2-PRC-PR(C)并聯機構減振平臺及其動力學特性

劉乃軍，牛軍川

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2-PRC-PR(C)并聯機構減振平臺及其動力學特性

劉乃軍，牛軍川

(山東大學機械工程學院，高效潔凈機械制造教育部重點實驗室，山東濟南，250061)

為滿足工程中機械設備對多維振動和沖擊的隔離要求，設計一種新型2-PRC-PR(C)并聯機構減振平臺。該平臺是在3-PRC并聯機構的基礎上，通過把一支鏈和上平臺連接處的圓柱副改為一復合運動副，使該機構實現三自由度3-PRC并聯機構與四自由度2-PRC-PR^C并聯機構之間的切換，并在主動副處輔以彈簧阻尼，使該機構能夠實現三維隔振與四維隔振。對該機構進行運動學和動力學分析，在此基礎上將系統參量分類，并對參數較多類別采用正交試驗法，分析各參數對系統固有頻率的影響規律和貢獻量。研究結果表明：多維減振平臺中有關參量對系統固有頻率的影響具有不同于單自由度減振裝置的特性。

并聯機構；減振平臺；固有頻率；正交試驗法

精密儀器儀表、車載、船載、航空航天等機械設備在工作時都會受到大量的多維振動和沖擊，成為影響設備性能和使用壽命的主要因素[1?3]。傳統的隔振技術已不能滿足當前生產實際的需求，主要表現在2個方面。首先，傳統的隔振方法主要是采用彈簧、柔性橡膠等彈性材料或多層常規單自由度彈性阻尼裝置來進行隔振。由于彈性材料的性能不穩定，且對多維減振效果不明顯，而多層常規單自由度彈性阻尼裝置結構十分復雜，且僅能滿足少維隔振的需求；其次，隨著科技的發展，眾多機械設備的復雜化程度越來越高，同一機械設備的工況及工作條件存在多樣性，其所受振動和沖擊的維數會隨之改變，這對隔振裝置提出了新的要求。為解決多維隔振問題，近年來眾多學者將具有剛度大、結構穩定、承載能力強、運動慣量小等優點的并聯機構應用于振動控制領域。馬履中等[4?6]提出了可采用并聯機構作為多維減振平臺的基體，并列舉了部分適于做多維減振平臺的多自由度機型；YIN等[7]以3-RRC并聯機構作為減振主體，對多維減振系統的模態進行了分析；LI等[8]基于雙層并聯機構得到了一種隔振頻帶較寬的減振平臺；GUO等[9]基于4-CPS/RPS并聯機構，得到了一種船載主動隔振系統。近年來，諸多學者將具有結構簡單、動態特性好等特點的3-PRC并聯機構應用于多維減振裝置，在一定程度上解決了多維振動問題。馬履中等[10]論述了3-PRC并聯機構應用于空間三平動方向三維減振裝置的可行性；楊峰等[11]討論了3-PRC并聯機構的可調頻減振特性；李勇[12]則對3-PRC等少自由度并聯機構的減振進行了探討。然而，上述文獻所研究的減振裝置的減振維數都不可變更，往往不能滿足實際生產中振動和沖擊的維數隨時變化場合的隔振要求。在解決機械設備受到可變維數振動和沖擊的問題方面，牛軍川等[13]研究了一種3-CRR及其變胞減振機構，為變維數的振動隔離提供了一種思路。為很好地對受到多維且可變維數振動和沖擊的機械設備進行隔振，尤其是對如行駛在崎嶇路面上的車輛的空間三平動和一轉動的設備進行隔振，本文在3-PRC機構的基礎上給出了一種2-PRC-PR(C)并聯機構。通過調節機構中復合運動副(C)，該機構可實現三自由度3-PRC并聯機構與四自由度2-PRC-PR^C并聯機構之間的切換。將2-PRC-PR(C)并聯機構作為減振平臺的主體，再在相應的主動副處輔以彈簧阻尼，能夠同時滿足三維隔振與四維隔振的要求。在此基礎上研究其運動學、動力學特性?；诓⒙摍C構設計的減振平臺與常規單自由度彈性減振裝置的區別在于影響系統固有頻率的參數眾多，分析困難。本文作者將系統參數分類，并將所含參數較多類別采用正交試驗法，分析減振平臺各參數對系統固有頻率的影響特性及貢獻量。

