解析幾何課程內容發展的邏輯與教學實驗

張忠旺++王秀麗++呂夢雨++馬銘鑫

摘 要：本文研究了解析幾何教學、核心教學內容的發展史以及現代化趨勢，認識到了解析幾何現代發展的特點。它的核心教學內容的發展對教學模式的創新是新的驅動力。要求教學必須達到學生能夠利用計算機及相關軟件分析復雜曲線、曲面。有效的融合代數方程、計算機與幾何成為解析幾何教學這三個方面內容的教學模式一定程度上能夠達到解析幾何的現代化教學要求。

關鍵詞：解析幾何 代數方程 計算機繪圖 人機交互 教學實驗

一、解析幾何與線性代數課程教學內容的現狀和歷史

解析幾何主要內容是用向量代數方法研究二、三維空間內曲線、曲面的幾何問題。向量代數方法主要是一、二次的代數方程與線性方程組。從現在一些高校使用的教材可也看到，解析幾何與線性代數課程[1][2]的合并（或集成）為一門課占有不小的比例。下面相關教材的信息統計，可以獲知這些變化。工科與理科專業使用教材的情況：工科專業使用的教材《線性代數與解析幾何》 （網絡檢索結果約500，000個）或 《線性代數與空間解析幾何》（網絡檢索結果約562，000個）的主要章節為：行列式及其計算，向量代數，平面與直線，平面與直線，矩陣及其運算，n維向量與線性方程組，特征值與特征向量，二次型與二次曲面，線性代數與空間解析幾何的應用模型。工科專業使用的教材《線性代數》（網絡檢索結果約686，000個）。使用這兩類教材的比例約為562﹕686。理科專業使用的教材《高等代數與解析幾何》（網絡檢索結果約19，400個）的主要章節為：多項式，行列式，矩陣，線性空間，線性變換， Euclid 空間，雙線性函數與二次型。理科專業使用的教材《空間解析幾何》（網絡檢索結果約49，200個）。使用這兩類教材的比例約為194：492。從教材和課程內容，我們看到二次曲面與線性代數在其中扮演重要角色。把高等代數與解析幾何合并成一門課具有其內在的合理性，但是，解析幾何范圍內的幾何問題包括除了圓錐曲線（Conic Sections）和二次曲面性質與圖形之外，還有其他的曲線、曲面。這些曲線和曲面大量地出現不同的科學、工程領域中。例如螺旋線、環面。對于這些曲線和曲面，線性代數方法很難處理。同時，按目前的信息與計算科學的解析幾何課程教學計劃學時，學生系統地學習解析幾何比較困難。我們希望了解和認識一門課程的內涵，也就必須認識它的發展史。解析幾何的創立得益于代數學的飛速發展，17世紀笛卡爾[3]引進坐標系后，一大類幾何圖形和代數方程成為等價的事物。把圖形轉換為代數方程描述的數與數的關系來研究的方法就稱為解析幾何。1874年，美國翻譯出版的法國學者J.B.BIOT的解析幾何教材：《AN ELEMENTARY TREATISE ON ANALYTICAL GEOMETRY》[4]，其中沒有出現行列式與矩陣等線性代數的主要方法。1902年，David Hilbert 的幾何基礎[5]出版了。100多年后，北京師范大學出版社在1984年出版了朱鼎勛與陳紹菱的解析幾何教材《空間解析幾何學》[6]。這是一本解析幾何課程的典型教材。其中主要的方法是向量代數、坐標變換與二次型。傳統的數學課程體系中（包括工學數學課程體系），將解析幾何單獨列為一門課程（或一些獨立的章節），主要講述空間圖形（包括空間直線、平面和二次曲面）的代數處理方法。其實，解析幾何本身與線性代數有著深刻的內在聯系，例如，空間直線和平面都是由線性方程組來表示的，二次曲面的分類其實就是二次形的標準形問題。所以將這些內容加入到高等代數中來，不但節省了大量的時間，而且對學生加深兩門課程的理解也是非常有益的[1]。

