工科院校數學教學中融入數學模型的教學淺析

劉開拓

摘 要：文章對目前工科院校的數學教學現狀進行了分析，介紹了數學建模的歷史背景，對數學教學中融入數學模型的思想和方法的必要性做了簡要闡述，提出在數學教學中融入數學模型的實施步驟。

關鍵詞：工科院校；數學教學；數學模型

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2017）23-0128-03

Abstract： In this paper， we firstly analysis the present situation of mathematics teaching in Engineering colleges. After introducing the background of mathematical modeling， we briefly discuss the necessity of the ideas and methods of mathematical models into the mathematics teaching. At last we give the concrete steps of mathematical models into the mathematics teaching.

Keywords： Engineering Colleges； mathematics teaching； mathematical models

眾所周知，數學是工科類本科生的一門非常重要的基礎課，此門課程對提高學生數學素養、鍛煉邏輯思維能力、培養創新意識、掌握用數學工具去分析和解決實際問題的能力都是至關重要的，甚至說為工科學生后續專業課程的學習打下一個堅實的基礎。但反觀目前數學教學現狀，情況普遍不能令人滿意，個人覺得主要原因在于我們的數學教學仍然是偏重于理論，而忽略了和實際相關知識背景的聯系，這樣一來工科數學的教學就和數學專業的教學沒有太大的區別，大量的定義、定理、公式及證明推導充斥著整個課堂，導致課堂教學比較單調和枯燥，學生學習數學的熱情隨著時間的流逝而被慢慢地吞噬，后果可能就是學生對數學課的厭倦和抵觸。這必須引起我們的重視和思考，我們必須清楚地認識到數學課的受眾對象是工科學生，他們的數學基礎相對薄弱，而且他們也不需要掌握那么多的理論證明及推導，他們需要的只是基本的數學知識和數學素養的訓練，然而最重要的是如何應用所學到的數學知識去解決本專業以及工程背景里的實際問題。那么怎么樣才能讓學生重拾對數學的學習興趣以及改變目前的教學現狀呢？筆者認為在數學教學中融入數學建模的思想和方法不失為一種好的辦法。

一、數學建模的歷史背景

近幾十年來，隨著各學科之間的相互滲透，數學的應用不僅僅體現在它的一些傳統領域，比如工程技術、管理、經濟等，它還不斷地向一些新的領域滲透，形成了許多交叉學科，比如生物數學、地質數學、經濟數學、金融數學等等，數學與計算機及先進數學軟件的相結合，形成了一種普遍的、可以實現的關鍵技術-數學技術，成為當代高新技術的重要組成部分。“高技術本質上是數學技術”的觀點已經被越來越多的人們所接受。

數學與現實生活息息相關，很多實際問題其實都可以轉化為數學問題來研究和處理。然而在使用數學工具解決實際問題時，首要和關鍵的一步是用數學語言去表述所研究的對象，即在對實際問題經過合理的假設和分析基礎之上，將其抽象成一個具體的數學問題，此過程即為數學建模。然后借助計算機和數學軟件對模型進行求解，最后通過求解的結果對現實問題給出一個較為滿意的解答。

教育必須反映社會的實際需要，數學建模進入大學課堂，既順應時代發展的潮流，也符合教育改革的要求，該課程在20世紀80年代初進入我國大學，從最初只有幾所學校開設此課程到現在，全國已經有幾百所高校陸續開設了此門課程，而且受到了學生的廣泛歡迎和好評。從1992年開始由教育部高教司和中國工業與應用數學學會舉辦的，每年一屆的全國大學生數學建模競賽已經成為了我國高校規模最大的課外科技活動，數學建模活動也更加深入人心，越來越多的同學通過數學建模活動和競賽開闊了視野，培養了學習數學的興趣，鍛煉了能力，獲得了切實的提高。

