基于深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)微設(shè)計(jì)

【摘 要】 深度學(xué)習(xí)是學(xué)生源于自身動機(jī)的對有價(jià)值的學(xué)習(xí)內(nèi)容展開的完整的、準(zhǔn)確的、豐富的、深刻的學(xué)習(xí)，是一種有意義、理解性、階梯式的學(xué)習(xí).開展以學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為價(jià)值取向，基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)微設(shè)計(jì)，具有促進(jìn)學(xué)生主動學(xué)習(xí)，改善學(xué)生課堂學(xué)習(xí)狀況，提高學(xué)生課堂學(xué)習(xí)質(zhì)量的現(xiàn)實(shí)意義，也具有探尋與高中數(shù)學(xué)課程建設(shè)相適應(yīng)，與高中數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展核心素養(yǎng)相承接的課堂教學(xué)行為的現(xiàn)實(shí)性和緊迫性.課堂教學(xué)微設(shè)計(jì)是方法，深度學(xué)習(xí)是過程，發(fā)展核心素養(yǎng)是目標(biāo)，三者邏輯相關(guān)，有機(jī)統(tǒng)一.

【關(guān)鍵詞】 深度學(xué)習(xí)；核心素養(yǎng)；教學(xué)設(shè)計(jì)；數(shù)學(xué)教學(xué)

隨著《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》總體框架的發(fā)布和普通高中課程改革的深入，“增強(qiáng)課程意識”，“發(fā)展核心素養(yǎng)”成了當(dāng)前課程實(shí)施的熱詞.與此相適應(yīng)的課堂教學(xué)也正在積極地發(fā)生變化.但綜觀當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，教師對課堂的“控制欲”仍比較強(qiáng)，以“學(xué)生的學(xué)為本”、“以學(xué)生的發(fā)展為本”的教學(xué)設(shè)計(jì)仍匱乏，有的教師縱然有較好的設(shè)計(jì)，但在課堂實(shí)施中總是喜歡用自己的“教”牽引學(xué)生的“學(xué)”，學(xué)生思維難以“馳騁”，自然地，課堂也就少了 “自主、合作、探究”與“發(fā)現(xiàn)”，學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)因停留在淺層水平而鮮有核心素養(yǎng)的發(fā)展.有的教師仍奉行“會做題才是硬道理”的數(shù)學(xué)教學(xué)取向，以“例題講解+重復(fù)訓(xùn)練”作為教學(xué)的主要方式，嚴(yán)重影響學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自信心，挫傷他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也就成了一句空話.顯然，學(xué)生的學(xué)習(xí)缺乏深度是目前大多數(shù)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)之弊病，這樣的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)能承擔(dān)起學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重任嗎？顯然答案是否定的.那么，數(shù)學(xué)一線教師在課堂教學(xué)中該采用怎樣的路徑來實(shí)現(xiàn)學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢？

基于對這一問題的思考，筆者在教學(xué)實(shí)踐中嘗試開展了以學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為價(jià)值取向，基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)微設(shè)計(jì)研究，實(shí)踐表明，該研究不僅具有促進(jìn)學(xué)生主動學(xué)習(xí)，改善學(xué)生課堂學(xué)習(xí)狀況，提高學(xué)生課堂學(xué)習(xí)質(zhì)量的現(xiàn)實(shí)意義，同時(shí)還具有探尋與高中數(shù)學(xué)課程建設(shè)相適應(yīng)，與高中數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展核心素養(yǎng)相承接的課堂教學(xué)行為的現(xiàn)實(shí)性和緊迫性.現(xiàn)不揣淺陋，簡述筆者的思考與實(shí)踐，以與同行探討.

1 深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵及主要特征

深度學(xué)習(xí)理論認(rèn)為學(xué)習(xí)既是個(gè)體感知、記憶、思維等認(rèn)知過程，也是根植于社會文化、歷史背景、現(xiàn)實(shí)生活的社會建構(gòu)過程[1].深度學(xué)習(xí)（deep learning）也被譯為深層學(xué)習(xí)，是美國學(xué)者Ference Marton和Roger Saljo基于學(xué)生閱讀的實(shí)驗(yàn)，針對孤立記憶和非批判性接受知識的淺層學(xué)習(xí)（surface learning），于1976年首次提出的關(guān)于學(xué)習(xí)層次的一個(gè)概念[2].事實(shí)上，早在1956年布魯姆在其《教育目標(biāo)分類學(xué)》中關(guān)于認(rèn)知維度層次的劃分中就已蘊(yùn)含了“學(xué)習(xí)有深淺層次之分” [3]的觀點(diǎn). Ference Marton和Roger Saljo借鑒了布魯姆認(rèn)知維度層次劃分理論，創(chuàng)造性地提出了深度學(xué)習(xí)的概念并借助實(shí)驗(yàn)推進(jìn)了深度學(xué)習(xí)的研究.

