對中心極限定理的教學研究與思考

李春娥+蔣青松

摘 要：中心極限定理是概率論的重要內容之一，又是數理統計中大樣本統計推斷的理論基礎.文章通過貼近學生生活的例子引入中心極限定理，引導學生積極探索問題，解決問題，從而使學生深刻理解中心極限定理內涵、并能靈活運用中心極限定理解決生活中的問題.在教學中，應著重培養學生的學習和研究興趣，引導他們從學習知識到總結規律，進而向應用推廣進行轉變.

關鍵詞：中心極限定理 教學研究 總結規律 推廣應用

一、中心極限定理的引入

在一定條件下，大量隨機變量序列之和的極限分布近似為正態分布的一系列定理，統稱為中心極限定理，但是為什么大量的隨機變量序列之和的極限分布近似正態分布？對學生而言，非常抽象和難以理解，那么怎么樣引入才能引起學習中心極限定理的興趣和深刻理解、掌握中心極限定理的實質呢？下面以貼近實際生活的例子引入中心極限定理。

引導學生思考問題：以某高校理工科學生的高等數學成績為隨機變量，觀察全體學生的高等數學成績的分布情況，再思考該校自建校以來至今所有學生高等數學成績之和的分布情況？提出問題以后，讓學生分組自由討論，然后小組代表回答問題，就學生回答的答案進行分析，進而引向中心極限定理。

例：（預算問題）隨著大數據的發展，越來越多的人參加數據分析師資格證書的考試，某大型咨詢公司今年有500名員工參加此資格證書考試，員工是否通過考試為一隨機變量，設每一名員工通過考試的概率為0.8。公司為了鼓勵員工積極提升自身素質，若員工通過考試，則給予1000元的獎勵。試計算該公司要為這次考試至少做多少元的預算才能以0.95的概率保證通過考試的員工及時領到獎勵？

分析：以記500名員工中通過考試的數量，以表示該公司為此次考試準備的預算額，另外，每個員工是否通過考試是相互獨立的，則由題意知求：P其中X：B（500，0.8），顯然直接用二項分布求Y，計算非常繁瑣，難以求出。在此可將隨機變量看作由500個兩點分布的和構成，那么我們只須求出這些相互獨立的大量隨機變量的和服從什么分布，問題就得以解決。

由以上分析知，解決問題的關鍵是求出大量隨機變量和的分布，為了得到大量隨機變量和的分布情況，引入中心極限定理。

定理1（林德貝格—勒維中心極限定理）設{Xn}是獨立同分布的隨機變量序列，且E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2≥0。

則對任意實數y，有

此定理也稱為獨立同分布的中心極限定理，即在隨機變量序列獨立同分布，數學期望和方差存在的條件下，只要充分大，的隨機變量之和就近似服從正態分布。

由林德貝格—勒維中心極限定理，把二項分布看作n個兩點分布的和，易得二項分布可用正態分布近似，即棣莫弗—拉普拉斯定理。

定理2設隨機變量ηn（n=1，2L）服從參數為n，p（0

顯然，這是獨立同分布中心極限定理的特殊情況，當n→∞時，二項分布的極限分布是正態分布，即可用正態分布來近似地計算復雜的二項分布。

以上兩個中心極限定理都是研究可列個相互獨立的隨機變量和的分布，在一般條件下，當獨立的隨機變量的個數增加時，隨機變量和的極限分布近似服從正態分布，這為利用正態分布來解決隨機變量和的問題提供了理論依據。根據兩個中心極限定理，以上例題迎刃而解。

思考題：若某高校為了鼓勵學生積極考研，對考上重點大學的學生給予2000元的獎勵，非重點大學的學生給予1000元的獎勵。試通過對母校近幾年考研情況的調查，計算學校計財處每年至少做多少元的預算才能以0.99的概率保證考上研究生的同學及時領到獎勵。

二、對中心極限定理教學的思考

中心極限定理是學習數理統計的理論基礎，在大數據時代，中心極限定理的應用無處不在。如何使學生深刻理解和靈活運用中心極限定理這個重點和難點呢？由于中心極限定理的應用非常廣泛，引出定理后，強調其適用的條件和完美的結論，一般不給予證明，因為此定理的證明要用到特征函數，但是大多數教材中沒有特征函數這一章節，所以在這兒只強調應用而不是證明。對于統計專業的學生，教師可以從中心極限定理的歷史發展過程，結合軟件模擬大量隨機變量和的分布情況引入，并對中心極限定理進行證明。

三、總結

中心極限定理在概率論與數理統計中是重要的基本理論之一，并且開啟了數理統計的學習，在具體的教學實踐中，應分析中心極限定理的特征和共性。積極引導學生思考，通過實例教學激發學生的學習興趣。教學活動以師生互動為主體，對中心極限定理相關部分內容的教學，應遵循學生學習認知規律，循序漸進地開展教學活動，延續“觀察分析→理解含義→理論證明→歸納總結→推廣應用”這一過程開展相應教學活動，力爭讓學生達到“學以致用”的目的。

參考文獻

[1]陳學慧，趙魯濤，張志剛.案例式中心極限定理教學研究[J].大學數學.

[2]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程[M].北京：高等教育出版社.

作者簡介

李春娥（1985-），女，山東菏澤人，碩士，講師。研究方向：應用統計研究。

通訊作者*

蔣青松（1981-），男，湖北潛江人，在讀博士，副教授，碩士生導師。研究方向：系統建模與分析及優化，高等數學教學與研究。