二、高等數學教學中融入數學建模的思想和方法的必要性

毋庸置疑，數學建模充分體現了數學的應用價值，而作為一個工科院校，學生學習數學知識的目的就是將其作為一個工具去解決以后專業領域的各種實際問題，嚴格的邏輯推理和證明在本質上是不需要的。因此在給工科學生開設數學課程時，可以遵循著“輕理論，重應用”的教學思路。在教學過程中，要把所教的數學知識適時地和實際問題結合起來，讓學生時時感受到數學的實際作用和價值。學生在此過程中會親眼目睹數學的神奇魅力，他們可能會驚喜地發現，原來數學并不枯燥，而且非常地實用，這樣就一下把學生學習數學的積極性調動起來了。然而要用數學知識去解決實際問題就必須要有一定的數學基礎，基礎在哪里？ 就在我們的數學課堂！興趣是最好的老師，一旦有了興趣作為支撐，那么他們的學習將會變被動為主動，學習效率和效果都會成倍增加，這樣我們的數學課程的教與學將會變得輕松而活潑。然而系統深入地講授數學建模課程一般是在大二才開設的，這樣我們的問題就來了。如何在大一新生的數學課程教學中融入數學模型的思想和方法？ 讓他們從一開始就知曉數學的魅力及應用價值，領略數學建模的思想和方法，從而使他們始終帶著一種愉悅的心情貫穿各科數學課程的學習。

三、實施步驟

（一）第一步：直觀感受數學應用

在新生的第一堂數學課上，不要急于開始新知識的講授。可以先花一節課的時間來簡單介紹一下數學在日常生活中的應用和歷年全國大學生數學建模競賽試題，讓學生對數學的應用有一個直觀的感受。比如全球著名的搜索引擎Google，之所以該網站能風靡全世界，背后其實就是依靠兩個數學模型：一個是稱為PageRank的算法模型；一個是廣告拍賣數學模型。這兩個模型均是基于海量數據的計算、存儲、篩選、分類、優化組合的思想來建立的；再如彩票能否中獎以及能以多大的機會（概率）中獎的數學模型，這種模型是基于概率論中的古典概型的思想建立的。再從歷年全國大學生數學建模競賽試題進行講述，比如2005年A題長江水質的評價和預測，這是基于大樣本數據的采集、整理、分析以及多種因素的方差分析和回歸分析等方法得到的；2007年的B題乘公交，看奧運題目以及2011年B題交巡警服務平臺的設置與調度，這都是基于網絡平臺的資源優化合理利用的問題；2014年A題嫦娥三號軟著陸軌道設計與控制策略，該題目則比較注重數學與空間物理學的相結合，根據原有機理建立合理的數學模型；2015年B題“互聯網+”時代的出租車資源配置問題，該題目是一個基于資源優化利用的例子；2016年B題小區開放對道路通行的影響則是一個綜合考查城市通行調度能力的優化決策問題；2017年A題CT系統參數標定及成像，此題考查了對CT成像系統原理的了解和把握，從而根據實際工作機理建立合適數學模型解決問題等等。從這些和現實生活息息相關的建模競賽試題，讓學生真真切切地感受到數學的無窮魅力，讓他們從心底覺得數學是大有用處的，這就直接激發了學生學習數學的熱情和主動性。

數學的課堂教學時間漫長，在后續的教學過程中，可以精心挑選一些適合在課堂講授的數學模型小案例，在適當的時間節點講授給學生。這樣做一方面活躍了課堂氣氛；另一方面也讓學生對數學的學習能始終保有一定的熱情和積極性。這點尤為重要，千萬不可半途而廢。直到學生度過了學習高等數學課程的淬煉期，對數學有了真正的認識并形成了一個良好的學習習慣，才可以說這種做法取得了初步的成效。

下面僅僅例舉兩個簡單的數學模型小案例，僅供參考。

案例1 登山問題

某人早上9點從山腳出發開始登山，在下午18點到達山頂，并在山頂留宿。第二天早上看完日出后從山頂沿同一路徑于9點開始返回，并在下午18點到達山腳。則此人必在兩天中的同一時刻經過路徑中的同一地點。

