一題多解是培養學生數學核心素養的一種手段

邢森棟+?ず撾闌?

摘 要：本文通過一道例題解答談談一題多解在落實數學核心素養中的作用.

關鍵詞：一題多解；核心素養

作者簡介：邢森棟（1983-），男， 中學二級教師，主要從事數學教學與數學解題的研究.

數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析等數學核心素養是數學課程目標的集中表現，它在學生自主發展中發揮不可替代的作用，是在數學學習過程中逐步形成的.數學核心素養包含具有數學基本特征的思維品格和關鍵能力，是數學知識、技能、思想、經驗及情感、態度、價值觀的綜合體現.

作為一線教師，筆者常常思考如何在課堂教學中有效發展學生的核心素養？從平凡的日常教學中思考落實新理念的方法，在數學的教學中尋找發展學生數學核心素養的途徑，應成為思考的基礎出發點.數學離不開解題，本文就通過對例題的一題多解來談一談筆者對于核心素養在課堂教學中落實的思考.

一、問題解析

問題 已知等差數列{an}，公差為d，滿足a21+a23=10，求a4最大值.

上述問題，看似求單變元a4最值問題，實際是a1+3d的二元最值問題，我們要通過現象抽象出本質.二元問題一般先考慮利用條件消去a1+3d中的a1或d，轉化為單變量函數最值問題，本題較復雜不好轉化，我們考慮其它想法.

解法1 數形結合（線性規劃）

a4=-12a1+32a3，故可轉化為線性規劃問題：已知實數x，y滿足x2+y2=10，求-12x+32y的最大值.（解略）.

評注 本解法實際就是將看似數列問題抽象概括為線性規劃問題.數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，貫穿在數學的產生、發展、應用的過程中.數與形看似對立，實則統一.當要求的目標函數有比較明顯的幾何意義，或經過等價轉化后式子中產生有幾何意義的部分，我們可以考慮用線性規劃解決.例如：目標函數為|x+y-2|，可將其轉化為2·|x+y-2|2，原問題就轉化為可行域內的點到直線x+y-2=0距離的2倍，當然本例也可分類討論解決.在數學教學活動中，注重抽象能力的培養，有利于學生更好的理解數學的概念、命題、結構和系統，有利于學生在其他學科的學習中化繁為簡，理解數學學科的知識結構和本質特征.

解法2 換元法

令a1=10cosθa3=10sinθ（θ∈[0，2π）），通過待定系數法得a4=-12a1+32a3=-1210cosθ+3210sinθ=5sin（θ-φ）≤5，當且僅當sinθ=310，cosθ=-110時取等號.

評注 事物間是普遍聯系的，有時兩者間的表面上毫無聯系，實際是隱隱中聯系著的.題目中已知和未知之間的關系比較復雜，我們可以引入一個中間量，利用中間量起到紐帶的作用改善這種復雜關系.看到△2+◇2=a2轉化為（△a）2+（◇a）2=1，聯想到cos2θ+sinθ=1這個模型，就可以進行三角換元了.

解法3 主元法

（a4-3d）2+（a4-d）2=10化簡得5d2-4a4d+a24-5=0，關于d的方程有解，故△≥0，-5≤a4≤5，所以（a4）max=5 .

評注 方程是溝通已知變量和未知變量的橋梁.主元法是通過不同的角度看待題中的參數，構造與問題相應的二次方程，考慮方程在實數集R上有解利用Δ≥0求解最值.若變量a1>0，d>0，考慮△≥0，就有問題.因為△≥0只能保證方程有解，而不一定有正數解，解題時使用該法要慎重.本解法實際上就是二次方程有實數解Δ≥0這一模型的實際應用.

解法4 配方法

a21+a23=10化為a21+2a1d+2d2-5=0.a24=（a1+3d）2+λ（a21+2a1d+2d2-5）=（1+λ）a21+（6+2λ）a1d+（9+2λ）d2-5λ.令△=（6+2λ）2-4（9+2λ）（1+λ）=0，解得λ=0（舍）或λ=-5.

所以a24=（a1+3d）2+λ（a21+2a1d+2d2-5）

=（1+λ）a21+（6+2λ）a1d+（9+2λ）d2-5λ

=-4a21-4a1d-d2+25

=-（2a1+d）2+25

≤25，-5≤a4≤5.