深度學(xué)習(xí)是學(xué)生源于自身內(nèi)部動機(jī)的對有價(jià)值的學(xué)習(xí)內(nèi)容展開的完整的、準(zhǔn)確的、豐富的、深刻的學(xué)習(xí)[4].從本質(zhì)上看，深度學(xué)習(xí)是一種主動的、探究式的、理解性的學(xué)習(xí)方式，要求學(xué)習(xí)者掌握非結(jié)構(gòu)化的深層知識并進(jìn)行批判性的高階思維、主動的知識建構(gòu)、有效的遷移應(yīng)用及真實(shí)問題的解決，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)元認(rèn)知能力、問題解決能力、批判性思維、創(chuàng)造性思維等高價(jià)能力的發(fā)展；與之相對應(yīng)的淺層學(xué)習(xí)則是一種被動的、機(jī)械式的、記憶性的學(xué)習(xí)方式，只是把信息作為孤立的、不相關(guān)的事實(shí)來被動接受、簡單重復(fù)和機(jī)械記憶，忽視對知識的深層加工、深度理解及長期保持，更無法實(shí)現(xiàn)知識建構(gòu)、遷移應(yīng)用及真實(shí)情景中的復(fù)雜問題解決[5].

深度學(xué)習(xí)是有意義的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生的學(xué)習(xí)不是單純的接受，而是在發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)上的同化；深度學(xué)習(xí)是理解性的學(xué)習(xí)，重在引導(dǎo)學(xué)生通過深切的體驗(yàn)和深入的思考，達(dá)成對學(xué)科本質(zhì)和知識意義的滲透理解；深度學(xué)習(xí)是階梯式的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生的深度學(xué)習(xí)必須是促進(jìn)式的、層次性的、階梯式的[6].

2 發(fā)展核心素養(yǎng)、深度學(xué)習(xí)、課堂教學(xué)微設(shè)計(jì)三者的內(nèi)在邏輯

課堂教學(xué)微設(shè)計(jì)，即教師選取課堂教學(xué)內(nèi)容中的某一片段（如問題情境、概念教學(xué)、探究活動、例題練習(xí)、知識應(yīng)用等等）而進(jìn)行的設(shè)計(jì)，它是整個(gè)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的一部分，若干個(gè)微設(shè)計(jì)構(gòu)成整個(gè)課堂教學(xué)的設(shè)計(jì).

課堂通過怎樣的路徑來促使學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)？筆者的做法是，從現(xiàn)行的人教A版普通高中數(shù)學(xué)教材中選取部分章節(jié)進(jìn)行課堂教學(xué)微設(shè)計(jì)，以此來促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，達(dá)到學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo).由此可見，課堂教學(xué)微設(shè)計(jì)是方法，深度學(xué)習(xí)是過程，發(fā)展核心素養(yǎng)是目標(biāo)，三者邏輯相關(guān)，有機(jī)統(tǒng)一.

3 實(shí)踐案例

3.1 平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義[7]

人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)4（必修）》中的“241平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義”是學(xué)生在學(xué)習(xí)了向量的加法、減法和數(shù)乘向量這些線性運(yùn)算之后學(xué)習(xí)的一種新運(yùn)算.這不僅是為了構(gòu)建較完整的向量運(yùn)算體系，更是為了解決與度量有關(guān)的幾何問題的需要.我們知道，向量作為利用代數(shù)運(yùn)算研究幾何問題的新工具，當(dāng)向量的線性運(yùn)算無法解決兩個(gè)向量互相垂直，及求長度、角度等度量問題時(shí)，自然會想到引入新的向量運(yùn)算來解決這些問題，這是它深刻的數(shù)學(xué)背景，平面向量數(shù)量積也有它現(xiàn)實(shí)的物理背景，即物理受力做功的背景.平面向量數(shù)量積不僅可以解決與度量有關(guān)的幾何問題，而且還可以推導(dǎo)兩角差的余弦公式、正弦定理、余弦定理等，對這一概念學(xué)習(xí)可充分體驗(yàn)和感受其深刻的數(shù)學(xué)思想方法，有利于學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).對“平面向量數(shù)量積” 的概念教學(xué)可微設(shè)計(jì)如下：

