自主構建 動態生成

陸英俊??

摘 要：指數函數是學習函數的概念、圖象與性質后遇到的第一個基本初等函數，所以在知識與方法上要發揮承上啟下的作用，一方面要探究指數函數的圖象與性質，是對前面學習內容的具體實踐；另一方面要通過實踐建構研究函數的一般方法，為后面其他函數的研究奠定基礎。在課堂教學中，讓學生自主構建，感受指數函數的圖象與性質，生成自己對指數函數的理解。

關鍵詞：自主構建；指數函數；課堂實錄；教學反思

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）24-099-2

筆者有幸參加2016年9月底鹽城市高中青年數學教師優秀課觀摩與評比活動，所授課題為《指數函數（第1課時）》，教材為蘇教版必修1，學生為四星級高中——江蘇省射陽中學的高一學生。回顧本課題的教學設計以及實際教學過程，感觸頗多。

一、總體設計說明（略）

二、教學過程剖析

1.創設情景，建構概念

師：通過前面的學習，同學們明白了函數是刻畫客觀世界變化規律的數學模型。那么初中階段學過哪些基本函數呢？

生：一次函數、二次函數、反比例函數。

師：比如二次函數的一般形式是什么呢？

生：y=ax2+bx+c（a≠0）。

師：許多函數模型是從實際問題中提煉、抽象出來的。今天我們將一起從新的問題情境中探索新的函數模型。

情境1：某細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，……以此類推，寫出一個這樣的細胞分裂x次后，得到的細胞個數y與分裂次數x之間的函數關系式。

情境2：某種放射性物質不斷變化為其他物質，每經過一年這種物質的質量是原來的84%，如果經過x年，該物質的質量為y，如何描述這兩個變量的關系？

設計意圖：從具體情景案例中引入課題，能夠讓學生感受到指數函數與實際生活的聯系，感受指數模型。

學生得到了兩個變量之間的關系，同時得到解析式為y=2x，（x∈N）和y=0.84x，（x∈N）。

師：接下來我們進行一般化，抽離實際背景并擴充定義域為R，得到函數y=2x和y=0.84x。這樣的函數大家見過嗎？你還能舉出類似的函數嗎？

生：（舉例）函數y=3x，y=4x，y=0.2x，y=（13）x。

師：這些函數有什么共同特點呢？

生：都是指數運算，底數是常數，自變量在指數位置。

師：這些函數可以統一形式嗎？

生：可以統一寫成形式：y=ax。

設計意圖：讓學生經歷自主舉例，先歸納共同特征，然后將形式統一化，抽象化，初步形成指數函數的概念，并用數學符號表示。

師：y=ax中，自變量是x，底數a是常數，剛才舉例的函數，區別就是底數不同。那么底數可以取哪些值呢？底數允許的范圍是什么呢？

生：底數不能為負數。

師：能說明理由嗎？

生：如果底數取了負數，比如-2，那么指數x=0.5時沒有意義了。

師：底數還有要求嗎？

生：底數不能為0。

師：為什么？

生：底數為0時，指數取-2時也沒有意義。

師：為了研究的方便，我們要求底數a>0。

生：當底數取1時，函數簡化為熟悉的常數函數y=1。

師：這個常數函數我們已經研究過了，沒有必要再研究。所以通常還規定a≠1。

通過探討，得到了最基本、最簡潔的形式：y=ax（a>0且a≠1），從而建構了指數函數的概念。

設計意圖：引導學生回憶函數的三要素及函數歸類的依據。函數的定義域與對應法則是函數概念的重點，考查函數往往首先觀察定義域與對應法則。所以用集合觀點看，既滿足對應法則的統一要求又滿足定義域的統一特點，才歸類到名為“指數函數”的集合中來。

2.探索圖象，歸納性質

（1）初定研究方法

問題串師：定義了一種新的函數，接下來我們要研究什么呢？如何研究指數函數的性質呢？一般研究函數的哪些性質呢？

設計意圖：用問題串引導學生先明確研究的內容與方法，從總體上認識研究的目標與策略。教師可以抓住研究的內容和方法，通過問題串的方式對學生進行啟發。

師：我們定義了一種新的函數，接下來我們研究什么呢？

生：接下來研究函數的圖象與性質。

師：一般地，我們研究函數的哪些性質呢？

生：定義域、值域、奇偶性、單調性。

師：怎么研究函數的性質呢？

生：先畫出指數函數的圖象，分析圖象得到性質。

生：先畫幾個具體的指數函數的圖象，然后再研究一般的情況。

設計意圖：從具體的指數函數圖象出發，觀察圖象特征并分析性質，進而猜想和歸納一般的指數函數的圖象特征與性質。需要注意，觀察圖象特征的同時，還要有意識的歸納，對結論做必要的理性思考，運用數形結合的思想來分析、研究問題。

師：那么同學們自己選3、4個指數函數，畫出圖象，然后觀察它們的性質。

師：那么有待研究的新函數，我們有什么辦法畫出函數的圖象嗎？

生：用以前初中學過的描點法。

師：描點法的一般步驟是什么呢？

生：一般步驟是：列表、描點、連線。

設計意圖：高一學生更習慣于形象思維，所以提出用圖象來研究函數的性質。這樣的方法能夠符合學生實際情況，但教師要提示學生關注研究的目標，體會從具體到抽象、從特殊到一般的思維方法。

（2）自主探究，歸納性質

展示學生所畫圖象時，可以考慮分層次展示：（1）在一個坐標系里只畫出一個函數圖象；（2）在一個坐標系里畫出兩個函數圖象；（3）在一個坐標系里畫出兩個底數都大于1的函數圖象；（4）在一個坐標系里畫出一個底數大于1，而另一個底數小于1的函數圖象；（5）在一個坐標系里畫出兩個底數互為倒數的函數圖象。這樣層層遞進的方式呈現，讓學生的思維深化到更深的層次中。

