底部框架雙功能減震結構地震響應分析

張敏 占科彪

摘 要：為探究底部框架砌體房屋在地震激勵下的地震響應，分析了底部兩層框架上部四層砌體結構的計算模型，在底部兩層框架中均勻設置粘滯阻尼器并在框架頂層與砌體層之間增設隔震層，形成底部框架雙功能減震結構.采用狀態方程直接積分法對結構進行地震激勵下的響應分析，且與SAP2000軟件建立的減震和抗震結構模型分析結果進行對比，分析結果表明，兩種方式下結構的地震響應基本吻合；另外，還采用強制解耦法進行了相應計算，并與前述積分法對比，結果表明，強制解耦法隨著振型階數的增大，精度逐漸降低，但在前二階振型中具有很好的精度，超過第三階誤差將逐漸增大.研究結果表明，減震結構具有良好的減震性能，狀態方程直接積分法對于底部框架雙功能減震結構的計算具有較強的實用性.

關鍵詞：底部框架；阻尼；隔震；減震；狀態方程；解耦

中圖分類號：TU352.1 文獻標志碼：A

0 引言

底部框架砌體房屋可以充分利用底部框架的優點，較靈活地進行服務大廳、商鋪、餐廳等大空間的布置；而上部采用多層砌體結構形式，可用作辦公室、住宅和小旅館等小空間建筑.底部框架砌體房屋由兩種承重和抗側力體系構成，屬于下部較柔上部剛度較大且自重大的結構.1994—1999年，中國建筑科學研究院抗震所等單位，對該類結構的抗震性能和設計方法進行了一系列研究[1-4] .國內對底部框架砌體房屋的一般做法是在底層或者底部兩層的縱向和橫向都均勻布置一定數量的抗震墻，且在設計上讓抗震墻幾乎承擔全部的地震剪力，但是底層的抗震墻布置得不合理時，就難以使其充分發揮作用，可能會改變底層框架的受力和變形形式[5]，從而對結構整體抗震能力產生不利影響.至今，對多層隔震結構[6]和基礎隔震[7]結構研究較多，為改善該類結構的抗震性能，也有學者提出被動耗能減震的設計方法[8].2006年，黃文等[9]提出把隔震橡膠墊放置在上部砌體與底層框架結構之間的隔震措施，得到隔震層具有較大的變形和耗能能力，大大削弱了地震對建筑結構的影響.汶川地震后，許多學者對該類房屋的震害作了詳細的調查和分析[10-11].2013年，申波等[12]提出了在底部框架層增設防屈曲支撐的減震方式，結果表明在底部框架砌體房屋中增設防屈曲支撐有利于結構耗能，可以提高結構整體的抗震性能.另外，在結構上設阻尼器以改善結構抗震性能的研究也很多[13-15].近年來，為探索耗能減震結構新的設計方法，有關學者[16-17]提出了狀態方程直接積分的計算方法，并驗證了該方法的合理性以及精確性.

本文提出對底部兩層框架層增設粘滯阻尼器，并在底部框架與上部砌體結構間增設隔震層，形成底部框架雙功能減震結構，該結構在底部框架中設阻尼器，并在上部砌體結構底部設隔震裝置來減弱下部框架的地震反應；上部砌體底部的隔震裝置可降低上部砌體結構的地震作用.由于國內對底部框架房屋利用該種混合減震設計方法的研究極少，故本文提出該結構并對其采用狀態方程直接積分法求解其振動微分方程，并借助軟件SAP2000對分析結果進行合理性驗證.

1 底部框架雙功能減震結構計算模型

底部兩層框架雙功能減震結構由于在底部框架層增設了粘滯阻尼器，因而可以將下部兩層框架簡化為兩個質點.隔震層以上砌體結構，由于本身的層間變形相對底部框架小得多，因而可忽略上部砌體的層間變形，簡化為一個質點.該結構計算模型見圖1.