問題1 請同學(xué)們回憶一下，我們已經(jīng)研究了向量的哪些運(yùn)算？這些運(yùn)算的結(jié)果是什么？

設(shè)計(jì)意圖 喚醒學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ)，為新知識的學(xué)習(xí)尋找固著點(diǎn)和生長點(diǎn).

問題2 我們可以利用向量的這些線性運(yùn)算解決平面幾何中的哪些問題？

設(shè)計(jì)意圖 引發(fā)學(xué)生思考，回味向量的加法、減法、數(shù)乘向量這些線性運(yùn)算可以解決平面幾何中的三點(diǎn)共線、線段平行等問題，但發(fā)現(xiàn)無法解決求長度、角度等與度量有關(guān)的幾何問題.因而，尋求向量新運(yùn)算變得有必要.

問題3 請大家繼續(xù)回憶，我們是怎樣引入向量的加法運(yùn)算的？又是按照怎樣的研究思路來學(xué)習(xí)這種運(yùn)算的？

在學(xué)生回憶、交流、表達(dá)的基礎(chǔ)上，教師歸納：我們從物理中的位移合成、力的合成中抽象出了向量的加法運(yùn)算，繼而研究了它的性質(zhì)和運(yùn)算律，即我們按照“物理模型——概念——性質(zhì)——運(yùn)算律——應(yīng)用”這一研究思路來學(xué)習(xí)向量的加法運(yùn)算的.教師指出，本節(jié)課我們?nèi)匀话凑者@種研究思路來研究向量的另一種新運(yùn)算.

問題4 請大家思考，哪些物理矢量問題與長度和夾角有關(guān)？能否從中獲得新的向量知識，解決與度量有關(guān)的幾何問題？

設(shè)計(jì)意圖 給學(xué)生體驗(yàn)如何去尋找“物理模型”. 當(dāng)學(xué)生給出了力的物體做功的計(jì)算公式W=Fscosθ，其中θ是F與s的夾角.教師指出：功可以看成是力和位移兩個(gè)矢量的一種運(yùn)算結(jié)果，舍去物理背景，對數(shù)學(xué)中的兩個(gè)非零向量a與b，我們把數(shù)量abcosθ叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b，即a·b=abcosθ，其中θ是a與b的夾角.

顯見，以上對“平面向量數(shù)量積”概念的教學(xué)設(shè)計(jì)，從數(shù)學(xué)思想上看，主要揭示了學(xué)習(xí)這一運(yùn)算的深刻的數(shù)學(xué)背景，讓學(xué)生充分認(rèn)識到新知識學(xué)習(xí)的必要性，充分感受到新知識發(fā)生的過程，即它來自何處（緣何而生）？從數(shù)學(xué)方法上看，主要是揭示了這一概念學(xué)習(xí)的思維過程，即類比向量加法運(yùn)算學(xué)習(xí)的研究思路和方法，從尋找物理模型這一思路入手展開.

一般地，在學(xué)生學(xué)習(xí)了平面向量的加法運(yùn)算后，教師可不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生歸納學(xué)習(xí)這一運(yùn)算的研究思路和方法，以此指導(dǎo)學(xué)生用同樣的方法學(xué)習(xí)向量的其它運(yùn)算，這一研究思路的提煉和概括是概念學(xué)習(xí)的深層知識，是根和莖，可將向量運(yùn)算知識編織在一起，形成網(wǎng)絡(luò)，在學(xué)習(xí)完向量的數(shù)量積運(yùn)算后，形成了一個(gè)完整的運(yùn)算結(jié)構(gòu)體系.