1 并聯機構多維減振平臺模型

2-PRC-PR(C)并聯機構是在3-PRC并聯機構的基礎上經過修改而來，即把3-PRC機構3點處的1個C副(圓柱副)修改為一復合運動副(C)，如圖1所示。圖2所示為該裝置的等效簡化構型和復合運動副(C)的結構圖。可見：該機構由動平臺(上平臺)、靜平臺(下平臺)及(123)，(123)和(123)3條支鏈組成。其中A和C這2條支鏈結構相同，均由1個移動副(P副)、1個與P副垂直的轉動副(R副)和1個與R副平行的圓柱副(C副)串聯而成，B支路由1個移動副(P副)、1個與P副垂直的轉動副(R副)和1個復合運動副(C)串聯而成。該復合運動副實際上是把原來的C副變成了1個移動方向不變的P副，然后在水平方向又固結了1個與之正交的十字軸，如圖2(b)所示，該十字軸3分別又與滑塊2和連桿4形成了2個轉動副。并聯機構通常存在多種構型。為使機構構型緊湊，本文中取2-PRC-PR(C)并聯機構構型如圖2(a)所示，即3個連桿3，3和3都向上平臺內側方向傾斜。

容易理解，當把復合運動副(C)中的十字軸3和滑塊2的R副固定時，則2-PRC-PR(C)并聯機構退化為3-PRC并聯機構；當復合運動副(C)中的十字軸3和滑塊2的R副存在相對轉動時，2-PRC-PR(C)并聯機構轉化為2-PRC-PR^C并聯機構，且對2-PRC-PR^C并聯機構的分析可等效轉化到3-PRC并聯機構。因此，本文僅對2-PRC-PR^C并聯機構進行分析。

圖1 2-PRC-PR(C)聯機構原理圖

(a) 構型；(b) 復合運動副

2 減振平臺運動學分析

在并聯機構上建立笛卡兒坐標系如圖1所示，根據基于約束螺旋理論的自由度分析方法[14]，易得2-PRC-PR(C)并聯機構轉化所得到的2-PRC-PR^C并聯機構，其自由度為4；2-PRC-PR(C)并聯機構轉化為3-PRC并聯機構，自由度為3。

2.1 正、逆運動學分析

根據幾何條件，可得如下位姿約束方程。

(2)

(3)

若給定該機構上平臺點位置的4個運動學輸出x，y，z和，可得該機構的運動學逆解：

(5)

(6)

若給定該機構的4個運動學輸入1，1，1和1，由式~得該機構的運動學正解。

2.2 速度分析

為分析機構的動力學特性，這里首先對速度進行分析。由式~可得：

(9)

(10)

將式~對時間求導并整理可得

(12)

(14)

(15)

(17)

(18)

若矩陣非奇異，由式可得

3 減振機構動力學模型及其固有頻率

為方便構建基于2-PRC-PR^C并聯機構的隔振系統動力學模型，本文采用改進后的拉格朗日方程建立系統的動力學方程：

式中，=1，2，…，；s為廣義坐標；Γ為沿廣義坐標s方向作用的廣義力；為機構動能；為機構勢能；為系統的阻尼能量耗散系數。

這里只考慮上平臺質量，忽略各連桿質量和系統阻尼，可計算出機構的動能、勢能，將其代入式，可得2-PRC-PR^C機構的動力學方程為

(22)

m和I分別為上平臺質量和繞軸的轉動慣量；k為系統的彈簧剛度。

系統自由振動時，令=0，由式可得

可以得到系統的特征方程為

(25)

4 系統各參數對固有頻率的影響特性

對所設計并聯機構減振平臺初始參數取為：1=1.050 m，1=1=0.146 m，2=2=2=0.6 m，3=3=3=0.5 m，4=0.2 mk(=1，2，3)=400 kN/m，m=50 kg，44 000 N?m/rad，I=0.627 kg/m2。得到該減振平臺處于2-PRC-PR^C和3-PRC這2種不同機構下的固有頻率如表1所示。進行仿真分析得減振平臺處于2-PRC-PR^C機構形位下的四階模態振型如圖3所示。

由表1及圖3可得：該減振平臺的前3階固有頻率分別沿，和軸移動方向，減振平臺處于2-PRC-PR^C機構狀態時存在的第4階固有頻率沿軸的轉動方向；減振平臺處于2種不同機構形式下的第1階、第3階固有頻率完全相同，第2階固有頻率略微存在差異，差值小于0.2 Hz?？梢姡簻p振平臺處于3-PRC機構這一形位下的3階模態信息，可通過略去減振平臺處于2-PRC-PR^C機構形位下的第4階模態等效得到。

