高中數學導數思想研究不等式問題

焦占紅

摘 要：不等式的計算與證明是高中教學的難點和重點，并且是高考的熱點.筆者所在地區使用高考全國一卷，不等式多與函數、數列、解析幾何、向量、三角函數相結合，難度為中等偏上.研究不等式，既要遵循證明不等式的基本思想和方法，又要結合自身的性質和結構特征.用導數單調性的方法會大大降低運算量，提高解題的成功率，同時立足課本，體現了對基礎知識和重點知識的使用及掌握.

關鍵詞：導數；函數；不等式；單調性

不等式因其形式多樣長期成為高考的熱點，研究不等式，既要遵循證明不等式的基本思想和方法，又要結合自身的性質和結構特征.本文借助導數進行學習探究：一、習題引申

證明不等式 （人教A版數學選修2-2第一章導數應用第32頁習題1.3 B組1題）：ex>1×x，x≠0，由此習題可得下面結論：

結論1 若x>-1則1n（1+x）≤x，當且僅當x=0等號成立.

結論2 若x>0 則1nx≤x-1，當且僅當x=1等號成立.

結論3 若x>-1則1n（1+x）≥xx+1，當且僅當x=0等號成立.

這些源于重要極限limx→∞（1+1x）x=e及另一種極限形式lima→0（1+α）1a=e，這是大學高等數學課程的入門內容，也是與高中數學聯系較為緊密的部分.每年各省都側重本知識，體現了數學的連續性，及高校選撥人才的特點.

當然，我們選用其他方法也能解決，但是會加大運算量及思維量，而用導數單調性的方法會大大降低運算量，提高解題的成功率，同時立足課本，體現了對基礎知識和重點知識的使用及掌握.

學生在解決此類問題時，往往由于構造函數不合適或分式處理不當而造成無法完成.

二、例題分析

例1 設函數f（x）=1-e-x.

（Ⅰ）證明：當x>-1時，f（x）≥xx+1；

（Ⅱ）設當x≥0時，f（x）≤xax+1，求a的取值范圍.

分析 本題主要考查導數的應用和利用導數證明不等式，考查考生綜合運用知識的能力及分類討論的思想，考查考生的計算能力及分析問題、解決問題的能力.

解 （Ⅰ）當x>-1時，f（x）≥xx+1當且僅當ex≥1+x.

令g（x）=ex-x-1，則g′（x）=ex-1.

當x≥0時g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）是增函數；

當x≤0時g′（x）≤0，g（x）在（-∞，0]是減函數.

于是g（x）在x=0處達到最小值，因而當x∈R時，g（x）≥g（0），即ex≥1+x，所以當x>-1時，f（x）≥xx+1.

本題學生易犯錯誤是，對分式沒有分離常數，而直接做差求導數，帶來困難，忽略e-x的通分.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知x>0時，f（x）>0，得a≥0，當x=0時，對于一切的a都成立.

故考慮x>0的情況：

（1）原問題分離變量為a≤x+e-x-1x（1-e-x）對于x>0恒成立，

則首先滿足a≤limx→0x+e-x-1x（1-e-x）=12，故這里就得到a的必要條件為0≤a≤12.

此處用到了洛必達法則，在處理分式函數00，∞∞的恒成立問題時，洛必達法則能避開分類討論，讓學生感到數學沒有那么難.

（2）下面證明a≤12是充分條件.當a=12時，

整理為g（x）=x2ex-ex+x2+1≥0，

∵g′（x）=x2ex-ex2+12，g″（x）=x2ex>0，

∴g′（x）單調遞增，則g′（x）>g′（0）=0，

故g（x）單增遞增，則g（x）>g（0）=0

則12≤x+e-x-1x·（1-e-x）成立，那么當a≤12時，該不等式也成立.

綜上：a的取值范圍是[0，12]

點評 作為壓軸題，主要是涉及利用導數求最值解決恒成立問題，利用導數證明不等式，常伴隨對參數的討論，這也是難點之所在.

例2 把函數y=1nx-2的圖象按向量a（-1，2）平移得到函數y=f（x）的圖象，

（1）若x>0，證明f（x）>2xx+2，

（2）若不等式12x2≤f（x2）+m2-2bm-3 對b∈[-1，1]，x∈[-1，1] 時恒成立，求實數m 的取值范圍.

解 f（x）=1n（x+1）-2+2=1n（x+1）.

（1）即證1n（x+1）-2xx+2>0在x>0時成立，令g（x）=1n（x+1）-2xx+2，因為g′（x）=1x+1-4（x+2）2=x2（x+1）（x+2）2，所以函數g（x）在（0，+∞）遞增，故g（x）>g（0）=0.即g（x）>0.所以1n（x+1）>2xx+2.

移項做差，構造函數，利用新函數的單調遞增，所以每點處的函數值都大于區間左端值.

（2）原不等式為-2mb+1n（x2+1）-12x2+m2-3≥0關于b的一次不等式在b∈[-1，1]恒成立，所以兩端點值要非負，

即-2m+1n（x2+1）-12x2+m2-3≥02m+1n（x2+1）-12x2+m2-3≥0，

要在x∈[-1，1]恒成立，又變成兩個關于x的不等式恒成立，

即1n（x2+1）-12x2≥-m2+2m+31n（x2+1）-12x2≥-m2-2m+3在x∈[-1，1]恒成立，

即g（x）=1n（x2+1）-12x2在x∈[-1，1]的最小值要同時大于等于-m2+2m+3與-m2-2m+3，現在求g（x）的最小值.g′（x）=2xx2+1-x，可得g（x）在[-1，0]單調遞減，在[0，1]單調遞增，故g（x）的最小值為g（0）=0，那么

-m2+2m+3≤0-m2-2m+3≤0m∈（-∞，3]∪[3，+∞）

點評 兩次恒成立，告訴誰的范圍那么誰就是變量，另外的全是參數.本題學生習慣于將x當做自變量，對數與二次函數的混合將造成巨大的計算，甚至無法算出結果，而巧妙的運用變更主元法可將二次變為一次函數的處理，從而降低難度，迎刃而解.

例3 設函數f（x）=x4+ax3+b（x∈R），其中a，b∈R.若對于任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，求b的取值范圍.

解 f ′（x）=4x3+3ax2+4x=x（4x2+3ax+4）由條件a∈[-2，2]可知

Δ=9a2-64<0，從而4x2+3ax+4>0恒成立.當x<0時，f ′（x）<0；當x>0時，f ′（x）>0.

因此函數f（x）在[-1，1]上的最大值是f（1）與f（-1）兩者中的較大者.

為使對任意a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，當且僅當f（x）max≤1，

即f（1）≤1f（-1）≤1，即b≤-2-ab≤-2+a在a∈[-2，2]上恒成立.即b≤（-2-a）minb≤（-2+a）min，a∈[-2，2].所以b≤-4.

因此滿足條件的b的取值范圍是（-∞，-4].

點評 f（x）≤1，即f（x）max≤1，a∈[-2，2]，x∈[-1，1]，要解決此題關鍵是求f（x）max.部分學生在處理f ′（x）=4x3+3ax2+4x，感到束手無策，屬于多項式因式分解掌握不好，沒有提公因式的意識和解題經驗.此題為多項式函數，通過單調性，判斷最值，b≤-2-ab≤-2+a在a∈[-2，2]上恒成立.

反思 重點考察高中知識與大學知識的銜接，考察數學的重要極限，變更主元，突出數學的簡單化思想，讓學生掌握分類討論，感受抽象.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]人民教育出版社.普通高中課程實驗教科書數學2-2A版[M].北京：人民教育出版社，2004.