基于軟件工程專業培養目標的離散數學課程教學改革

祁偉　孟慶旭　趙輝

摘要：針對目前離散數學課程作為軟件工程專業基礎課程，其教學內容和教學方式沒有體現其在后續專業課程中的作用，提出基于軟件工程專業培養目標，合理構建教學內容和教學實踐方式，重點闡述如何在教學內容中設計與后續課程緊密相關的教學案例，并采取任務驅動的教學模式。通過在偏序集講述內容中引出數據結構的拓撲排序一例，具體展示教學改革的設計和實施細節，最后總結在軟件工程專業培養目標下的離散數學課程改革與實踐在教學效果上的體現。

關鍵詞：離散數學；軟件工程專業；任務驅動；改革與實踐

doi：10.16083/j.cnki.1671-1580.2017.04.052

中圖分類號：G642

文獻標識碼：A

文章編號：1671-1580（2017）04-0180-04

離散數學課程是研究離散量的結構及其相互之間關系的學科。自上世紀70年代以來，它一直是計算機學科核心課程之一，更是軟件工程專業的專業基礎課。然而離散數學的教學現狀卻沒有體現它作為軟件工程專業基礎課程的地位，一是學時不夠多，二是教學內容比較陳舊，過于注重數學理論的推導，而忽視了它作為計算機后續課程的支撐作用。離散數學是不斷發展的學科，它既包括一些古老的數學內容，又有一些近代建立起來的新的分支。主要有：集合論，邏輯推理，組合數學，代數系統及圖論幾個彼此獨立的分支構成。它具有概念多，內容雜，理論性強，抽象，難于理解的特點；另外國內很多教材的內容很少提及與其他計算機各專業課程的關系，因此對于應用型工科學生，雖然認識到離散數學有助于提高他們抽象思維能力和邏輯推理的能力，但是他們更注重一種技能的獲得，因此就會覺得離散數學枯燥無趣，愈發感覺學習起來很困難。

基于以上原因，國內各高校從事離散數學教學的許多教師，紛紛從各個方面進行了教學的改革與實踐，例如有采用啟發式教學的，有增加實驗環節的，這些在教學中也起到了一定的效果。但是，要想真的從根本上解決這些問題，應該從教學內容上著手，從軟件工程專業的角度進行改革。國外教材內容的改革要早于國內教材的變更，前者更側重應用性、思維性訓練，更突出離散數學作為數據結構、數據庫及人工智能等后續課程的理論支撐的作用，并且會隨著計算機出現的新興領域，實時地加入到教材及課堂中。例如，由Dossey，J.A.等編著，章炯民等翻譯的《Discrete Mathematics》中，就有大量的案例，而且每一個專題的最開始都是有一個非常典型的而且和實際生活相關聯的例子，這些例子把離散數學的相關概念和理論與其他計算機專業課程緊密聯系在一起，不僅能夠引起學生興趣，而且在興趣的驅動下，掌握了離散數學的理論，同時也奠定了學習其他各專業課程的基礎。而反觀國內的教材，仍然停留在國外的七八十年代的階段上，仍然只是大量的定律證明與推演，而和軟件工程專業課程的相關性卻很少提及，偶有例子也是一筆帶過，這雖然對訓練學生的數學能力是有一定作用，但學生不知道學這門課程到底有什么用，從而失去興趣，那么這種目的也是達不到的。對于應用型工科生，學習離散數學的主要目的是作為工具應用于計算機領域中，因此可以借鑒國外教材的這種實用性，將離散數學的各個部分的講解與后續各專業課程緊密銜接。但是國外教材的習題開放性過大，不是很適合國內學生的思維習慣，另外國內的課時要求也不允許完全照搬國外的教材，因此我們嘗試在離散數學教學中開展教學內容改革，在軟件工程專業培養目標指導下選擇教學內容，精選案例，從而構建出適合國內學生的教學內容。

一、課程改革的設計

（一）明確教學目標

離散數學是計算機學科的專業基礎課，計算機各專業都有離散數學課程，但各專業講述的內容基本雷同，沒有針對各專業的后續課程有偏重點地劃分。本文從軟件工程專業培養目標及后續課程出發，提出對離散數學課程的教學進行改革與實踐，使離散數學能更好地為其它各專業課程服務。軟件工程專業課程主要有：程序設計語言，離散數學，數據結構，計算機硬件基礎，操作系統，計算機網絡，編譯程序構造，數據庫設計與應用，軟件工程導論，面向對象分析與UMI，軟件系統設計與體系結構，軟件質量保證與軟件測試，軟件項目管理等課程。重點強調在軟件工程專業培養目標下去構建教學內容，設計合理的教學案例，案例的選擇偏重于對后續課程的支撐作用。