系統固有頻率與系統彈簧剛度、慣性參數、減振平臺各幾何尺寸等有關。參數眾多，規律復雜，因此，理清各參數對系統固有頻率的影響規律對減振平臺設計尤為重要。鑒于減振平臺3類參數(彈簧剛度參數、慣性參數、減振平臺各幾何尺寸參數)之間的獨立性，下面依次分類討論其對系統固有頻率的影響特性。

表1 2-PRC-PR^C和3-PRC固有頻率

(a) 第1階模態振型；(b) 第2階模態振型；(c) 第3階模態振型；(d) 第4階模態振型

4.1 彈簧剛度對固有頻率的影響

采用控制變量法，系統彈簧剛度1，2，3和4四因素中某單一因素在(101~1015N/m)范圍內變化，而其余3因素保持為初始參數，分別得到4因素1，2，3，4對系統4個固有頻率的影響特性，如圖4~7 所示。

由圖4~7可得如下規律：

1) 彈簧剛度在較小取值范圍(101~106N/m)內變化，減振系統4個固有頻率隨彈簧剛度1，2，3和4的增大而增大，該規律類似于單自由度減振系統。

2) 彈簧剛度在較大范圍(106~1012N/m)內變化，系統固有頻率4隨彈簧剛度的增大而增大，而系統固有頻率1，2，3都相應出現一段“停滯期”，即固有頻率隨彈簧剛度的增大保持不變。彈簧剛度在極大范圍(1012~1015N/m)內變化，系統固有頻率4隨彈簧剛度1，2，3和4的增大而增大，而1，2和3都表現出一些不規律現象。可見由于減振系統中各彈簧剛度對系統剛度矩陣的強耦合作用，使某一彈簧剛度在大范圍內變化時導致了系統固有頻率產生了不同于單自由度減振系統的特性。

為綜合分析系統彈簧剛度1，2，3和4分別對4個固有頻率1，2，3和4的影響程度，本文采用正交試驗法[15?16]進行分析。以系統4個彈簧剛度作為分析因素，綜合考慮每個變量取為3個水平，因素水平取值如表2所示，構造正交試驗表9(34)如表3所示。

將上述各數據組合代入式，對所得計算結果采用直觀分析方法，可得第因素極差：

式中：=1，2，…，；X為第因素第水平下的第個數據結果；和分別為正交試驗中的因素數和水平數；為各水平下的數據個數。

由式可得系統固有頻率1，2，3和4分別在4因素1，2，3和4下的相應極差，如圖8所示。

(a) 第1階模態振型；(b) 第2階模態振型；(c) 第3階模態振型；(d) 第4階模態振型

(a) 第1階模態振型；(b) 第2階模態振型；(c) 第3階模態振型；(d) 第4階模態振型

(a) 第1階模態振型；(b) 第2階模態振型；(c) 第3階模態振型；(d) 第4階模態振型

(a) 第1階模態振型；(b) 第2階模態振型；(c) 第3階模態振型；(d) 第4階模態振型

表2 系統彈簧剛度因素水平表

表3 L9(34)正交實驗表

圖8 彈簧剛度與系統固有頻率的極差關系

由極差容易判斷出系統固有頻率f(=1，2，3，4)受彈簧剛度1，2，3和4因素的影響規律，也易判斷某彈簧剛度k(=1，2，3，4)分別對系統固有頻率1，2，3和4影響的關系。由圖8可得：系統固有頻率4，3，2和1受彈簧剛度影響程度依次遞減；彈簧剛度4，1，2和3對固有頻率4影響程度依次遞減，彈 簧剛度4，1，3和2對固有頻率3影響程度依次遞減，彈簧剛度4對固有頻率2影響較大，1，2和3對固有頻率2影響較小；彈簧剛度4對固有頻率1影響較大，1，2和3對固有頻率1影響較小。

4.2 慣性參數對固有頻率的影響

上平臺質量m及其繞軸的轉動慣量I對系統固有頻率的影響特性分別如圖9及圖10所示。從圖9和圖10可以看出：減振平臺固有頻率1，2，3和4都隨上平臺的質量及繞軸的轉動慣量增加而減小，此性質類似于單自由度減振系統。

4.3 幾何尺寸對固有頻率的影響

如圖1所示，本文所設計減振平臺的幾何尺寸包括減振平臺主動輸入1，1，1，1以及減振平臺各桿件長度2，2，2，3，3，3，4和1。由式可得出，1，2和2對系統固有頻率無影響，故只需討論幾何尺寸1，1，2，3，3，3，4和1對系統4個固有頻率的影響關系。其中1和1對系統固有頻率的影響特性如圖11和圖12所示。

