利用函數圖像的中心對稱，解決一類最值和問題

摘 要：有一類函數最值和問題，如果函數圖像是中心對稱圖形，我們可以不必去求函數的最值，可利用函數圖像的中心對稱巧妙解決這類問題.

關鍵詞：最值和；圖像；中心對稱

作者簡介：陽漢軍 （1972-），男，四川資陽人，本科，中學高級教師，主要從事高中數學教學研究.

一、題目

已知函數f（x）=22x+1-5x的最大值為M，最小值為N，則M+N=（ ）.

A.2 B.3 C.4 D.0

關于這個問題，如果直接去求最大值和最小值來解決顯然繁瑣，其實，如果我們能從另外一個角度來認識該問題，則對這一類問題都能迎刃而解.

二、解析

解析1 ∵f（x）=22x+1-5x，∴f（-x）=22-x+1+5x.

∴f（x）+f（-x）=（22x+1-5x）+（22-x+1+5x）=22x+1+22-x+1=22x+1+2·2x2x+1=2（2x+1）2x+1=2.

即f（x）+f（-x）=2.

∴[f（x）-1]+[f（-x）-1]=0.

令g（x）=f（x）-1，則g（x）+g（-x）=0，

∴g（x）=f（x）-1為奇函數，由題意得

g（x）max=M-1，

g（x）min=N-1.

因為奇函數的圖像關于原點對稱，故g（x）max+g（x）min=0，∴（M-1）+（N-1）=0，M+N=2，選擇A.

評注 本題利用了奇函數的圖像關于原點對稱，最大值與最小值互為相反數，從而最大值與最小值的和為零.

解析2 由解析1中f（x）+f（-x）=2知f（x）的圖像關于點（0，1）對稱，∴M+N2=1，即M+N=2.

評注 因g（x）=f（x-1）的圖像關于原點對稱，所以f（x）=g（x）+1的圖像關于點（0，1）對稱.

三、引申

遇到這類問題，若發現函數圖像是中心對稱圖形，那么用這種辦法能很快解決問題.

①一般地，若函數f（x）滿足f（x）+f（-x）=2k，則f（x）的圖像關于點（0，k）中心對稱，若f（x）的最大值為M，最小值為N，則M+N2=k，所以M+N=2k.

證明 如圖，設A（x1，M）為f（x）圖像上的一個最高點，則在f（x）的圖像上必存在和點A對應的關于點（0，k）對稱的點，該點應為f（x）圖像上的一個最低點，設為點B（x2，N），由A、B兩點關于點（0，k）對稱得M+N2=k，所以M+N=2k.

②一般地，若函數f（x）滿足f（a+x）+f（b-x）=2k，則f（x）的圖像關于點（a+b2，k）中心對稱，若f（x）的最大值為M，最小值為N，則M+N2=k，所以M+N=2k，證明略.

四、練習

①已知f（x）=（x+1）2+sinxx2+1的最大值為M，最小值為N，則M+N=.

②已知g（x）=（x-1）3-sinπx+1（0≤x≤2）的最大值為a，最小值為b，則a+b=.

參考答案 ①2 ；②提示：因為g（x）+g（2-x）=2，所以g（x）的圖像關于點（1，1）對稱，故a+b=2.