基于ARMA模型的黃金期貨價格實證分析

徐珺

摘 要：本文利用基于隨機時間序列分析的ARMA模型構建黃金期貨價格預測方法。首先對一段時間內黃金期貨價格的時間序列進行平穩化處理，識別其適合的ARMA模型，并檢驗參數估計的統計學意義和殘差的白噪聲特性，從而對時間序列后續的數據進行預測。本文對2006年1月2日至2016年1月10日的523個紐約交易所黃金期貨（GCJ7）周平均價格進行實證分析，結果表明平穩化后的時間序列適合MA模型，模型殘差序列屬于白噪聲系列。靜態預測方法表明模型相對平均誤差為1.69%，向前三步（2016年1月11日、18日、25日）預測結果相對誤差小于2%，說明ARMA模型在黃金期貨價格短期預測（3-4周內）上精度較高，具有一定的應用價值。

關鍵詞：黃金期貨價格；時間序列；ARMA（p，q）模型；短期預測

中圖分類號：F22；F830.94 文獻標識碼：A 文章編號：2095-7866 （2017） 04-016-07

引言

黃金是一種重要的金融投資品，具有良好的避險與保值功能，因而一直是投資的熱點。因此，如何正確地預測黃金價格，從而更理性地在黃金市場中進行投資，是黃金市場眾多投資者所面對的難題。研究黃金價格預測的方法具有重要的現實意義。國內外學者較多地從影響黃金價格變動的因素，如世界黃金資源供需狀況、美元指數、石油價格以及世界政治經濟形勢[1]等等著手，研究黃金價格與影響其變動的主要因素之間的關系，從而建立回歸模型。但由于黃金是一種同時擁有商品屬性和貨幣屬性的特殊商品，影響其價格的因素眾多，同時，隨著時間和條件的改變，影響因素對于黃金價格的作用方式和程度也會不同，并且黃金價格的各個影響因素之間也會發生相互作用，使得黃金價格的預測變得較為復雜。其中，李京[2]采用GA—BP算法針對黃金價格進行了預測建模分析，該算法沒有對復雜、非線性且具有嚴重不確定性金融系統的提出經驗性假設條件，直接利用黃金價格以及相關宏觀經濟數據的輸入/輸出數據進行學習并進行預測，但忽略了黃金價格波動的隨機性，該方法會帶來比較大的偏差。劉二菊[3]先將灰色預測模型GM（1，1）與馬爾科夫鏈結合得到灰色馬爾科夫預測模型（GM-Markov模型）來對隨機波動性較大的黃金價格時間序列數據進行預測，并在此基礎上，對GM-Markov 模型進行改進，即將新陳代謝灰色預測模型與加權馬爾科夫鏈預測結合形成的組合預測模型，應用于該隨機波動性較大的黃金價格時間序列數據中進行預測，以尋求一種能夠更為精確預測黃金價格的模型方法，但由于馬爾科夫過程的無后效性，對于那些數據前后相關性大的黃金數據時間序列，這也會引起偏差。由于黃金價格數據蘊含著豐富的信息，因此我們運用時間序列建模的方法來分析黃金價格的變動，能使黃金價格的預測變得較為合理。本文將以2006年1月2日至2016年1月10日的紐約交易所黃金期貨（GCJ7）周平均價格為例，通過建立ARMA模型即自回歸移動平均模型，對黃金期貨價格進行預測。

一、ARMA模型基本理論及建模方法簡述

（一）基本理論

ARMA模型即自回歸移動平均模型是一類常用的隨機時間序列分析模型，由博克斯（Box）和詹金斯（Jenkins）創立，也稱B-J方法。其基本思想是：某些時間序列是依賴于時間的一族時間變量，構成該時序的的單個序列值雖然具有不確定性，但整個序列的變化卻有一定的規律性，可以用相應的數學模型近似描述[4]。

ARMA模型有三種基本類型：自回歸模型、移動平均模型以及自回歸移動平均模型。其中，自回歸模型（AR）通常反映經濟變量的當前值與其過去值的關系；移動平均模型（MA）反映了經濟變量當前值與當前及過去的隨機誤差項的關系；兩者結合的模型即為自回歸移動平均模型（ARMA）反映了當前值與過去值和隨機誤差項之間的關系，通常我們用AR（p）、MA（q）或ARMA（p，q）來表示對應的滯后時期。