圖1中，m1，m2分別為下部框架第一層和第二層的質量；c1，c2分別為下部框架第一層和第二層的阻尼系數，包括結構自身阻尼系數和阻尼器附加的阻尼系數；k1，k2分別為下部框架第一層和第二層抗側剛度，不考慮粘滯阻尼器對結構剛度的增加；mu為上部砌體結構的總質量；ku，cu分別為隔震層的水平等效剛度和阻尼系數[18]；x1，x2，xu為底部框架第一、第二層和上部砌體結構整體相對于基礎的位移；g為地面加速度時程.

一般地，當底部框架有n層時，在地震作用下，結構振動方程為：

M+C+Ca+KX=-MIg （1）

其中：

M=；C=； M0=diag（mi）（i=1，2，…，n）

Ca=； K=

E=； E0=； X==

式中，M——結構整體質量矩陣；Ca——阻尼器和隔震裝置附加給結構整體的阻尼矩陣；Cd——阻尼器附加給底部框架阻尼矩陣；M0——底部框架質量矩陣；C0——底部框架自身的阻尼矩陣；K0——底部框架剛度矩陣；X——結構整體各樓層相對基礎的位移； x——底部框架各樓層相對基礎的位移，0——零向量.

2 狀態方程直接積分法

2.1 地震作用響應

對設置了粘滯阻尼器和隔震支座的底部框架雙功能減震結構，令X=？椎q，則方程（1）變為：

++q=-？椎TMIg（2）

式中，=？椎TM？椎，=？椎TK？椎和=？椎T（C+Ca）？椎分別為廣義質量、廣義剛度和廣義阻尼矩陣，？椎為整體結構振型矩陣，q為正則坐標向量.將方程（2）寫為狀態方程形式，令：

Z=q （3）

=（4）

并補充方程-=0，可得：

=AZ+P（t） （5）

其中：

A= （6）

P（t）=g （7）

對方程（5）進行求解，取初始狀態Z0=0，可得：

Z=eA（t-？子）P（？子）d？子（8）

假設輸入系統的信號在時間段？駐t=tk+1-tk內連續變化，則第（k+1）步時的響應可表示為：

Zk+1=eP（？子）d？子=eeP（？子）d？子+eP（？子）d？子=

？漬（？駐t）Zk+eP（？子）d？子（9）

其中，？漬（？駐t）為指數形式的狀態轉移矩陣I為單位矩陣，其展開如下式：

？漬（？駐t）=eA△t=I+A？駐t+++？噎++？噎（10）

采用Cotes積分法，可得：

Zk+1=？漬（？駐t）Zk+（7？漬（？駐t）P（tk）+32？漬（）P（tk++

12？漬（）P（tk+）+32？漬（）P（tk+）+7P（tk+1））（11）

進而求得：

=AZ+P（t） （12）

q=Hd Z （13）

=Hv Z （14）

=Hv （15）

其中：

Hd=[I 0] （16）

Hv=[0 I] （17）

從而可得結構地震響應X=？椎q，=？椎和=？椎，其中0——0矩陣.

2.2 地震作用分析

《建筑抗震設計規范》（GB50011-2010）[19]定義的地震作用是以自身阻尼較小的抗震結構為對象，因此忽略了阻尼而采用質點質量與其絕對加速度乘積的形式.但設置阻尼器后，結構阻尼較大，原定義就不能再被采用，故本文各質點地震作用向量一般定義：

F=KX （18）

因為X=？椎q，則F=K？椎q，結合=？椎TK？椎，則有：

？椎TF=q（19）

對式（19）兩邊同乘-1，可得-1？椎TF=-1q，即：

？椎-1M-1（？椎T）-1？椎TF=？棕2q（20）

其中？棕2=-1=diag（）（j=1，2，？噎，n），則由式（20）可得地震作用向量為：

F=M？椎？棕2q （21）

進而，結構第j階地震作用向量為：

Fj=M？椎j··qj （22）

第j振型第i質點地震作用向量：

Fji=Mi·？椎ji··qj （23）

使用式（23），可以計算底部框架雙功能減震結構各樓層的地震作用.