設計意圖：觀察圖象是對圖形語言的感受。根據圖象描述性質，是將圖形語言轉化為符號語言或文字語言。教師應引導學生關注不同的指數函數圖象的“不變”，來提煉出一般化的性質。并且將函數圖象的直觀感受與理性思維相結合，將觀察所得的結論進行適當的說明或證明。在此過程中，幫助學生由具體指數函數的性質歸納到一般指數函數的性質。

歸納性質應當有條理，可以根據性質按照層次歸納：（1）一般函數都有的共性性質，如定義域、值域、奇偶性、單調性、周期性等；（2）一類函數特有的個性性質，比如過定點、漸進線等；（3）函數之間的關系與性質。

歸納得到的結論需要進行驗證。對指數函數的性質，可以從代數方面去說明或證明，也可以借助于多媒體通過動態圖象的驗證，進一步體現嚴謹性。

3.知識運用，深化理解

師：現在我們了解了指數函數的概念與性質，它有什么用處呢？

例題 比較下列各組數種兩個值的大小：

（1）1.72.5 1.73.2；（2）0.6-1.2 0.6-1.5；（3）1.50.8 0.81.2

設計意圖：大部分學生會利用函數的單調性比較大小。前兩個小問，學生較快發現利用y=1.7x和y=0.6x的單調性進行比較大小。其中部分學生解決第3小問時有一些困難。教師在處理這個難點時，要在第1小問和第2小問中，滲透圖象的研究體現函數圖象的作用。在第3小問中，畫出兩個指數函數y=1.5x和y=0.8x的圖象后發現公共點（0，1），從而分別將兩個數與1進行大小比較。

例題雖是比較數值的大小，實則需要函數的觀點，利用函數的單調性來解決問題。關鍵在于如何引入函數，這正是提升學生思維能力的好機會。

變式1：比較下列兩個數大小：a0.7，a1.3（其中a>0且a≠1）

設計意圖：讓學生感知底數含有參數時，需要分類討論進行研究。培養學生分類討論的數學思想與方法。

變式2：（1）已知3m≥30.5，求實數m的取值范圍；

（2）已知0.2n≥25，求實數n的取值范圍。

設計意圖：作為例題的逆向思考，指數函數單調性的逆用。加強學生對構建函數利用單調性來比較大小的理解。

4.概括知識，總結方法

師：本節課同學們學到了哪些知識？

生：學到了指數函數的概念、圖象與性質。

師：經歷了怎樣的研究過程？

生：從特殊函數到一般函數，從具體到抽象。

師：知識層面上，我們學習了指數函數的概念、圖象及性質；方法層面上，從特殊到一般、從具體到抽象是我們研究指數函數的方法，也是研究其他函數的一般方法，今后我們還會運用這些方法來研究新的函數；數學思想層面上，數形結合、特殊到一般、分類討論這些數學思想都有所體現。

設計意圖：課堂總結不僅是對所學知識的回顧，也是對研究方法、研究策略上的一種提煉與反思，讓學生在知識和能力上都有所提升。

5.分層作業，因材施教（略）

三、教學反思

1.數學教學以知識為載體，以問題為核心，在問題解決的過程中發展能力

學生的學習是在已有經驗基礎上對新知的建構，數學新知的教學應當以知識為載體，以問題為核心。在課堂中以問題串的方式讓學生探索，在學生逐步解決問題的過程中也發展了數學研究的能力。問題是引發學生思維和探究活動的向導。有了問題，學生的好奇心才能激發；有了問題，學生的思維閘門才能開啟，有了問題，學生的探究活動才有載體。教師只有通過設計恰當的問題，才能使教材中知識的邏輯結構轉化為學生的認知結構，才能把教材中的冰冷美麗轉化為學生的火熱思考，才能把教材中靜態的知識呈現轉化為課堂上動態的建構過程。[1]本課例中，如“定義了一種新的函數，接下來我們要研究什么呢？如何研究指數函數的性質呢？一般研究函數的哪些性質呢？”這樣的問題串引導學生思考研究的方法與策略，為指數函數的研究指明了方向，從而“努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程與本質”，“使學生理解數學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊含在其中的思想方法”[2]，實現從知識學習到智慧生成。

2.探究式學習讓學生的思維訓練做到自主構建，動態生成

高中數學課程倡導自主學習、探究學習等多種學習方式。體驗數學發現與創造的過程，發展自主創新的精神。這樣的學習方式讓學生的思維能夠自主構建知識網絡，動態生成知識的因果關系。

“數學生態課堂的生成是學習者原有認知結構與從環境中接受的感覺信息相互作用、主動建構的過程，是動態的、發展的，最終達到對數學意義的理解與鮮活思維的交流，讓學生感受到課堂中生命的涌動和成長，使學生的心智得以健全發展，把課堂看成文化傳遞的途徑，只體現了數學的保存價值，而未體現生成作用。數學教學要通過數學課堂對文化起到增值作用。只有師生雙方充分發揮其主動能動性，才能創造數學課堂的生成價值和生命價值。”[3]在本課例中，讓學生自主舉例、自主觀察函數的共同特征，從而構建指數函數的概念；讓學生自選函數畫出圖象、自主感受圖象的規律，生成自己對指數函數性質的理解。

[參考文獻]

[1]卓斌.例談數學教學中問題串的設計與使用[J].數學通報，2013（06）.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].人民教育出版社，2003.

[3]宋曉平，單墫.數學課堂文化的反思與建設[J].數學教育學報，2005，14（4）.