（二）基于軟件工程專業培養目標構建教學內容

挖掘離散數學及其他軟件工程專業課程之間的切入點，精選教學內容，選取離散數學和后續專業課程緊密相關的內容。軟件工程相關的核心知識單元包含：集合，關系，函數，樹，圖，數理邏輯，基本證明技術，基本計數，將這些核心知識作為重點講述內容。

根據軟件工程專業的人才培養目標和學生知識特點，不斷調整課程結構和優選教學內容。結合軟件工程領域的實際應用背景，選取離散數學和后續專業課程緊密相關的內容，例如集合與關系部分是算法與數據結構及數據庫課程的基礎，而數理邏輯與圖論部分又與軟件工程密切相關，代數系統又是人工智能及計算機組成課程的先修內容，這些部分需要作為重點內容，而一些純粹的數學定理推導則作為輔助內容，就是簡要介紹離散數學課程的基礎理論，偏重離散數學知識在計算機課程中的直接作用。總之，選取基本教學內容的是以“實用為主，夠用為度”的原則。

（三）基于軟件工程專業培養目標設計教學案例

在軟件工程專業要求下，設計典型案例，案例要能體現出后續課程對離散數學課程的“成果依賴”的作用。結合“離散數學”課程教學，以軟件工程專業要求，結合任務驅動教學模式就提高教學效果和培養計算機專業學生的創新能力和綜合素質方面進行實踐研究。學生要進行課前預習，教師給出教學內容在實際生活中和計算機科學領域的應用，激發學生的主動性和興趣；教師結合問題的應用領域設計相關問題并創設問題情境，呈現問題，學生在任務驅動下進行相關的學習活動，明確任務，查閱相關的資料；教師引導學生對教材內容以小組討論的形式實現協作學習，深入探究問題的解決方案，從而進一步分析問題；教師利用啟發式尋求解答的思想，指導學生基于教學內容利用啟發式規則和推理來尋求更好的解答；學生在教師的引導下，以任務為驅動，逐步掌握各個章節的內容，并在此基礎上將新知識進行鞏固擴展。

（四）基于軟件工程專業培養目標的任務驅動教學模式

任務驅動教學模式強調以學生為中心，強調學生的學習過程必須與學習任務相結合，通過完成任務來激發學生的興趣和動機。根據任務驅動式教學過程的3個要素（教師、學生、任務）和任務驅動的理論基礎提出任務驅動式教學模式。

該模式在任務驅動的主線下把教師的教學活動和學生的學習活動以任務為主線貫穿起來，通過任務來驅動教學活動，并在整個教學活動中體現了軟件工程的方法。通過教學內容的選擇、教學過程設計和教學評價體系的構建實現在軟件工程目標下離散數學課程的教學改革。

二、一個與數據結構課程相關的案例

（一）確定教學內容

偏序關系是一種非常重要的關系，首先教師要介紹偏序關系及全序的定義，介紹哈斯圖的畫法及意義，偏序集中的最大元、最小元、極大元、極小元等相關概念。

（二）設計教學案例

由偏序集可以引出數據結構課程中的拓撲排序。所以在偏序關系中設計一個教學案例：構建房屋所需各項任務為節點，任務之間的先后順序形成一個偏序關系：場地準備A（4，無），表示節點A是場地準備需要4天，無前繼任務；地基B（6，A），表示節點B是打地基需要6天，前繼任務是場地準備A；以此類推，排水設施c（3，A）；骨架D（10，B）；屋頂E（5，D）；窗F（2，E）；管道G（4，（c，E））表示管道需要4天，它的前繼任務是c和E；電氣設施H（3，E）；絕緣I（2，（G，H））；幕墻J（6，F）；墻紙K（5，（I，J））；清潔和油漆L（3，K）；地板和裝修M（4，L）；檢驗N（10，I），所有任務都由一組每次只能進行一項任務的人來完成。運用所學到的偏序集的相關知識，合理安排各項任務，使任務之間要遵照題目所給的順序完成。

（三）任務驅動教學模式

首先提出問題——在講完偏序關系的概念及相關定理后，在下課前給學生布置任務（即上面的案例），學生帶著這個任務去復習所學到的偏序集的相關知識，并思考該問題的解決方案；在下節課上課時，教師會和學生共同探討問題的求解過程：首先確定一個任務集合：s={A，B，c，D，E，F，G，H，I，J，K，L，M，N}，其中A..N是前面定義的各項任務。定義在該集合上的一個關系R：XRY X=Y或者Y必須在x完成后才能開始；然后引導學生確定這是一個什么關系，通過上節課介紹的偏序關系具有的性質：自反性、反對稱性和傳遞性，因為XRX為真，所以該關系具有自反性；XRY為真，并J～YRX也為真，則能推出X=Y，所以該關系具有反對稱性；若XRY為真，YRZ也為真，說明Y在x后完成，而z在Y后完成，則z在x后完成，或者它們相等，所以能推出XRZ為真，所以該關系具有傳遞性。由此可以引導學生得出該關系是偏序關系。既然是偏序關系，一定存在哈斯圖，可以讓學生根據上節課介紹的哈斯圖的相關知識，繪制該偏序關系的哈斯圖。首先要確定COV（s）=[（A，B），（A，c），（B，D），（D，E），（C，G），（E，G），（E，H），（H，I），（E，F），（F，J），（J，K），（I，K），（I，N），（K，L），（L，M）]。然后根據COV（s）繪制哈斯圖如圖1所示：