二、解析幾何的現代化與應用前沿以及課程的教學實驗

1963年，伊凡·蘇澤蘭（Ivan Sutherland）在麻省理工學院發表了名為《畫板》的博士論文[7]，它標志著計算機圖形學的正式誕生。至今已有五十多年的歷史。使用計算機處理三維空間的曲線與曲面的顯示與人機關系。它可以研究大量的復雜方程的曲線與曲面的性質以及它們之間的關系。在解析幾何課程教學方面，計算機作圖確實可以增加學生的對非二次曲面幾何的直觀理解，極大地提高了教學的效率，以及學生直觀地理解復雜曲線、曲面。例如用某種計算機語言，計算、繪制一個旋轉的橢圓拋物面。如果用z=x^2+y^2形式的方程，編寫程序：

x=[-10：0.1：10]；y=[-10：0.1：10]；[X，Y]=meshgrid（x，y）；Z=X.^2+Y.^2 ；

plot3（X，Y，Z）

畫出來的立體圖上的網格是分別按x、y的參數值的變化生成的圖（1）。同樣的方法，編寫程序：

x=[-10：0.2：10]；y=[-10：0.2：10]；[X，Y]=meshgrid（x，y）；Z=X.^2-Y.^2；

plot3（X，Y，Z）

畫出的方程為z=x^2-y^2的雙曲拋物面上的網格是分別按x、y的參數值的變化生成的圖（2）。

不僅僅如此，計算機作圖是對解析幾何的傳統教學方法、手段的重大改進，還克服了復雜曲面曲線無法繪制的囧境。如果僅僅認識到利用計算軟件繪制曲線與曲面，可以比較直觀的看到曲面的一些基本性質，例如：對稱性，有界性，邊界等，那實質上還是輔助教學，教學的內容沒有進化與更新，也就是給定了曲面的方程，然后計算、繪制該曲面的3維圖像，那是遠遠不夠的。一方面計算機繪圖滲透到了解析幾何課程的教學中，另一方面更重要的發展是三維空間中的曲面、曲線已深入到了可以直觀展示不同學科領域的現象、性質與規律。例如，近二、三十年，計算機計算速度的大幅提高，曲線、曲面的計算已經有了相當的發展。最初的3D動畫、3D電影，現在的3D打印、3D重構已經深入到科學研究、工程設計以及日常生活中，這些新應用、新技術、新理論還在不斷地進化。這些都依賴曲線、曲面的計算與測量。一般情形是曲面并不都是教材中的二次曲面。測量方法有無線電、激光等電學、光學設備，例如：照相機、攝像機、雷達等。特別是在計算機視覺[8]方面， 3D重構[9]的發展對三維空間的曲面、曲線的計算提出更高的要求，計算機視覺是計算機圖形學的反向計算。計算機圖形學是從3維對象測量計算獲得圖像數據，而計算機視覺通常是從圖像數據通過計算獲得觀測對象的3維圖形，也有這兩種方法的結合趨勢，例如：在增強現實技術中，就是在屏幕上把虛擬世界套在現實世界并進行互動。

1.解析幾何中，n次曲線、曲面在笛卡爾坐標系下的3維計算的手段是n次代數方程，笛卡爾坐標系與代數方程構成了這類3維計算的基礎。 笛卡爾坐標系與代數方程幫助我們充分認識了二次曲線與曲面。例如：圖（1）與圖（2）就是使用了笛卡爾坐標系與橢圓拋物面方程x2+y2-z=0、雙曲拋物面方程x2-y2-z=0，通過計算給出的這兩類曲面的視圖。

2.在工程與其他科技領域，等高線圖可以表示觀測對象特定數據的3維圖。這一類曲面一般不能由代數方程來表示。例如：陸地的海拔等高線地圖，規則物體或流體的溫度分布圖，某區域的大氣的水汽分布圖，運動物體的GPS軌跡圖。等高線圖實質上是一張關于某種特定數據的照片，形式上等同于圖（1）與圖（2）。這類圖都是通過對觀測對象進行測量而獲得的某種特定數據對應的三維空間的曲線與曲面圖。這些曲線與曲面沒有對應的方程，都用離散的二維數據來表示，并存儲為一張數字照片。