分析：這是一個來源于生活的例子，可能每個人都有這樣的體驗，直觀感覺這個斷言是正確的。可以先給學生5分鐘的時間思考，然后簡單分析如下：可以將兩天看成一天，一個人兩天的活動看作是一天中兩個人分別同時從山腳和山頂沿著同一路徑做相反的運動，由于兩人同時出發，同時到達終點，又是沿著同一條道路做相反的運動，很明顯地，兩人一定會在這一天中的某個時刻相遇。但是能不能從數學的角度給出一個嚴格的說明呢？答案是肯定的。下面我們就從幾何直觀的角度以及嚴格數學證明的角度給出合理的解釋。

解法一：（幾何直觀法）

圖1

分析：以時間t為橫坐標，以從山腳沿上山路線到山頂的路程y為縱坐標，從山腳到山頂的總路程設為s。不妨設上山的過程中，登山者在任意時刻距離山腳的路程與時間的變化關系為y=g（t）（9≤t≤18）；下山的任意時刻距離山腳的路程隨時間的變化關系為y=f（t）（9≤t≤18）。則可以知道函數y=g（t）在區間[9，18]上是連續遞增的；y=f（t）在區間[9，18]上是連續遞減的，且有g（9）=0，g（18）=s；f（9）=s，f（18）=0。根據以上信息，馬上可以畫出這兩個函數所對應的曲線在同一坐標系中的大致圖像，如上圖所示。此時結論就很明顯了，這兩條曲線一定會在[9，18]之間的某一個時刻t0處相交，不妨設交點為A（t0，s0），即在兩天的同一時刻t0，該登山者一定會經過一個相同的地點。

解法二：（嚴格數學證明）

解：設s表示山腳到山頂的路程，顯然s>0。再設f（t）表示第一天此登山者從山腳開始登山時，在時刻t（9≤t≤18）時位于山腳的路程，g（t）表示第二天此登山者從山頂下山時，在時刻t（9≤t≤18）時位于山腳的路程。依題意，f（9）=0，f（18）=s；g（9）=s，g（18）=0.令F（t）=f（t）-g（t），t？綴[9，18]，則F（t）是閉區間[9，18]上的連續函數，且滿足

F（9）=f（9）-g（9）=0-s=-s，F（18）=f（18）-g（18）=s-0=s。

從而F（9）·F（18）=-s2<0，由閉區間上連續函數的零點定理，至少存在一點t0？綴（9，18），使得F（t0）=0，即f（t0）-g（t0），即此人必在兩天中的同一時刻經過路徑中的同一地點。

注：此問題涉及的數學知識在《高等數學》第二章中出現，可以先從幾何直觀上給學生進行描述和解釋。待到上完此節的內容后，可以再給學生講這個嚴格的證明，當然這個嚴格證明過程是易懂和可接受的。

案例2 投資問題

某投資人打算投資甲、乙兩個項目，根據可靠經驗預測，甲、乙兩個項目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大風險損失率分別為30%和10%，投資人計劃投資金額不超過10萬元，要求確保可能的資金虧損不超過1.8萬元，問投資人對甲、乙兩個項目如何投資，才能使可能的盈利最大？

分析：這是一個來自生活中的投資理財問題，類似的問題其實很多。在制定投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現的風險損失。要解決的問題非常清楚，即在甲、乙兩個項目上各投資多少，才能使可能的盈利最大。題目中涉及到一些理財方面的數據，這是我們唯一可以依賴的，如何利用這些數據建立起這個問題的整體框架，即將這個實例轉化成數學語言來表述將是至關重要的一步，也是如何將其抽象成一個數學模型的問題。

解：設投資人投資甲項目x萬元，投資乙項目y萬元，依題意，我們可以得到該投資人的可能盈利為：x+0.5y，現在即是要使得該式（目標函數）取值達到最大，即求max z=x+0.5y，但這是一個變化的量，它的取值依賴于其中的兩個變量x及y，而x與y本身也是有限定的：

x+y≤10（項目投資總額限制）

0.3x+0.1y≤1.8（資金虧損限制）

x≥0；y≥0（投資金額非負限制）

以上三式稱為變量x、y的約束條件，整理上述目標函數及約束條件，即得該問題的數學模型為：

max z=x+0.5y，且滿足x+y≤100.3+0.1y≤1.8x≥0，y≥0

這是一個簡單的線性規劃模型，中學里學過的圖解法即可求解。結果為分別投資甲、乙兩個項目4萬元和6萬元，其可能的最大盈利為7萬元。

由于大一新生在中學里已經接觸過簡單的兩個變量的線性規劃問題，如果教師再順勢加以引導，學生很自然地會將這種問題馬上推廣到變量個數多于兩個，甚至多個的情形，這正是線性代數中方程組的求解問題的延伸，即線性規劃問題。

