淺談取整函數

邢懷勇

摘 要：取整函數是一個非常重要的數學概念，本文通過對幾個例題的分析闡述了解有關取整函數類問題的策略.

關鍵詞：取整函數；解題策略

取整函數定義：設x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數.則y=[x]稱為高斯函數，也叫取整函數.顯然，y=[x]的定義域是R，值域是Z.任一實數都能寫成整數部分與非負純小數之和，即x=[x]+a（0≤a<1），因此，[x]≤x<[x]+1.

取整函數是一個非常重要的數學概念.它的定義域是連續的，值域卻是離散的，取整函數關聯著連續和離散兩個方面，因而有其獨特的性質和廣泛的應用.在數學競賽或高考中也備受命題者的青睞.用[x]命制的試題情境新穎，彈性大，利于賦予新意，具有挑戰性，而在解決與之相關的問題時，可以依據的命題、法則不多，規律性不明顯，解法變化大，靈活性強，往往會用到多種數學思想方法，其中較為常見的有分類討論（例如對區間進行劃分）、命題轉換、數形結合、湊整、估值等等.

例1 試畫出f（x）=x-[x]的圖像.（[x]表示不大于x的最大整數）

解析 若做出上述函數圖象，需先分析一下取整函數[x]的圖像的基本性質和特征.

（1）由y=[x]的定義易知[x]的圖形在y=x的圖形的下方.

（2） 由y=[x]的性質知[x]的圖像是一組階高為1的平行于x軸的平行線段，這組平行線段呈階梯形.

可見函數y=[x]是一個不減（非單調） 的非周期的函數，其圖像如下：

所以f（x）=x-[x]， 是一有界、周期為1的非單調函數，其圖像如下圖所示：

例2 （2010年高考陜西卷理科10）某學校要召開學生代表大會，規定各班每10人推選一名代表，當各班人數除以10的余數大于6時再增選一名代表.那么，各班可推選代表人數y與該班人數x之間的函數關系用取整函數y=[x]（[x]表示不大于x的最大整數）可以表示為（ ）

A. y=x10x+310B. y=x+310

C. y=x+410 D. y=x+510

解析1 當x除以10的余數為0，1，2，3，4，5，6時，由題設知y=x10，且易驗證知此時x10=x+310.

當x除以10的余數為7，8，9時，由題設知y=x10+1，且易驗證知此時x10+1=x+310.

故綜上知，必有y=x10.故選B.

解析2 依題意知：若x=16，則y=1，由此檢驗知選項C，D錯誤；若x=17，則y=2，由此檢驗知選項A錯誤.故由排除法知，本題應選B.

例3 某校數學課外小組在坐標紙上為學校的一塊空地設計植樹方案如下：第k棵樹種植在點Pk（xk，yk）處，其中x1=1，y1=1，當k≥2時，

xk=xk-1+1-5[T（k-15）-T（k-25）]，yk=yk-1+T（k-15）-T（k-25）.

T（a）表示非負實數a的整數部分，例如T（26）=2，T（02）=0，按此方案，第6棵樹種植的坐標是，第2008棵樹種植的坐標是.

解析 xk是1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，….

yk是1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，….

由規律可知，第6棵種植點是（1，2），第2008棵種植點是（3，402）.

例4 設[x]表示不超過x的最大整數（如[2]=2， [54]=1），對于給定的n∈N*，定義C2n=n（n-1）…（n-[x]+1）x（x-1）…（x-[x]+1），x∈[1，+∞），則當x∈32，3時，函數C2n的值域是

A.163，28 B.163，56

C.4，283∪[28，56）D.4，163∪283，28

解析 當32≤x<2時，[x]=1，Cx8=8x∈（4，163].

當2≤x<3時，[x]=2.

Cx8=56x（x-1）∈（283，28]，于是選D.

例5 （2015年聊城市數學聯賽）解方程3x3-[x]=3.

解析 對于次數較高的含[x]的方程，分區間討論不失為一種有效的方法.

若x≤1，則3x3-[x]≤3x-x+1=2x+1<0.原方程不成立；

若-1

若0≤x<1，則3x3-[x]=3x3-0=3x3<3.原方程不成立；

若1≤x<2，則3x3-[x]=3x3-1.原方程即為3x3=4，解得：x=343；

若x≥2，則3x3-[x]≥3x3-x>3x-x=2x>4.原方程不成立；

所以，原方程的解為：xx=343.

數學提供了有特色的思考方式：抽象化、符號化、公理化、最優化、建立模型，應用這些思考方式能使人們批判的閱讀，辨別謬誤，擺脫偏見，估計風險.所以說數學是思維的體操.

同時，數學的抽象性可幫助我們抓住事物的共性和本質，數學賦予知識以邏輯的嚴密性和結論的可靠性，它能增強思維的本領，提高抽象能力、邏輯能力和辯證思維能力.