AR（p）模型的一般形式為：

MA（q） 模型的一般形式為：

ARMA（p，q） 模型的一般形式為：

其中，p和q分別為該模型的自回歸階數和移動平均階數；φt和θt為不為零的未知參數；ut為獨立的誤差項；Yt為時間序列。

（二）建模方法

針對時間序列的建模方法，主要包括以下幾個步驟[5，6]：

（1）時間序列的預處理.根據時間序列的散點圖、自相關函數（ACF）和偏自相關函數（PACF）分析結果，檢驗其趨勢及其季節性變化規律，用ADF單位根檢驗方法判斷該時間序列的平穩性。如果該時間序列是非平穩的，則需要對數據進行平穩化處理（通常為一階差分處理，若差分后仍未平穩，可采用二階或以上的差分處理）。

（2）模型的識別.模型的識別即通過時間序列樣本自相關系數（ACF）和偏自相關系數（PACF）的值選擇適當的ARMA模型和相應的p、q值，若平穩序列的偏相關函數在p后截尾，而自相關函數是拖尾的（呈幾何型或振蕩型衰減趨于0），可斷定序列適合AR模型；若平穩序列的偏相關函數是拖尾的，而自相關函數在q后截尾，則可斷定序列適合MA模型；若平穩序列的偏相關函數和自相關函數均是拖尾的（ACF在q階后衰減趨于0，PACF在p階后衰減趨于0），則可斷定序列適合ARMA模型。

（3）模型的參數估計.使用最小二乘法計算模型未知參數的值，并檢驗其是否具有統計意義。若參數不顯著，則應舍去不顯著的系數并進行重新估計[7]。

（4）殘差的白噪聲檢驗.對模型的殘差序列進行檢驗，判斷其是否為一個白噪聲序列。若殘差是白噪聲序列，就說明時間序列中有用的信息已經被提取完畢了，無需對模型再做修改。如果殘差不是白噪聲，就說明殘差中還有有用的信息，需要修改模型進行進一步提取。

（5）模型的預測.利用已建立的ARMA模型對原始數據以外的數據進行預測，確定所建立的模型是否可以用于樣本觀測值以外的范圍，檢驗模型的超樣本特性[8]。

二、實證分析

（一）數據選取及模型的預處理

本文數據選取紐約交易所2006年1月2日至2016年1月10日的紐約交易所黃金期貨（GCJ7）收盤價格的周平均數據，共523個數據，黃金期貨價格以金衡盎司為單位，美元計價。計量分析軟件使用的是Eviews6.0版本。得到樣本數據Y的時序圖如圖1所示。

由圖1可看出在2011年以前，黃金價格走勢呈明顯的振蕩上揚態勢，而12年后則明顯呈下跌趨勢。

時間序列的樣本自相關系數和樣本偏相關系數圖見圖2。

可以看出樣本的自相關系數遠在95%的置信區間之外，且除去隨機因素，它的值接近1，因而結合上兩圖可判斷該黃金價格序列是一個非平穩序列。對于該序列需要對數據進行差分處理，以此來消除數據的趨勢性，使序列平穩化。差分后得到序列D（Y），如圖3所示。

可以看出樣本的自相關系數遠在95%的置信區間之外，且除去隨機因素，它的值接近1，因而結合上兩圖可判斷該黃金價格序列是一個非平穩序列。

通過作差分時序圖發現，原始數據進行一階差分后，數據的趨勢性基本消除了，數據大致圍繞一個固定值上下波動，可初步判斷該序列為平穩序列。

為了進一步確認一階差分后序列的平穩性，我們引入單位根檢驗（ADF）[9]，單位根檢驗是時間序列的平穩性檢驗中普遍應用的一種方法。檢驗方法為將檢驗所得到的t統計量與ADF分布表中給定顯著水平下的臨界值比較，如果t統計量小于臨界值，則拒絕零假設，認為時間序列不存在單位根，是平穩的時間序列。檢驗結果如圖4所示。

由上圖檢驗結果發現，顯著性水平為5%時，D（Y）的ADF檢驗統計量-18.46809小于的臨界值-2.866868，且其伴隨概率P=0.0000<0.05，因而拒絕零假設，即認為D（Y）不存在單位根，是平穩的時間序列，可建立ARMA（p， q）模型。

（二）模型的識別

確認了序列的平穩性后，接下來就需要進行ARMA模型p、q的識別，p和q值可以通過觀察樣本的自相關與偏自相關系數圖來獲得，具體方法前文已有講述。黃金價格一階差分序列的自相關（AC）和偏自相關（PAC）分析結果如圖5所示。