通過這兩個實例，學生更加清楚地認識到數學的應用價值，這樣學生對數學的學習就會產生期待，有了期待就有了動力，甚至學生會主動去自學，而這正是我們樂見的結果。

（二）第二步：引入數學模型教學單元

在數學課程的教學過程中可以適當地引入一些可以融入數學課程教學的簡單易懂的數學建模教學單元，這些例子可參考文獻1-2。

1. 復利、年金及其應用（講完函數的極限及連續性后可以引入）。

2. 可口可樂易拉罐的優化設計、購房貸款的利率等（講完導數的應用之后引入）。

3. 傳染病流行的數學模型、馬爾薩斯人口模型、人體減（增）肥的數學模型（講完一階線性微分方程的概念及求解后可以引入）。

4. 投入產出經濟模型、基因遺傳問題以及經濟管理中的一些簡單優化問題（講完矩陣的概念和線性方程組求解之后引入）。

5. 排隊抽獎機會均等模型、隨機模擬模型（講完概率論中古典概型后可以引入）

當然還有很多好的例子可以選取，這里不再一一列舉，可參考文獻3-7。

（三）第三步：布置開放性的應用問題

課后給學生布置一些開放性的應用題目，最好是與學生所學專業背景相關的實際小問題，比如具有工程、管理、經濟背景的一些實例，留給學生一定的思考空間和親自動手的機會，讓課堂上的那股學習熱情在課下得到積極的延續。鼓勵他們以討論小組的方式展開學習和交流，通過對這些問題的思考會加深學生對數學概念的理解和認識，同時也鍛煉了他們相互交流、協調溝通的能力及解決問題的能力。并抽出一定的課外時間，讓學生以匯報的形式進行講解，老師給予一定的點評。最終由所有的學生進行打分得出名次，形成一個有激勵機制的良性學習氛圍。

（四）第四步：積極開展校內數學建模活動

通過校內的數學建模協會積極宣傳和普及數學建模知識，以開設講座和組織校內數學建模比賽的方式，爭取吸引到更多的人參與到這項活動中來，目的就是讓更多的同學體會到數學的實際作用和學習數學的樂趣，從而對數學有一個全新的認識，這或許就會改變他們在數學課堂上的學習態度和積極性。

四、結束語

在工科院校的數學教學中融入數學模型的教學方法，不僅對激發學生學習數學的熱情，改善課堂教學質量，拓寬學生知識視野，增加學生數學應用能力和創新能力都有很好的益處，而且更重要的是讓學生真實地感受到數學不是僅僅停留在課堂和書本上，它是“看得見摸得著”的，有著廣泛的應用價值和潛力，只有這樣才能真正喚醒學生自覺學習數學的興趣，才能真正地做到學以致用的目的，而這與工科院校所倡導的培養二十一世紀創新性應用人才的口號也是一脈相承的。

參考文獻：

[1]葉其孝.大學生數學建模競賽輔導教材（五）[M].湖南教育出版社，2008.

[2]姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型（第三版）[M].高等教育出版社，2003.

[3]姜啟源，謝金星.數學建模案列選集[M].高等教育出版社，2006.

[4]趙靜，但琦.數學建模與數學實驗（第三版）[M].高等教育出版， 2008.

[5]韓中庚.數學建模方法及其應用（第二版）[M].高等教育出版社， 2009.

[6]胡良劍，孫曉君.Matlab數學實驗[M].高等教育出版社，2006.

[7]胡運權.運籌學教程（第二版）[M].清華大學出版社，2003.