品味三角函數的應用

周沁人

摘 要：三角函數在實際問題中主要涉及與物理知識相結合，與簡諧運動相結合，與實際生活相結合等，關鍵是掌握正弦型函數的性質就可解決問題.

關鍵詞：三角函數；解析式；實際；擬合函數

利用三角函數解決實際問題基本步驟是：（1）審題：讀懂題目中的“文字、圖形、符號”等語言，領悟其數學本質；（2）建立三角函數模型：根據審題所得到的信息，可把實際問題抽象成數學問題，建立三角函數式或三角函數方程或有關三角函數的不等式；（3）解決三角函數模型：可根據所學習的三角函數知識解決建立的模型問題；（4）作出結論：根據對模型問題的解答，將答案根據實際問題來作出相應的結論.我們這里一般常用函數y=Asin（ωx-φ）+b來刻畫實際問題，在解決三角函數的實際問題時，要注意自變量x的取值范圍；要數形結合，要能選擇適當的三角函數模型.

品味一：依據實際問題的圖像求解析式

知識點 根據函數圖像，由函數圖像確定解析式中的未知量，主要針對的是物理問題的考查.

例1 已知電流I（A）與時間t（s）的關系為I=Asin（ωt+φ），（1）圖1是I=Asin（ωt+φ）ω>0，|φ|<π2在一個周期內的圖像，根據圖像中的數據求I=Asin（ωt+φ）的解析式；（2）若t在任意一段1150s的時間內，電流I=Asin（ωt+φ）都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整數值是多少？

分析 本題的函數模型是已知的，可利用待定系數法求出解析式中的未知參數，再確定函數解析式.

解 （1）由圖1知道A=300，設t1=-1900，t2=1180，則周期T=2（t2-t1）=2×1180+1900=175.

則得到ω=2πT=150π.

又當t=1180時，I=0，即sin150π·1180+φ=0，而|φ|<π2，得到φ=π6，則所求的解析式為I=300sin（150πt+π6）.

（2）根據題意，周期T≤1150，即2πω≤1150（ω>0），因此ω≥300π>942.

又ω∈N*，則所求ω的最小正整數值是943.

評注 這類問題的關鍵是將圖形語言轉化為符號語言，抓住圖像是解決問題的關鍵.

品味二：利用解析式求解實際問題

知識點 已知實際問題的解析式解決相關問題，則比較容易解決，只要根據函數表達式結合所提供的信息來求解.

例2 已知簡諧運動f（x）=2sinπ4x+φ |φ|<π2的圖像經過點（0，1），則該簡諧運動的最小正周期T和φ分別是多少？

分析 本題可由周期公式求出周期T，而該函數圖像過點（0，1），則可得到關于φ的關系式，再根據φ的范圍求出φ的值.

解 簡諧運動f（x）=2sinπ4x+φ|φ|<π2，則其運動的周期為T=2ππ4=8.

∵其圖像過點（0，1），∴將點（0，1）代入函數解析式得到，2sinφ=1，也即sinφ=12.又|φ|<π2，則得到φ=π6.

綜上所述，這個簡諧運動的最小正周期T和φ分別為8和π6.

評注 題中給出了簡諧運動的函數模型，就可以直接運用三角函數的圖像與性質解決簡諧運動中的有關問題.

品味三：三角函數模型的實際應用

知識點 解決三角函數的實際應用問題時要按照一般應用題的解題步驟執行：（1）要審清題意，理清問題中的等量或不等關系；（2）建立函數模型（寫出三角函數解析式或三角函數方程或有關三角函數的不等式等等），將實際問題數字化；（3）利用三角函數的有關知識解決關于三角函數的問題，求得數學模型的解；（4）再回到實際問題中，可根據實際問題的意義，得出實際問題的解.

例3 如圖2，游樂場的摩天輪勻速運轉，每轉一圈需要12分鐘，其中心O距離地面405米，摩天輪的半徑為40米，如果你從最低處登上摩天輪，則你與地面的距離將隨時間的變化而變化，以你登上摩天輪的時刻開始計時，請解答以下的問題：（1）求出你與地面的距離y與時間t的函數解析式；（2）當你第4次距離地面605米時，用了多少時間？

分析 根據題意可知道應建立余弦型函數模型解題，由摩天輪的旋轉周期為12分鐘，振幅是40，同時t=0時y=05，可求出函數解析式；將y=605代入函數解析式求出第一個周期所滿足題意的周期，再加上周期就可得解.

解 （1）由已知可設y=405-40cosωt，t≥0，則由周期為12分鐘可知道在第1個周期內當t=6分鐘時到達最高點，即函數取得最大值，則805=405-40cos6ω，因此cos6ω=-1，即6ω=π，得到ω=π6，于是y=405-40cosπ6t（t≥0）.

（2）令y=405-40cosπ6t=605，則可得到cosπ6t=-12，因此在第一個周期內π6t=23π或者π6t=43π，得到t=4或t=8，也即第1次距離地面605米時用了4分鐘，第2次用時8分鐘，則第4次距離地面605米時，用了12+8=20分鐘.

評注 在本題中抓住余弦型函數解析式，分析各個時間點，則結合解析式就可求解.

品味四：根據數據建立擬合函數

知識點 往往是由已知條件的數據進行整理，在直角坐標系中描寫出相應的點（作出散點圖），再觀察這些點的位置關系，再用光滑曲線將這些點盡可能連接起來，然后利用圖像選擇適當的模型進行研究.

例4 受到日月引力，海水會發生漲落，在通常情況下，船在漲潮時駛入航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋，某港口的深度y（m）是時間t（0≤t≤24，單位：h）的函數，記y=f（t），下面是該港口在某季節每天水深的數據：

通過長期觀察，曲線f（t）可以近似地看作函數y=Asinωt+b的圖像；（1）根據以上數據，求出函數y=f（t）的近似表達式；（2）一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離為5m或5m以上是認為安全的（船舶停靠時，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底離水面距離）為65m，若該船在同一天內安全進出港，它至多能在港內停留多長時間（忽略進出港的時間）？

分析 可根據所給的數據在坐標系中作出散點圖，再結合幾個關鍵數據求出解析式，最后求解.

解 （1）根據函數圖像畫出散點圖，如圖3，則周期T=12，ω=2π12=π6，振幅A=3，b=100.

則y=3sinπ6t+10（0≤t≤24）.

（2）根據題意，該船進出港時，水深應該不小于5+65=115（m），也即y=3sinπ6t+10≥115，因此sinπ6t≥12，∴2kπ+π6≤π6t≤2kπ+5π6（k∈z），0≤t≤24，∴12k+1≤t≤12k+5（k∈z）.

在同一天內取k=0或1，則1≤t≤5或13≤t≤17.

又函數y=3sinπ6t+10（0≤t≤24）的最小值為7>65所以該船在任何時候在港內都可以停靠，因此該船一天內在港內停留時間為17-1=16（小時）.

因此該船最早在凌晨1時進港，最晚下午17時出港，在港口最多停留16小時.

評注 實際問題的背景比較復雜，需要綜合運用各學科的知識來解答.