采用正交試驗法，以上述8個參量作為分析因素，綜合考慮每個變量取2個水平，因素水平取值如表4所示，構造正交試驗表12(28)如表5所示。

將各數據組合代入式，并將所得各結果代入式，可得系統固有頻率1，2，3，4分別在8因素1，1，2，3，3，3，4和1下的相應極差，如圖13所示。

由圖13可以看出：1) 系統固有頻率4受幾何尺寸變化影響較大，且4，1，3，3，3，1，2和1對其影響效果依次遞減；2)1，1，3，1，3，4，2和3亦對固有頻率3產生影響，作用依次遞減；3) 固有頻率1和2受幾何尺寸的影響較小。

表4 幾何尺寸因素水平表

(a) 第1階模態振型；(b) 第2階模態振型；(c) 第3階模態振型；(d) 第4階模態振型

(a) 第1階模態振型；(b) 第2階模態振型；(c) 第3階模態振型；(d) 第4階模態振型

(a) 第1階模態振型；(b) 第2階模態振型；(c) 第3階模態振型；(d) 第4階模態振型

(a) 第1階模態振型；(b) 第2階模態振型；(c) 第3階模態振型；(d) 第4階模態振型

表5 L12(28)正交實驗表

圖13 幾何尺寸與系統固有頻率的極差關系

5 結論

1) 基于3-PRC并聯機構，引入了1個復合運動副(C)，設計了一種2-PRC-PR(C)并聯機構，該機構可通過改變復合運動副(C)的運動規律，轉化為三自由度3-PRC并聯機構或四自由度2-PRC-PR^C并聯機構?；谠摬⒙摍C構，在4個主動副處安裝彈簧阻尼，得到了基于2-PRC-PR(C)的多維減振平臺，可以滿足三維隔振與四維隔振工況要求。

2) 對該減振平臺進行了運動學、動力學分析。得到減振平臺處于3-PRC機構這一形位下的3階模態信息，可通過略去減振平臺處于2-PRC-PR^C機構形位下的第4階模態等效得到。

3) 影響減振平臺固有頻率的參數較多。鑒于部分參數之間的獨立性，本文將系統參數分為彈簧剛度，慣性參數以及機構幾何尺寸3類。對參數較多類別采用正交試驗方法，分析了各系統參數對系統固有頻率的影響特性。得到了各參數對各方向固有頻率的影響規律和貢獻量以及有關參量對系統固有頻率的影響不同于單自由度減振裝置的特性。本文為分析各參量對多維減振平臺固有頻率影響特性提供了一種新的思路，也為后期工作中設計具有特定固有頻率組合的多維減振平臺提供了依據。

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(編輯 楊幼平)

2-PRC-PR(C) parallel mechanism platform for vibration isolation and its dynamics

LIU Naijun, NIU Junchuan

(Shandong University Key Laboratory of High-efficiency andClean Mechanical Manufacture,Ministry of Education, School of Mechanical Engineering, Shandong University, Jinan 250061, China)

In order to meet the requirement to reduce the multi-dimensional vibration and shock from equipment and machines, a vibration isolation platform was proposed based on a 2-PRC-PR(C) parallel mechanism. This mechanism came from a 3-PRC parallel mechanism by replacing one of the cylindrical pairs at the moving platform with a combined pair. Thanked to the combined pair, the proposed platform could be switched between 3-PRC parallel mechanism with 3 degrees of freedom and 2-PRC-PR^C parallel mechanism with 4 degrees of freedom. 3 or 4 dimensional vibration isolation could be realized when spring damping were put on the active motion pairs. The kinematics and dynamics of the system were studied, and then the influence principle and contribution of the platform’s parameters on its natural frequency were analyzed by orthogonal experiment method. The results show that the relevant parameters effects on the natural frequency of the system are different from the single degree of freedom vibration reduction device.

parallel mechanism; vibration isolation platform; natural frequency; orthogonal experiment method

TH112

A

1672?7207(2017)04?0925?11

10.11817/j.issn.1672?7207.2017.04.011

2015?05?06；

2015?06?16

國家自然科學基金資助項目(51275275，51675306)；山東省優秀中青年科學家科研獎勵基金資助項目(BS2010ZZ006) (Projects(51275275, 51675306) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(BS2010ZZ006) supported by Research Award Fund for Outstanding Young Scientists of Shandong Province)

牛軍川，博士，教授，從事機械系統動力學、振動與噪聲控制研究；E-mail：niujc@sdu.edu.cn