微球內部電磁場的Mie理論數值計算

沈建琪, 邱俊程

(上海理工大學 理學院,上海 200093)

微球內部電磁場的Mie理論數值計算

沈建琪, 邱俊程

(上海理工大學 理學院,上海 200093)

采用Mie散射理論對平行光束與微球顆粒相互作用的內部場進行嚴格的描述并進行數值計算.對吸收性微球顆粒內部場進行數值計算時,如果粒徑及折射率虛部較大,其徑向函數會出現數據溢出,從而導致計算失敗,得出不合理的計算結果.通過引進徑向函數的變形,提出了一種克服數據溢出的算法,將徑向函數的數值控制在合適的范圍以內.通過數值計算得到了合理的結果,證明該算法克服了數據溢出,可以穩定地計算各種平行光照射下的微球顆粒內部場.

Mie理論; 內部場; 數值計算

球形顆粒與平面電磁波(平行光)的相互作用可以通過Maxwell方程組得到嚴格解,即Lorenz Mie理論[1-2].隨著微光學技術的不斷發展,人們對微球內部電磁場及其分布的研究越來越重視.微球內部電磁場分布在微激光的研制、醫學應用等領域具有重要價值[3-5].對微球內部電磁場的數值計算是研究微球內部電磁場分布及其諧振機制、熱效應等特性的基礎,涉及到球坐標系中的特殊函數計算,包括對Bessel函數和締合勒讓德函數的計算.非耗散性微球的折射率為實數,內部電磁場的數值計算相對容易.但耗散性微球的折射率為復數,對應的數值計算比較困難,需要克服數據溢出的問題.現有文獻主要針對粒徑較小和非耗散性(或弱耗散)微球內部場的研究,對于粒徑較大的情況主要通過幾何光學近似計算[6-9].

本文對微球內部電磁場的數值計算方法進行研究,重點考慮耗散性微球折射率參數對特殊函數計算的影響,提出了一種克服數據溢出的算法,并通過數值計算進行驗證.

1 內部場表達式

如圖1所示,根據Mie散射理論,時諧項取exp (-iωt),且入射光是電矢量沿x方向振動、沿z軸方向傳播的線偏振光時,微球內部電磁場場強在球坐標系中的3個分量[2]分別為

(1)

圖1 偏振平行光與微球相互作用示意圖

(2)

它們滿足如下遞推關系:

(3)

其初始值為π0=0,π1=1.

Mie系數cn和dn的表達式為

(4)

第一類Riccati-Bessel函數和第一類Riccati-Hankel函數以及它們的導數滿足相同的遞推關系.

(5)

(6)

2 算法描述

根據式(1),微球內部電磁場是無窮多個分波的疊加,其高階項較弱,因此,在數值計算中可選取一個截止項,對應的截止階數ns由下式決定[10-11]:

(7)

微球內部電磁場的計算包含了散射角函數πn和τn的計算、Mie系數cn和dn的計算以及徑向函數ψn(ρ)和ψ′n(ρ)的計算.散射角函數πn和τn的數值計算可由式(3)給出的遞推關系從低階函數π0和π1依次迭代得到,其數值在計算機可執行范圍內不存在溢出問題.

Mie系數cn和dn的計算和徑向函數ψn(ρ)和ψ′n(ρ)的計算需要考慮復數折射率導致的溢出問題.與時諧項exp(-iωt)相對應,折射率的虛部為正數,m=mre+imim(即mim≥0).因此,無因次徑向參數ρ=mkr也是一個復數,且靠近微球邊界(即r→α)時,ρ的虛部會比較大,ρim→mimα.從式(6)給出的遞推公式及其初始值可知,ψn(ρ)和ψ′n(ρ)與exp(ρim)成正比.因此,如果mimα很大,ψn(ρ)和ψ′n(ρ)可能溢出,導致計算失敗.基于同樣的原因,Mie系數cn和dn的數值計算存在同樣的問題.因此,在計算內部場分布時,為了克服數值的溢出,需要進行相關的處理.將式(1)的內部場表達式改寫為

(8)

對Mie系數cn和dn的表達式(式(4))作進一步推導,可得

(9)

(10)

(11)

(12)

式(10)中函數Nn(α,β)的計算可采用如下遞推關系:

(14)

(15)

3 數值計算驗證

微球內任意一點的電場能量密度

(16)

式中,ε1是微球的介電常數.

當入射光為自然光時,內部電場各分量為

(17)

本文僅考慮微球內部場的分布,不考慮場的絕對大小.為簡便起見,在以下的數值計算中取ε1/4=1.

圖2給出了采用式(8)計算得到的粒徑無因次參數α=200時,各種不同折射率的微球內部場曲面分布圖.其中,水滴的折射率為m=1.33,Cu,Ag和Al微球在入射光波長為632.8 nm時的復數折射率分別為m=0.307 03+3.434 5 i,m=0.156 67+3.804 5 i和m=1.266 7+7.281 1 i.