由上節課介紹可知，不是所有的偏序集都是全序，但是通過極小值的概念可以得出部分序，然后提出問題，如何由部分序能夠得出該任務的全序？讓學生進行討論，教師可以引導學生在原序基礎上通過增加一些條件，比如按任務時間的長短，或者按任務的字母順序等，得到該偏序集的全序，進而確定任務完成的先后順序——由此可以引出數據結構課程中的拓撲排序。假設兩個任務點之間無法比較“大小”，例如完成任務A后，任務B和任務c之間無法確定哪個先做，可以按照時間短的先做，就可以確定先完成c再完成B了。可以通過找極小值的方式依次輸出各個任務點，并且輸出該極小值點后，把該點從圖中刪除，與其相關的線段也刪除：首先該圖中極小值是A，輸出A后，把A刪除，相應的AB，AC線段也刪除，剩余的圖中出現兩個極小值，即B和c，再比較兩者哪個時間短，c是3天，B是6天，則先輸出c，然后把c及CG線段刪除，然后再尋找極小值，以此類推，如果兩個極小值的天數也一樣，則按照字母順序輸出，這樣就可以得到該偏序集的全序關系了，也就是所有的任務點之間都有“大小”一即先后順序了：A，c，B，D，E，F，H，G，I，J，K，L，M，N。問題解決后，可以總結這就是數據結構中的拓撲排序。

使學生在任務驅動下，通過這樣的案例，體會到離散數學課程與軟件工程其它各門課程之間的關系，從而提高學習離散數學的興趣與積極性，并為之后的專業課程的學習奠定良好基礎，從而真正能夠發揮離散數學作為軟件工程專業基礎課程的作用。

三、教學效果

基于軟件工程培養目標的，任務驅動模式的離散數學課程的教學改革與實踐在2012級學生中首次實施。在具體實施過程中，我們總結出有以下優勢：

（一）本著離散數學是軟件工程專業基礎課程，與其他專業課程的密切關系，合理設計和組織離散數學課程教學內容，挖掘離散數學與軟件工程各專業課程之間的切入點，研究有效融合離散數學教學內容與后續課程資源的恰當方式，使離散數學各個部分之間能夠自然過渡，使知識之間能夠自然承接。由與其他專業課程相關的案例中提出的問題，引出離散數學的相關理論，并用離散數學的知識去詮釋該問題，在分析解決問題過程中強化離散數學在其中的支撐作用，將理論知識融入到具體的應用問題中，具體反映在后續課程中取得了很好的反饋效果。

（二）在教學準備中設計一個或幾個典型案例，選取與軟件工程專業課程密切相關的案例，案例可以分為基本案例和綜合案例兩種，基本案例與單個知識點對應；綜合性案例則涵蓋課程中若干個知識點，涵蓋多個概念。這些案例要貫穿整個離散數學的教學內容中，要體現軟件的形成過程中離散數學在其中的支撐作用。案例不要過多，一個案例要在各部分內容中重復出現，強化學生印象，同時可以使離散數學分散的教學內容有機地成為一個整體，使顯示分離的教學內容按照隱示關聯融合在一起。通過這種學生參與的案例的求解過程，極大地提高了學生的實踐能力，在之后的軟件建模和AcM大賽中，都取得了理想的成績。

（三）采取任務驅動模式，學生積極性明顯提高，參與感增強，興趣提高，課堂效果明顯比之前活躍，在期末考試中，雖然難度增強，卻取得了比以往更好的成績。

四、結語

基于軟件工程培養目標的任務驅動模式下的離散數學的教學改革與實踐，不僅增強了學生對于后續軟件工程專業課程的學習及軟件工程能力的培養，提高了學生獨立分析問題及解決問題的能力，及對實際問題的建模能力，培養和提高了學生的抽象思維與邏輯推理能力，而且提高了學生對于離散數學課程的學習興趣，提高了數學素養。但是在實踐過程中，因為課時限制，對于案例的設計要求比較高，案例要求少而精，既要能充分體現離散數學對其他軟件工程專業課程的支撐作用，又要是客觀實際問題，能夠引起學生興趣，使任務驅動模式能夠很好地執行下去。由此，對教師也提出更高的要求，要求教師開闊視野、豐富知識儲備，提升認知水平和信息化教學能力，要對軟件工程各專業課程內容都有不同程度的涉獵，這需要廣大教學改革工作者共同努力。