哲學視域下的數學語言研究

姬粱飛

摘要：數學語言與哲學有著深厚的歷史淵源。一方面，數學語言發展是哲學研究的一個重要領域，它為哲學提供研究內容與證據。另一方面，哲學作為世界觀，它又為數學語言提供指導思想，哲學作為方法論，也為數學語言發展提供認識與探索工具。數學語言的哲學認知水平有助于人提升其道德認知水平、樹立正確的世界觀及價值觀。

關鍵詞：數學語言；哲學；德育；核心素養

doi：10.16083/j.cnki.1671-1580.2017.04.021

中圖分類號：B017

文獻標識碼：A

文章編號：1671-1580（2017）04-0070-04

B.Demollins曾言：“沒有數學，我們無法看透哲學的深度；沒有哲學，人們也無法看透數學的深度；而沒有兩者，人們什么也看不透。”數學語言既屬于數學領域，又屬于語言學領域，這種研究已涉及代數語言學、統計語言學以及算法語言學等領域。數學語言的認知水平不僅對數學學習行為起到促進或限制作用，甚至對其道德認知水平、價值觀、世界觀等產生重要影響。

一、哲學是模糊的。數學語言卻是精確的

中國哲學的主要成果是古代哲學，并以道、儒、法、墨等諸家為主要哲學流派。在認識世界方面的哲學成果主要是以老莊與周易為代表的自然觀；在社會價值與規范方面的成果主要是以孔孟學說為代表的倫理觀。從哲學角度來說，中國是一個“道”的國度，“道”在中國哲學中代表一種獨特的哲學思想。莊周認為，“道，理也”，“道無不理”。中國古代哲學是研究宇宙內萬事萬物的運行規律，闡釋事物運動變化軌跡或軌道的一種學說。哲學的英文為Phi.losophy，它沒有統一而明確的定義，在一般意義上哲學是指對普遍或基本問題進行研究的一類學說。西方哲學對中國影響最大的是馬克思主義哲學，目前西方仍存在著各種哲學派別，延續與發展著西方哲學，其中把現代西方哲學與馬克思主義革命理論相結合的哲學流派又稱西方馬克思主義。哲學是方法論與世界觀的統一，既是方法論又是世界觀。

語言是人類交流思想、表達思維活動的一種工具，由詞匯、語音及語法等構成，是傳承文明和推動社會發展的橋梁。數學語言是語言的下位概念，既有語言的共性，也有自身的獨特性。集數學之大成者高斯曾把數學比喻為上帝的語言，以此類推，數學語言則是上帝的口舌了，當然，這也只是一種形象的比喻罷了。前蘇聯數學家斯托利亞爾說過：“數學教學就是數學語言的教學?！睌祵W學習就是數學語言不斷適應與內化的過程。數學語言是在人類思維發展過程中逐漸形成的，按照特有的語法規則，以數學符號為基礎，以數學定義、公理、定理以及公式等專門術語為要素所構成的一種科學語言。

二、世界是一本以數學語言寫成的書（唯物辯證法）

（一）數學語言的客觀性。數學這門古老的科學是從人類生活實踐中發展而來，起初從原始時期的“結繩記事”到后來的阿拉伯數字，再從珠算到現代計算機，這些都表明數學來源于實踐。數學語言的發展也是在生活實踐中抽象出來的。數學與客觀事物存在一種映射關系，它反映著客觀存在物的某種空間形式和數量關系，并投射著人類對客觀現實的描述形式。數學的研究對象是客觀事物，但它的直接對象卻是數學語言，而且數學知識也是存在于數學語言之中。比如，線段公理（兩點之間線段最短）是從現實中抽象出來的，在地面上扔個肉包子，在沒有其他障礙物的情況下，狗直接奔包子，而不是繞個彎；“大漠孤煙直”，用數學語言描述就是線面垂直關系；“長河落日圓”，用數學語言描述就是線與圓相離、相切及相交。再如，地球儀的經緯線是用數學語言表達的，將地球儀分南北半球，每半球均分90份，每份代表1。，其經線是用二面角平面角的表達形式。