可以大致判斷該序列的自相關和偏自相關系數均在1階以后顯著不為零，無法采用一般方法來判定p、q值，我們初步嘗試建立ARMA（1，1）模型，結果如圖6所示。

該模型滯后多項式倒數根均在單位圓內，因而該模型是平穩且可逆的。但經檢驗發現，如果采用ARMA（1，1）模型，則模型里每一項的系數都無法通過顯著水平為5%的t檢驗，即系數均不顯著。因此，繼續嘗試嘗試AR（1）和MA（1）模型，結果如圖7和圖8所示。

以上模型滯后多項式倒數根均在單位圓內，因而該模型是平穩且可逆的。通過t檢驗，AIC準則和SC準則輔助判斷得出，MA（1）模型的系數較為顯著，且AIC、SC值相對較小，因而選擇MA（1）模型對黃金價格的一階差分系列進行建模較為合適。

（三）模型的建立

由上圖MA（1）參數估計結果可知，模型對應的表達式為：

其中ut，ut-1是均值為零的白噪聲序列。

（四）模型殘差的白噪聲檢驗

對模型的殘差序列進行白噪聲檢驗，檢驗結果如圖9所示。

如圖可知，殘差序列的自相關系數和偏自相關系數都在95%的置信區間內，說明其沒有顯著異于零，且Q統計量的伴隨概率P全都大于0.05，因此可以判定已建立模型的殘差序列是一個白噪聲序列。

（五）模型的擬合與預測

采用Eviews軟件中的靜態預測方法，將模型與原始數據進行擬合，得到如圖10結果。

如圖所示，該模型的相對平均誤差（Mean Abs. Percent Error）為1.69%，且預測值（YF）都在置信區間之內，說明模型與原始數據擬合程度很高，預測效果很好，可以以用該模型對未來黃金價格進行預測。但是，由于ARMA模型只能依據黃金價格本身的時間序列數據來進行預測，隨著時間的延長，其預測精度會受其他因素的影響而下降，隨之產生誤差會逐步積累，因而只能進行短期預測[10]。

利用該模型進行向前八步預測，預測結果如表1。

可以看到，該模型的預測前三步相對誤差小于2%，還是比較準確的，說明該模型在黃金期貨價格的短期預測上具有一定的應用價值。

三、結論

影響黃金價格變動的因素是多樣且復雜的，本文不對影響黃金價格的各種因素的作用機理做具體分析，而是從黃金價格本身的時間序列著手，應用了ARMA模型的相關知識，對2006年1月2日至2016年1月10日的紐約交易所黃金期貨（GCJ7）周平均價格數據建立了MA（1）模型，并對黃金價格的走勢進行分析及預測，結果顯示，該模型預測值與實際數據相比擬合度較高，短期預測結果較為精確，說明該模型具有較高的應用價值，這為投資者如何更準確而理性地投資黃金提供了方法和理論依據，但由于ARMA模型僅適用于短期預測，如果投資者要在黃金市場進行長期投資，還需要考慮黃金資源供需狀況、美元指數、石油價格等影響黃金價格變動的因素。

參考文獻

[1] 謝為，鄭明貴.世界黃金價格影響因素模型研究[J].有色金屬科學與工程，2012，3（3）：90-94.

[2] 李京.GA-BP算法在黃金價格預測中的應用[J]. 金融經濟：理論版， 2010（1）：73-74.

[3] 劉二菊.基于GM-Markov模型的國際黃金價格預測研究[D]. 蘭州商學院， 2014.

[4] 許貴陽.中國黃金現貨價格預測模型——基于時間序列的數據分析[J].中國證券期貨， 2010（12）：12-13.

[5] 朱霞坊，陳宗毛.時間序列模型在黃金價格預測中的應用[J].商情， 2011（42）：93-94.

[6] 孫穎.基于ARIMA模型的消費者價格指數預測[J]. 統計與決策， 2016（11）：83-85.

[7] 曹晶，李博. 線性與非線性單方程時間序列建模在黃金現貨價格預測分析中的實證研究——基于ARMA模型及GARCH模型族[J]. 商場現代化，2010，（26）：182-184.

[8] 李子奈，潘文卿.計量經濟學（第三版）[M].高等教育出版社， 2010：16.

[9] 高鐵梅.計量經濟分析方法與建模[M].北京：清華大學出版社，2006：145-151.

[10] 魯思瑤，徐美萍.基于ARIMA模型的黃金價格實證分析[J].西南民族大學學報（自然科學版）， 2015， 41（2）：260-264.