評注 從整體考慮問題，借助待定系數法令△=0解出相應系數，這樣的操作必然會使多項式配成完全平方，再利用不等式放縮獲得關于a24的不等式.靈感來自圓系方程和△=0時二次方程有等根.解題時要學會知識的遷移，這就要求我們要從整體認識數學課程，因為知識和知識之間不是孤立的，而是普遍聯系著的. 本解法實際上就是二次方程有兩個相等實數解△=0這一模型的實際應用.培養學生的建模素養，有利于學生養成從整體的角度思考問題和解決問題的習慣；有利于學生養成數學應用意識，提升學生數學應用能力.有利于學生感悟數學與現實世界的聯系，認識數學的價值，提升學生學習數學的興趣和解決現實問題的自信.

解法5 不等式法

（1）基本不等式法

a24=（-12a1+32a3）2.

即4a24=a21-6a1a3+9a23=10+8a23+6（-a1）a3

=10+8a23+6（-ka1）a3k

≤10+8a23+6k2a21+a23k22

=10+（8+3k2）a23+3k2a21.

令8+3k2=3k2，得k2=3.于是4a24≤10+9a23+9a21=100，-5≤a4≤5，所以（a4）max=5（當且僅當a1=-1a3=3時取到）.

（2）柯西不等式法

（14+94）（a21+a23）≥（-12a1+32a3）2=a24，當且僅當a1-12=a332，即a1=-1a3=3時取等號.

評注 邏輯推理是得到數學命題、構建數學體系的基礎.在解決較為復雜問題時，我們要有預見性，這樣才能使問題中的隱性關系顯性化.對于一個問題，未知與已知之間的關系有時是比較顯性的，解題就比較順暢；而有時又是隱性的，解題就比較坎坷.我們利用邏輯推理就可以結合基本不等式和柯西不等式改善求解目標的結構后便于解題. 邏輯推理是科學素養的思維核心.一個人具有邏輯推理的素養，就可能會理性地觀察、理解和解釋周邊事物.在數學教學活動中，邏輯推理素養的養成，有利于學生理解數學結論的來龍去脈，形成舉一反三的能力；有利于學生形成有論據、有條理、合乎邏輯的思維習慣；有利于學生提升探究事物本源的能力；有利于學生形成創新意識，提升創新能力.

二、問題啟示

二元最值問題一般解法可歸納為：消元法，換元法，不等式法，主元法，和線性規劃，配湊法等，主要用到方程思想（主元法），函數思想（消元法，換元法），等價轉化思想（不等式法、配湊法），數形結合思想（線性規劃）.這需要我們平時解題時選用恰當的方法，更要加強經驗積累，并做好解題后的反思，因為解題思想來源于實踐又對實踐有指導作用.當然這類問題在高等數學范圍內就是條件極值問題，我們可以用拉格朗日乘數法，這里就不加敘述了.

美國著名數學教育學家波利亞說：“一個專心的認真備課的教師能夠拿出一個有意義的但又不復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面.使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域.”因此，在日常解題教學中可以通過例題的一題多解一方面使學生在原有認知基礎上進行再認知，深化理解知識間的聯系，從而達到復習知識，提升能力，優化已有知識網絡結構的目的；另一方面，可以讓學生體會站在系統的高度上看問題給解題獲取思路帶來的便利.在一點一滴的積累過程中，提高學生對數學的理解，借助數學學科發展學生的核心素養.

數學教學應體現學生的主體參與，不要教師一講到底，因為“告訴我，我會忘記；分析給我聽，我可能記住；如果讓我參與，我會真正理解”.教學不僅要授魚，更要授漁，通過一題多解，激發學生內心深處的創新意識，使得學生有創新的沖動，化被動為主動，就是說教學還要授人以漁.核心素養的養成不是一朝一夕之功，需要教師在數學教學過程中，引導學生站在系統的高度用聯系的觀點看待教材各章節的知識，整體把握知識框架，做透教材中的例題，習題，體會蘊含其中的解題技巧，思想方法，從而沖破題海，提高學習效率.當然，數學的核心素養不僅僅是掌握知識點和技能，更重要的是在知識學習中表現出的人格特征和智慧特征，是學科內在和潛在價值、精神和文化在學生身上的體現.

本文若能給您帶來一些啟發，筆者將倍感欣慰.