3.觀測對象的3D重構是從一些二維數據照片通過計算得到其他若干個笛卡爾坐標系下的二維數據照片。

1）如果已知曲線、曲面在一個笛卡爾坐標系內的代數方程，那么通過不同笛卡爾坐標系之間的坐標變換，能夠確定地計算曲線與曲面的新代數方程。

2）如果已知曲線、曲面在一個笛卡爾坐標系內的等高線圖，同樣的方法可以得到新笛卡爾坐標系下的二維數據照片。

3）如果已知曲線、曲面在一個笛卡爾坐標系內的其他類型的二維數據照片（例如：一般的相機照片），如何得到新笛卡爾坐標系下的二維數據照片？這部分內容正是計算機視覺研究的核心內容之一。我們指導學生在這個方面做了一些試驗與計算。下面簡單介紹一下實驗的基本方法與實驗的結果。在對物體進行拍攝后得到的相片中，由于物體表面幾何形態、點光源位置、光強等因數的改變會導致物體表面反射光路的改變與反射光光強的變化，照片中拍攝對象的明暗關系都會發生變化。我們可以根據光源與物體表面的關系（包括理想反射面與一般反射面的成像理論，點光源與反射面亮度的關系），得到點光源下理想表面反射成像的規律。控制其中一個或多個影響物體表面成像的重要參數，改變點光源位置等，拍攝觀測對象，利用軟件讀取照片，用給定的光反射模型進行計算，可以得到觀測對象的一個完整的表面的三維數值圖像。下圖（6）（7）是試驗中拍攝的傾斜紙板照片與計算得到的三維數值圖像。

三、解析幾何教學實驗的一些體會

解析幾何課程本著聯系實際科技應用與科學前沿[10]，拓展教學內容，開闊視野的目標，把計算機圖形學與“3D計算”的思想、方法與實踐引入。我們可以在教學過程使用計算機與顯示設備，一方面，在三維空間中，把復雜代數方程對應的圖像的基本性質比較直觀地顯示出來。另一方面，認識到三維數值圖像在計算機視覺等高新科技領域的重要應用。通過這一方面的教學與實踐，讓學生認識到不僅僅方程的計算與推理可以分析曲線、曲面的性質，還可以通過適當的計算也可以分析曲線、曲面的性質。進一步，認識到計算機的計算能力與顯示同樣能夠證實曲線、曲面的特征。即基于適度的基本編程的人機交互[7]來學習曲線、曲面的基本規律。上文列舉了的解析幾何與計算機相結合的例子，通過使用這種更簡潔易懂，同時更加現代化的解題辦法，真正實現數學與計算機的結合，使得解析幾何這門學科具有新的生命力。

參考文獻：

[1] 孟道驥. 一門“國家精品課程”的建設-南開大學“高等代數與解析幾何”課程[J]. 高等數學研究， 2005，8（3）.

[2] 馮良貴，戴清平，謝瑞強，李超，陳摯. 國防科技大學“線性代數與解析幾何”課程建設的特色[J]. 大學數學，2009，（6）25.

[3] R.Descartes.The Geometry of René Descartes [M].Translated by David Eugene Smith and L. MaricaLatham，Dover Publications， Inc. 1954.

[4] D.Hilbert. Foundations of Geometry[M]. Authorized by translation by E.J.Townsend， 1902.

[5] J.B.Biot. An Elementary Treatise on Analytical Geometry[M]. Cadets of the Virginia Military Institute at Lexington VA， 1874.

[6] 朱鼎勛，陳紹菱.空間解析幾何學[M].北京師范大學出版社，1984.

[7] I.Sutherland.Sketchpad：A Man-Machine Graphical Communication System[D].Mass-

achusetts Institute of Technology， 1963.

[8] O.Faugeras. Three-Dimensional Computer Vision ： A Geometric Viewpoint[M]. MIT Press， 1993.

[9] U. C. Pati. 3-D Surface Geometry and Reconstruction：Developing Concepts and Ap-

plications[C].Information Science Reference， 2012.

[10] 何援軍. 幾何計算及其理論研究[J]. 上海交通大學學報， 2010， （3）44.