“草木本無意，榮枯自有時?！睌祵W語言是客觀規律的產物，一方面，數學語言作為描述數量關系或空間形式的一種思維表達形式，其研究對象是客觀世界的運動規律。數學語言來源于現實生活，它只有應用于生活才能體現其存在的價值。在人類環境中處處可見，房屋的形狀是由三角形、正方形、矩形、圓形等構成，用數學語言描述就是點線、線面、面面等關系。另一方面，數學語言是人類抽象思維的表達形式，它無法脫離感性事物而獨立存在。再抽象的數學語言也離不開現實世界，不論內容還是形式都與現實存在著一種對應關系。這個對應關系又受到人類認知水平與歷史階段的限制，它只能是自然界或客觀現實一種無限接近的結果，而不是絕對的。所以，數學語言對客觀現實而言，它又具有相對獨立性，它意味著在某種情況下可以脫離具體現實而獨立發展，而且能夠自成體系。

方法論意義：荀子言道：“天有常道矣，地有常數矣，君子有常體矣?！睌祵W語言是客觀規律的反映，教師需要重視學生學習數學語言的現實原型，而不是忽略其現實性，掌握數學語言在現實生活中的應用才是學習數學的要義。

（二）普遍聯系的觀點。數學語言本身就具有普遍聯系性，學習數學語言有利于培養聯系的觀點。理解數學語言的普遍聯系性，需要尋找知識之間的聯系，從這些聯系中尋求解決矛盾的途徑和方法，并把握數學語言對各種概念的不同表達形式，從而加以聯系與推廣，善于抓住概念之間的種屬關系。比如，Euler Fonllula：e^ix=cosx+i sin x.這個公式最不可思議之處就是非常巧妙地包含了五個不同尋常數0，1，e，π，i.，它把實數中兩個最特殊的數0、1，兩個超越數p、e，虛數單位i，以及兩個運算關系符號聯系起來。它把原本各自獨立存在的三角函數與指數函數聯系在一起，還實現了指數函數和三角函數在復數域內之間的相互轉化，令人嘆為觀止。另外，同構概念是在映射概念的基礎上建立起來的，在集合論中，函數、變換運算又都統一于映射。函數、極限、連續、導數、微分等概念本身就是一個相互關聯的概念體系。此外，群、環、域都是用集合語言闡釋的，通過集合語言定義新的運算或特殊元素，形成新的性質規律。再如，向量概念，需求區別向量與數量的關系，向量是一種嶄新的數學概念，它是對數量概念的發展與超越。三角函數、向量、幾何、復數之間存在千絲萬縷的關系，它們使用著相似的邏輯工具，概念上也有著親緣關系。在數學思想方法上，數形結合思想是代數與幾何的巧妙結合，笛卡爾發明的坐標系也是數與形的聯系。分類討論思想是采用數學語言的手段將復雜問題逐一分類，從而各個擊破。

方法論意義：數學語言具有相互聯系的性質，正是因為這種相互聯系，可以借助某個領域內已經解決的問題化解另一個領域的問題，這本身就是一種思想方法，對學生也是一種潛在而影響深遠的教育資源。

（三）運動發展的觀點。任何事物的發展都是一個過程，并總是向前發展，呈現螺旋式上升的發展形式?！跋s噪林逾靜，鳥鳴山更幽?！睌祵W語言的發展也是動中有靜，靜中有動，呈現出一種運動形式，既反映客觀世界運動發展的現象，又為人們認識世界、改造世界提供新的有力工具。比如數集，經歷了自然數集、有理數集、無理數集、實數集、復數集，從數環到數域，從整數的離散性到有理數的稠密性，再由有理數集的間斷性發展到實數集的連續性。顯然，數學語言每一步的發展都體現了運動發展的規律，并是一次質的飛躍。另者，函數概念起初定義為隨著某條曲線的點而變動的量發展到把函數看作是變量與常數或公式方程的組合，再到一種對應關系，最后到集合之間的映射，此時方將函數本質特征徹底地抽象概括出來。再者，微積分的實無窮小，發展到潛無窮小，再到實無窮小與潛無窮小的交叉，數學語言的描述也由靜態范疇發展到動態范疇，人們最終得以正確認識無窮小量的意義。此外，模糊數學概念也反映了數學語言變化發展的特征，人類起初認識確定性變量，造就了經典數學的誕生與發展，隨著人類認識能力的提升，開始認識到隨機變量，進而發展了隨機數學，后來認識了模糊性變量，從而促使模糊數學的誕生與發展。還有幾何語言的發展，從初等幾何（歐式幾何）、解析幾何（笛卡爾）、射影幾何、微分幾何（變量幾何）發展到羅氏幾何與黎曼幾何（非歐幾何）等。