圖2 各種不同折射率的微球內部場曲面分布圖

數值計算顯示,當微球折射率為實數或折射率虛部較小(圖2(a)和2(b))時,式(1)和式(8)的數值計算結果相同.但是,當微粒折射率虛部較大(圖2(c)和2(d))時,采用式(1)計算內部場遇到數據溢出問題;而采用式(17)計算依然可以得到合理的結果.這是由徑向參數ρ=mkr虛部(即ρim)的大小決定的.在式(1)的計算中,其中間變量與e-ρim有關,當ρim≥710時,可導致數值出現溢出.在所考慮的幾個算例中,水滴的ρim=0,因此,式(1)和式(8)實際上是一致的,可以得到完全一致的計算結果.對于Cu,Ag和Al微球,徑向參數虛部的值分別為ρim=686.9,ρim=760.9和ρim=145 6.因此,Cu微球的兩種計算方法結果一致,而Ag和Al微球的計算只能采用式(17).

從各種不同的吸收情況(對應不同的復數折射率)來看,非吸收性微球內部場遍及了整個微球,且在前向和后向具有較強的分布.對于吸收性微球,由于媒質的吸收效應,內部場主要分布在微球表面部分.

圖3給出了采用式(17)計算得到的粒徑無因次參數α=200時,不同波長的入射波照射下Li微球內部場曲面分布圖.

數據計算結果顯示,隨著入射波波長的增大,Li微球對光能量的吸收增強,與之相對應,在顆粒吸收能力較弱時內部場比較強.反之,隨著吸收的增強,內部場逐漸減小,并趨向于在微球表面集中.

圖3 不同波長入射波照射下Li微球內部場曲面分布圖

4 結 論

在Mie理論內部場數值計算中,其徑向函數(即Riccati-Bessel函數和Riccati-Hankel函數)的數值范圍與微球顆粒的吸收特征(即復數折射率的虛部)有關,強吸收情況下會導致數據溢出.本文對徑向函數進行變形處理,將數值控制在合理的范圍內,克服了數據計算溢出問題.不同吸收參數情況下的數值計算結果表明,該算法穩定可靠,可以得到合理的計算結果.

[1] VAN DE HULST H C.Light scattering by small particles[M].New York:Dover Publications,1981.

[2] BOHREN C F,HUFFMAN D R.Absorption and scattering of light by small particles[M].New York:John Wiley & Sons,1983.

[3] DATSYUK V V.Optics of microdroplets[J].Journal of Molecular Liquids,2001,93(1/2/3):159-175.

[4] LIN H B,CAMPILLO A J.Microcavity enhanced Raman gain[J].Optics Communications,1997,133(1/2/3/4/5/6):287-292.

[5] ARNOLD S,HOLLER S,GODDARD N L.Fluorescence microscopy and spectroscopy of an isolated micro-droplet[J].Materials Science and Engineering:B,1997,48(1/2):139-146.

[6] KAI L,D’ALESSIO A.Internal-field characteristics of spherical particles[J].Particle & Particle Systems Characterization,1995,12(5):237-241.

[7] LAI H M,LEUNG P T,POON K L,et al.Characterization of the internal energy density in Mie scattering[J].Journal of the Optical Society of America A,1991,8(10):1553-1558.[8] VELESCO N,KAISER T,SCHWEIGER G.Computation of the internal field of a large spherical particle by use of the geometrical-optics approximation[J].Applied Optics,1997,36(33):8724-8728.

[9] LI C H,KATTAWAR G W,ZHAI PW,et al.Electric and magnetic energy density distributions inside and outside dielectric particles illuminated by a plane electromagnetic wave[J].Optics Express,2005,13(12):4554-4559.

[10] BOTT A,ZDUNKOWSKI W.Electromagnetic energy within dielectric spheres[J].Journal of the Optical Society of America A,1987,4(8):1361-1365.

[11] WISCOMBE W J.Improved Mie scattering algorithms[J].Applied Optics,1980,19(9):1505-1509.

[12] SHEN J Q.Algorithm of numerical calculation on Lorentz Mie theory[J].PIERS Online,2005,1(6):691-694.

[13] LENTZ W J.Generating Bessel functions in Mie scattering calculations using continued fractions[J].Applied Optics,1976,15(3):668-671.

[14] SHEN J Q,WANG H R.Calculation of Debye series expansion of light scattering[J].Applied Optics,2010,49(13):2422-2428.

(編輯:石 瑛)

Numerical Calculation of the Electromagnetic Field Inside the Microsphere with Mie Theory

SHEN Jianqi, QIU Juncheng

(CollegeofScience,UniversityofShanghaiforScienceandTechnology,Shanghai200093,China)

The classical Mie theory was used to exactly describe the field inside the sphere in the interaction between the parallel beams and microsphere particles.If the particle size and the imaginary part of the refractive index are large,The data overflow by the calculation of radial function for an absorbing microsphere particle will appear,which leads to the failure of the calculation,and the unreasonable results are obtained.In order to overcome the overflow,an algorithm was proposed by introducing modified radial functions so as to keep their values in an appropriate range.Numerical calculations were conducted and reasonable results were obtained.The results demonstrate that the algorithm can overcome the data overflow successfully,and it can also be used to calculate any internal field of microsphere particles interacting with various parallel optical beams.

Mietheory;internalfield;numericalcalculation

1007-6735(2017)02-0159-06

10.13255/j.cnki.jusst.2017.02.011

2016-05-19

國家自然科學基金資助項目(NSFC51476104)

沈建琪(1965-),男,教授.研究方向:光散射理論與顆粒測試技術研究.E-mail:jqshenk@163.com

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