3 強制解耦法

當底部框架層設有粘滯阻尼器時，附加阻尼矩陣Cd對振型不具有正交性，則振型分解法不再適用求解振動方程.歐進萍等[20-22]認為對某些耗能減震結構，其非正交阻尼矩陣可采用強制解耦，其精度一般較高.另外，振型分解法因其計算簡單，不少文獻中也提出對附加阻尼矩陣Cd采用強制解耦，即取其非對角線元素為0（？椎jTCd？椎j=0（i≠j））.

4 算例設計

某底部框架砌體結構房屋，總層數六層，底部兩層框架，層高分別為5.0 m和3.6 m，上部四層砌體層高均為3.0 m，總高20.6 m，結構布置圖如圖2所示；首層和第二層框架梁截面分別為400 mm×700 mm和400 mm×800 mm，柱截面為650 mm×650 mm；上部砌體每層構造柱尺寸240 mm×240 mm，圈梁240 mm×300 mm，均采用MU10砌塊，墻厚240 mm，第三層過渡層砌體墻采用M10砂漿，第四層到第六層砌體墻采用M7.5砂漿；除第二層樓板厚度為150 mm外，其余樓板均為100 mm；混凝土強度等級為C30 .抗震設防烈度為8（0.2 g）度，設計地震分組為第二組，II類場地，設防類別為丙類；樓屋面的恒載標準值為4.5 kN/m2，活荷載標準值為2.0 kN/m2，首層框架梁上的線荷載為6.0 kN/m .

為了分析結構橫向地震反應，在底部框架兩樓層中均沿橫向布置粘滯阻尼器，單個阻尼器系數為Cd=2.5×103 kN·s/m；隔震層布置在框架層與砌體層之間，選用柳州歐維姆機械股份有限公司生產型號為JZY1Q520×198的鉛芯橡膠支座，其水平等效剛度多遇地震下取值kh=1.54×103 kN/m（等效阻尼比？孜u=0.26），罕遇地震下取值kh=1.09×103 kN/m（等效阻尼比？孜u=0.15），詳細參數可查閱該公司《建筑隔震產品數據手冊》.

圖2（a）中“（1-2）”，代表框架在該跨第一至第二層均布置阻尼器，每層橫向總阻尼系數均為Cd=15×103 kN·s/m；隔震層總水平剛度，多遇地震下為kh=3.08×104 kN/m，罕遇地震下為kh=2.18×104 kN/m.取適用第II類場地的El Centro波作為外部地震激勵輸入，對多遇地震，加速度峰值調整至70 cm/s2，對罕遇地震，加速度峰值調整為400 cm/s2 ，僅沿橫向進行單向地震響應分析.

5 底部兩層框雙功能減震結構地震響應分析

針對多遇地震或者罕遇地震，采用SAP2000和本文狀態方程直接積分法對底部兩層框架雙功能減震結構進行分析，從圖3—圖5可以看出，結構在不同地震響下具有類似的變化規律，而且頂層加速度時程曲線、基底剪力時程曲線和隔震層變形時程曲線在兩種分析方法下吻合較好，誤差較小，表明狀態方程直接積分法在本文結構中進行求解分析具有較好的精確性.

6 強制解耦法誤差分析

圖6表明，沿橫向均勻設置了阻尼器的底部兩層框架砌體結構，采用強制解耦進行求解，若結構振動階數越高，誤差會越大，但前二階振動采用強制解耦法時誤差較小，可以忽略，第三階誤差振動較大.這表明，強制解耦法求解對較低階振型具有較好的精度，而對高階振型精度較差，因此宜采用前述狀態方程直接積分法求解.

7 底部兩層框架雙功能減震結構減震效果分析

為了說明減震效果，本文分析了該減震結構和相應抗震結構的地震響應，結果如下.

7.1 樓層最大層位移

7.3 底部框架層最大層間剪力分析

使用式（23）可以計算出每個質點在各階振型下的地震作用，由此可計算出底部兩層框架各樓層的層間最大剪力，見圖9.

從圖7—圖9可見，采用SAP2000和狀態方程直接積分法分析結果基本相符.另外，由圖表明：

1） 圖7中，減震結構，底部框架的第二層與上部砌體層之間的隔震層變形較大，變形集中在隔震層，表明隔震層不僅可以起到隔離地震激勵向上部砌體結構的傳遞，而且也耗散了大部分地震能量，使上部砌體結構地震響應較小；另外，底部框架層最大層位移比抗震結構小得多，表明結構的地震響應得到了有效降低，對結構整體起到了減震效果.