更重要的是，這樣的設(shè)計(jì)，不僅強(qiáng)調(diào)促進(jìn)學(xué)生主動學(xué)習(xí)、促進(jìn)向量知識整合和意義聯(lián)接的學(xué)習(xí)，而且強(qiáng)調(diào)學(xué)生高階思維的發(fā)展，強(qiáng)調(diào)將已有的研究數(shù)學(xué)問題的方法遷移到新概念的學(xué)習(xí)之中，對學(xué)生來說是一種深度學(xué)習(xí).在這個(gè)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生能很好地發(fā)展以下數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：

數(shù)學(xué)抽象：數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程.主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征.該微設(shè)計(jì)，從力的物體做功的計(jì)算公式中，舍去物理背景，得到數(shù)學(xué)研究對象，即兩個(gè)非零向量a與b數(shù)量積概念的思維過程.教學(xué)中注重如何引導(dǎo)學(xué)生舍去事物的物理屬性，從事物的具體背景中加以抽象，并用數(shù)學(xué)符號對向量數(shù)量積概念進(jìn)行表征.

邏輯推理：邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)命題的思維過程.主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹.該微設(shè)計(jì)，將學(xué)生在學(xué)習(xí)“向量的加法運(yùn)算”內(nèi)容時(shí)概括出的研究思路：物理模型——概念——性質(zhì)——運(yùn)算律——應(yīng)用，類比運(yùn)用到對“向量數(shù)量積”這一新運(yùn)算的學(xué)習(xí)中，能較好地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出命題，理解“向量加法運(yùn)算”和“向量數(shù)量積運(yùn)算”的內(nèi)在聯(lián)系，形成有條理、合乎邏輯的思維習(xí)慣和交流能力.

數(shù)學(xué)建模：數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程.主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、構(gòu)建模型，求解結(jié)論，驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題.眾所周知，平面向量集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性.在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常常把向量定位為研究幾何問題的一種“工具”. 平面向量的數(shù)量積是繼向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算后引入的一種新的運(yùn)算，是運(yùn)算結(jié)果與運(yùn)算對象不在同一“范圍”內(nèi)的運(yùn)算.它與向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的線性運(yùn)算不同：線性運(yùn)算對應(yīng)的是向量，數(shù)量積對應(yīng)的是實(shí)數(shù)，數(shù)量積實(shí)質(zhì)上是一種對應(yīng)關(guān)系，因而也就是兩個(gè)非零向量a與b運(yùn)算的一種“模型”.該微設(shè)計(jì)正是在對力做功的“物理模型”進(jìn)行抽象的過程中建立的推動向量研究幾何邊角度量問題的一種“運(yùn)算模型”.

3.2 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)4（必修）》中的“13三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”是學(xué)生已學(xué)習(xí)過的任意角的三角函數(shù)定義、誘導(dǎo)公式（一）等知識的延續(xù)和拓展，體現(xiàn)了三角函數(shù)之間的內(nèi)部聯(lián)系.誘導(dǎo)公式兼具“運(yùn)算工具”與“表達(dá)函數(shù)性質(zhì)”的雙重作用，是圓的對稱性的代數(shù)表示.這節(jié)課蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想：誘導(dǎo)公式的引入蘊(yùn)含了分類與整合思想；誘導(dǎo)公式自身的功能詮釋了化歸與轉(zhuǎn)化思想；誘導(dǎo)公式在解決問題中的作用無不體現(xiàn)函數(shù)與方程思想；探究與證明誘導(dǎo)公式的過程中自始至終凸顯特殊與一般思想（特別把α看成銳角）；誘導(dǎo)公式的引入、證明、應(yīng)用處處體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.對這節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)可充分體驗(yàn)和感悟豐富的數(shù)學(xué)思想方法，有利于學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng).對“誘導(dǎo)公式” 的推導(dǎo)教學(xué)可微設(shè)計(jì)如下：

問題1 請大家回憶一下，終邊相同的角的同名三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？我們是如何研究的？

設(shè)計(jì)意圖 通過對終邊相同的角的同一三角函數(shù)值之間關(guān)系及研究方法的回憶，使學(xué)生明確單位圓和三角函數(shù)的定義在研究三角函數(shù)性質(zhì)上所起的作用，為后續(xù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)提供研究思路，同時(shí)體會這組公式體現(xiàn)了三角函數(shù)具有周而復(fù)始的性質(zhì).

問題2 角π+α的終邊與角α的終邊有什么關(guān)系？它們的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系？由此你能得到π+α，α的三角函數(shù)之間的關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生自主探究，體會研究問題的思路以及圓的對稱性與三角函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系，體會單位圓在研究問題中的工具作用.在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生交流、概括公式的研究思路：角的關(guān)系——終邊關(guān)系——坐標(biāo)關(guān)系——三角函數(shù)值關(guān)系.

