一道高考數學題的解法探究與啟示

摘 要：近幾年新課程高考全國試題突出了對考生能力的考查，具有很強的示范作用.本文通過2015年全國新課標卷（Ⅰ）第16題的多種解法，探究解題規律，選擇最優解法，提高思維的靈活性和發散性.

關鍵詞：高考；探究；啟示

作者簡介：李瑞杰（1965-），男，大學本科，中學高級教師，安徽省特級教師，主要從事高中數學教學研究.

一、試題呈現

在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2， 則AB的取值范圍是.

二、試題分析

本題是2015年全國新課標卷理（Ⅰ）第16題，主要考查解三角形.內容簡潔，圖形熟悉，看似平凡，下筆卻困難重重.命題意圖是考查考生的數形結合，化歸與轉化的數學思想及思維的發散性和靈活性.

三、解法探究

分析 如圖，這是一個平面四邊形，已知四個角的度數和一邊長，求其中一邊AB的范圍.在平時訓練中，遇到此類題型不是太多，考生做起來比較棘手.若能聯想到三角形，通過解三角形的知識求解.是否簡單些呢？

解法1 如圖1，延長BA，CD交于點E，則可知在△ADE中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，設AD=x2，

x2sin30°=AEsin45°，AE=22x，同理DE=6+24x，CD=m.

因為BC=2，所以6+24x+msin15°=1，則6+24x+m=6+2，因為m>0，

0≤6+24x<6+2，0

可得AB的取值范圍為（6-2，6+2）.

點評1 解法1在設出CD=m，AD=x2后，用x，m來表示AB，再根據m，x范圍，解出AB的范圍.

解法2 如圖2 ，延長BA、CD交于E，則△EBC是等腰三角形.∠EBC=∠ECB=75°，∠BEC=30°，過點C作CF交BE于F，使∠BCF=30°，則∠BFC=75°，在△BCF中，由余弦定理得

BF=BC2+CF2-2BC·CF·cos30°=6-2，在△BCE中，同理可得BE=6+2，所以AB的取值范圍是（6-2，6+2）.

點評2 解法2妙在作出的CF∥DA，這樣A只能在E和F之間運動，所以只要求BF和BE的長度即可.

解法3 如圖3，在平行四邊形ABCD中，聯結AC.

設∠BAC=θ，則∠BAC=105°-θ，∠CAD=75°-θ，∠ACD=θ-30°.

由題意可得θ>0°，105°-θ>0°，75°-θ>0°，θ-30°>0°， 因此30°<θ<75°.

在△ABC中，θ越小AB越大，θ越大AB越小.

當θ趨向于30°時，ABsin（105°-30°）=BCsin30°，解得AB=6+2.

當θ趨向于75°時，ABsin（105°-75°）=BCsin75°，解得AB=6-2.

所以AB的取值范圍是（6-2，6+2）.

點評3 關鍵連結AC，得出∠BAC=θ后，根據各個角都是正角，求θ的范圍，再觀察圖形，在BC長一定前提下，通過角θ變化與線段AB的關系，判斷AB的范圍.三種解法都是把四邊形問題轉化為熟悉的三角形問題，根據正余弦定理找出數量關系，通過科學運算和合理推理化難為易，使問題得到解決.

四、對高考復習的啟示

本題得分較低，主要是因為考生思維的靈活性和發散性欠缺，一是不能很快地把四邊形問題轉化為三角形問題；二是不能活用正余弦定理表示出AB；三是運算和邏輯推理能力不足.

目前高三正在進行總復習.如何提高復習效率？

1. 回歸課本，重視挖掘教材的本質和內涵

挖掘教材的本質和內涵，深化對基本概念、性質、定理和公式的理解和掌握.重視教材中知識的產生過程，典型例題、習題變形，品味課堂上老師分析例題的思想方法，注意老師解決問題的“切入點，突破口”.

2. 重視專題復習，提高解題能力

第二輪復習主要是鞏固、完善、綜合、提高.鞏固是指鞏固第一輪復習成果，強化知識的補充記憶；完善是指查漏補缺，完善知識體系，注重思想方法；綜合是指減少單一知識訓練，增加題目的綜合性和靈活性；提高是指提高分析問題、解決問題的能力.

3.重視培養學生思維的靈活性和發散性

對近幾年的高考數學試題，教師進行深入全面的探究.選擇一些高考中的?？碱}型，熱點題型，精練精講.特別是一題多變，一題多解，幫助學生尋找不同切入點.豐富多彩的題型和解法，既給學生帶來驚喜，又給學生帶來美妙的感覺，不僅打開了學生的思維，更能擦出智慧的火花，提高復習效率.解題后要認真反思題型特征，解法規律，解題突破口，如何選擇最優解法，提高思維的靈活性和發散性.

4.重視運算能力的培養

高考對運算能力的要求較高.教師在教學過程中要啟發學生如何選擇合理運算途徑，減少運算步驟，注意運算技巧.要讓學生對不同的運算過程進行比較，總結運算規律.平時留一定時間讓學生敢算，耐心算，算出答案，逐步做到“算一道題，對一道題”.學生多次體會到運算成功的樂趣后，必然會提高學習數學的信心和效率.