2） 圖8中，抗震結構，底部框架層層間位移角很大，多遇地震下，首層和第二層均超過彈性層間位移角限值1/800，即1.25×10-3；罕遇地震下，首層和第二層均超過了相應的層間位移角限值1/300，即3.33×10-3；但底部兩層框雙功能減震結構在兩種情況下，層間位移角均未超限，表明底部框架層在多遇地震下能夠保持良好的工作狀態.

3） 圖9中，底部兩層框架雙功能減震結構，無論是在多遇地震還是罕遇地震下，其底部兩層框架的最大層間剪力均比相應的傳統底部兩層框架砌體結構小得多，首層最大層間剪力減小幅度大于第二層的相應值，因而，底部框架層減震效果較好.

8 結論

通過對底部兩層框架砌體雙功能減震結構采用狀態方程直接積分法求解地震激勵下的動力響應，并與有限元分析軟件SAP2000的分析結果進行對比，由此表明狀態方程直接積分法具有良好的計算精度；并且對強制解耦法的精確性也作了分析.主要結論如下：

1） 在框架層沿橫向均勻設置阻尼器以及在上下結構間設置隔震層后，采用狀態方程直接積分法求解的結構地震動響應跟有限元軟件的分析結果基本一致，從圖3—圖5和圖7—圖9可以看出，兩者結果吻合得較好，表明狀態方程直接積分法在該結構中求解分析具有較強的實用性，可以作為該類結構分析的一種理論計算方法.

2） 對于底部兩層框架雙功能減震結構，強制解耦法可以在前兩階振動下取得較為精確的結果，但對于高階振動（不小于三階），誤差較大，且振動階數越高，求解偏差越大.故此，強制解耦法可用于求解該類結構第一階和第二階的地震反應，對高階振動的結構地震響應不宜使用該法.

3） 對于底部兩層框架雙功能減震結構，隔震層能夠有效地耗散地震能量，隔離地震激勵向上部砌結構傳遞；底部兩層框層的層間最大位移角均滿足抗震要求；上部砌體結構表現為剛體整體平移；相對傳統底部兩層框架砌體結構，底部兩層框架雙功能減震結構底部第一層和第二層的層間最大剪力小得多.

4） 當底部框架層的質量和剛度沿高度分布均勻，且在底部框架頂層與上部砌體層之間設置了隔震層的底部框架結構，針對底部框架層有無阻尼器的情形，均可采用狀態方程直接積分法求解其振動方程.

5） 從結論2）和結論3）可以得出，與抗震結構對比，底部框架雙功能減震結構具有良好的減震性能.

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Analysis of seismic response of bifunctional damping

structure of bottom frame

ZHANG Min， ZHAN Ke-biao

（School of Civil Engineering and Architecture， Guangxi University of Science and

Technology， Liuzhou 545006， China）

Abstract： To explore the seismic response of bottom-frame-masonry buildings subjected to the earthquake excitation， with the structure of bottom two-layers frame and upper four-layers masonry as the computational model， viscous dampers are evenly installed in bottom two-layers frame and isolation layer is set between the top of the frame and bottom of the masonry， bifunctional damping structure of bottom frame are formed. State equation direct integral method are adopted to calculate the seismic response of the structure， the results are contrasted with the calculation of the software SAP2000 for damping and aseismic structure. The analysis results show the basic coincidence of two types of structure seismic response. Meanwhile， the forcing decoupling method is also adopted to study the structure， which compares with state equation direct integral method. The consequence indicates that the accuracy of the forcing decoupling method decreases gradually following the increase of the number of modal order， but there is a good precision in the first second order vibration and the error of exceeding the third order gradually increases. Research results show that damping structure has good damping performance， and that state equation direct integral method for bifunction damping structure of bottom frame has strong practicality.

Key words： bottom frame； damping； seismic isolation； seismic damping； state equation； decoupling

（學科編輯：黎 婭，張玉鳳）