問題3 請大家探究角π-α與角α、角-α與角α、角π2-α與角α、角π2+α與角α的終邊之間的關(guān)系，并得出相應(yīng)的三角函數(shù)值之間的關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生類比問題2概括的研究思路進(jìn)行自主探究，進(jìn)一步體會圓的幾何性質(zhì)（對稱性）與三角函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系，體會單位圓在研究問題中的工具作用.

問題4 你能發(fā)現(xiàn)以上探得的幾組誘導(dǎo)公式之間的內(nèi)在聯(lián)系嗎？

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生用推理的方法發(fā)現(xiàn)公式，體會公式與公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，感悟公式中角指代的“廣泛性”；同時(shí)，讓學(xué)生觀察這幾組誘導(dǎo)公式的結(jié)構(gòu)特征，引導(dǎo)學(xué)生從“函數(shù)值的符號”和“函數(shù)名”的改變與否的視角對公式的變化規(guī)律加以概括，構(gòu)建完整的誘導(dǎo)公式的知識網(wǎng)絡(luò).

深度學(xué)習(xí)提倡將新知識與已知概念和原理聯(lián)系起來，整合到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，從而引起對新的知識信息的理解、長期保持及遷移應(yīng)用[8].本微設(shè)計(jì)，重視學(xué)習(xí)的遷移運(yùn)用和問題解決. “問題1”和“問題2”的設(shè)計(jì)有利于學(xué)生深入理解解決問題的原理方法，以在“問題3”的求解中能分析判斷差異并將原理思路遷移運(yùn)用.如果學(xué)生不能將習(xí)得的原理方法遷移求解于 “問題3”，那么學(xué)習(xí)者對“問題1”和“問題2”的學(xué)習(xí)只停留在被動接受的淺層水平上，對課堂上可遷移、具有普遍意義的原理和方法缺乏深入的考究和理解，影響發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).因而，對本設(shè)計(jì)的教學(xué)實(shí)施，教師一定要著意于學(xué)生的主動思考和自主探究，著意于促進(jìn)學(xué)生思維的深入交流和對新知的積極建構(gòu)，著意于促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí).

本設(shè)計(jì)，在得到一組誘導(dǎo)公式后，運(yùn)用類比探究其它誘導(dǎo)公式和尋找公式之間的內(nèi)在聯(lián)系的過程中可促進(jìn)學(xué)生發(fā)展“邏輯推理”核心素養(yǎng)；在借助單位圓工具，按照“角的關(guān)系——終邊關(guān)系——坐標(biāo)關(guān)系——三角函數(shù)值關(guān)系”的思路展開探究的過程中可促進(jìn)學(xué)生發(fā)展“直觀想象”、“數(shù)學(xué)運(yùn)算”和“數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng)；在引導(dǎo)學(xué)生從“函數(shù)值的符號”和“函數(shù)名”的改變與否的視角對公式的變化規(guī)律加以概括的過程中可促進(jìn)學(xué)生發(fā)展“數(shù)學(xué)抽象”；在對誘導(dǎo)公式中的角α既可以是“單角”，也可以是“復(fù)角”，即指代具有“廣泛性”的理解上可促進(jìn)學(xué)生發(fā)展“數(shù)學(xué)建模”核心素養(yǎng).

深度學(xué)習(xí)是內(nèi)源性的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生積極主動地參與到課堂教學(xué)活動中，學(xué)生的學(xué)習(xí)才有可能是有深度的，也只有學(xué)生深度學(xué)習(xí)，才可能促進(jìn)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng).從這個(gè)意義上講，準(zhǔn)確把握學(xué)情和深刻解讀教材就顯得尤為重要，因?yàn)樗鼈兪且龑?dǎo)深度學(xué)習(xí)的基點(diǎn).如何把握這兩個(gè)基點(diǎn)進(jìn)行課堂教學(xué)微設(shè)計(jì)，以更好地促進(jìn)學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是個(gè)值得深入研究的問題，筆者愿對此作進(jìn)一步的思考，以期為一線教師提供可資借鑒的基于深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)微設(shè)計(jì)策略、方法和教學(xué)案例.

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