對正確的，多樣性是發展的方向，每種理論都提供了一個看待和描述問題的方式，它可能適應，也可能不適應未來的情境、問題和參與者，可能在將來被證明是有效的或無效的.

5 反思

1.使社會承認數學教育理論的重要性是整個社會的共同努力；2.盡量避免出現以下現象：一些人一開始堅持原有理論觀點，經過一番辯論后，倒向其它觀點；3.對研究者最重要的可能是：努力建立和展示理論觀點和框架，以便他人可以繼續研究或與他們自己的理論聯系起來；4.也許我們每個研究者都要對我們研究的理論的角色進行反思，努力解釋清楚某些特定的理論.

參考文獻

[1] 劉儒德，陳琦. 當代教育心理學[M]. 北京：北京師范大學出版社，2007（4）：131-203.

[2] Bishop A J. International perspectives on research in mathematics education[A]. In Grouw s D A. （ Ed ） . Handbook of Research on mathematics teaching and learning[ E]. New York： Macmillan， 1992：710- 723.

[3] 劉儒德，陳琦. 當代教育心理學[M]. 北京：北京師范大學出版社， 2007（4）：39-42.