方法論意義：數學語言在人類歷史長河中，只有不斷地運動發展，才能破殼而出，實現自身的發展，它不但呈現出時間上的持續性與空間上的廣延性，而且促進了數學與其他學科的交替性發展，更

（七）必然性與偶然性。必然性：雖說世界上有上千種文字語言，但各國的數學語言卻是相同的，數學語言是國際上通用的語言。數學語言能夠在歷史長河中流傳下來，而且完全國際化，這說明數學語言的誕生與傳承具有必然性，其相容相通、精確美觀、簡潔緊湊。偶然性：數學語言的創作與傳承具有一定的偶然性，其創作主要有兩個渠道。第一是由某個歷史時期的人民大眾所創，廣泛流傳并約定下來，第二是由某個數學家首次使用或發明。不管哪種渠道，在特定歷史時期，創作者都會受到社會文化背景、價值觀念、理想追求以及知識儲備水平等因素的影響。同時，語言在國際傳播的過程中，翻譯者也會對數學語言的解釋賦予個性化意義。因此，數學語言往往蘊含著創作者的個性化意義，也反映著傳承者的某些個性心理特征，并具有一定的鮮明的文化背景。比如，歐拉認為數學符號應當規則化、簡約化；萊布尼茲認為優良的數學符號能夠節省思維勞動，它是掌握數學的關鍵。比如，微積分符號，它是牛頓、萊布尼茲、高斯等諸位數學家創作的。某些數學語言直接用數學家姓名命名或源于經典歷史故事或事跡。例如，伯努利方程、辛欽大數定律、歐拉公式、貝葉斯定理、高斯分布等。如同無理數并非是沒有道理的數，虛數也并非為虛假的數那樣，它們都有著不同凡響的傳說。

（八）數學語言多樣性與特殊性。數學語言的語句語法有多種類型，不同類型的語言語句又有不同的結構，比如文字型語言語句、符號型語言語句、圖形圖表型語言語句等。數學語言語句也有其特殊性。由于其自身特性，某些數學語句存在著獨特的規定性，比如數學術語、數學專業名詞或概念，聯結規則與自然語句是有所不同的，還有某些數學公式的表達形式，由不同詞性的語句組成，它往往有別于自然語言的語句形式。

三、數學語言的德育價值

第一，促進思想文化的理解與傳承，任何一種思想文化或心智技能必須借助于外部語言方能得以傳承。數學語言表達與傳承數學思想、方法、規則，反映數學思維的本質，揭示數學發展規律，比如分類討論思想方法的應用研究。第二，促進人類數學思維的有效發揮。數學語言作為研究數學思維的工具，其本身是自然科學與社會科學相結合，以嚴密邏輯的數理符號為依托，以抽象概括的范式為準則，以精確簡潔為特點的一種形式化語言。它不僅是數學本身的語言，也是其他學科不可或缺的研究工具，也代表各學科向數學化發展的一種趨勢。只有掌握數學語言規律與表達形式，才能徹底發揮數學思維的巨大功能，才有助于提升人的核心素養。

數學語言蘊含著豐富的哲學辯證思想，它以簡明圖形、規范符號、深刻公式、形式化語言風格把客觀世界的辯證規律明確地予以表達。比如人與人距離關系的對立統一：人和人猶如數軸上那些有理數點，他們可以彼此挨得很近，但終究存在著隔閡。人類并不孤單，猶如數軸上存在著無限的有理數點，在其任意鄰域內都能找到伙伴；但人卻又是異常寂寞的，亦猶如數軸上無理數點被標出后，突然發現人的伙伴又都逐個消失了。求同存異的思想：哪怕兩個人是站在對立面，只要他們彼此的心還是連續的，那么他們總能找到一個雙方平衡點（零點存在性定理）。樂觀自信的心理品質：人生的修為是可積的，雖然在人的一生中會存在若干個間斷點，但這并不影響它的積累（可積的充要條件）。數學語言具有豐富的德育功能，深入挖掘其德育因素，對學生進行科學的世界觀和人生觀教育，培養其優秀的心理品質和理性思維習慣，提升其核心素養都有重要意義。這樣的教育才能真正具有活力與生命力，才能培養出更豐富、更和諧、更完整、更有力量的人。