復(fù)平面閉曲線的繞數(shù)及其應(yīng)用

林慶澤， 尚亞東

（1.廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510520；2.廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣東 廣州 510006）

復(fù)平面閉曲線的繞數(shù)及其應(yīng)用

林慶澤1，2， 尚亞東2

（1.廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510520；2.廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣東 廣州 510006）

給出實參數(shù)閉區(qū)間上的復(fù)平面連續(xù)閉曲線的繞數(shù)的一種定義并證明它的一些重要的性質(zhì)，由此得到關(guān)于復(fù)數(shù)多項式的代數(shù)基本定理的一種推廣形式。利用復(fù)平面上連續(xù)閉曲線的繞數(shù)性質(zhì)給出Brouwer不動點(diǎn)定理的2維形式的一個證明。

閉曲線；繞數(shù)；代數(shù)基本定理；不動點(diǎn)定理

0 引言

在復(fù)變函數(shù)論中，Cauchy積分定理的推導(dǎo)需要利用閉曲線的繞數(shù)性質(zhì)，而且Cauchy積分定理的表達(dá)公式中也包含著閉曲線的繞數(shù)：

定理1(Cauchy積分定理)[1-2]如果函數(shù)f(z)是開盤上的解析函數(shù)且是△上的連續(xù)可微的閉曲線，那么對于不在上的任一點(diǎn)z0，都有

這里我們給出(1)式所定義的等式的合理性的解釋：若將閉曲線用復(fù)數(shù)指數(shù)形式來表示（其中，則因此

本文從研究點(diǎn)z0=(0,0)時的情形出發(fā)，證明了連續(xù)閉曲線繞數(shù)的一些重要的性質(zhì)，并由此得到代數(shù)基本定理的一種以極限的形式來表示的推廣形式，最后利用連續(xù)閉曲線的繞數(shù)性質(zhì)給出Brouwer不動點(diǎn)定理的2維情形的一個簡短的證明，由此顯示出閉曲線的繞數(shù)性質(zhì)在處理分析問題中的重要性。

1 繞數(shù)的若干性質(zhì)

我們證明這樣定義的繞數(shù)是合理的。

證明 這是顯然的。證畢。

證明 存在著α＞0，使得?q∈（-∞，0]，?t∈[a，b]，有取三角多項式P(t)使得?t∈[a，b]，，故從命題2知，n(P)=0，亦即n()=0。證畢。

證明 1）由命題4，這是顯然的。

2 繞數(shù)的若干應(yīng)用

2.1 代數(shù)基本定理的推廣

命題8 令f(z)是定義在復(fù)平面上的連續(xù)復(fù)值函數(shù)，如果存在一個正整數(shù)n和一個非零復(fù)數(shù)z0，使得，那么方程f(z)=0在復(fù)數(shù)域上至少有一個根。

由命題8，我們直接得到下面的代數(shù)基本定理：

定理2（代數(shù)基本定理）[2，7]如果且則多項式方程在復(fù)數(shù)域上至少有一個根。

2.2 Brouwer不動點(diǎn)定理的證明

2）取定任一r0∈[0，1]，因為的連續(xù)性，存在著δ＞0，使得當(dāng)時，因此由命題7知，從而是關(guān)于r∈[0，1]的連續(xù)函數(shù)。

定理3（Brouwer不動點(diǎn)定理）[8]記是到的連續(xù)函數(shù)，則存在一點(diǎn)，使得

[1]AHLFORS L V.Complex analysis[M].3th ed.Beijing：China Machine Press，2004：114-120.

[2]華羅庚.高等數(shù)學(xué)引論：第三分冊[M].北京：高等教育出版社，2009：95-97.

[3]MCINTYRE M，CAIRNS G.A new formula for winding number[J].Geometriae Dedicata，1993，46（2）：149-159.

[4]華羅庚.高等數(shù)學(xué)引論：第二分冊[M].北京：高等教育出版社，2009：96-99.

[5]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析：下冊[M].第4版.北京：高等教育出版社，2010：185-201.

[6]ZORICH V A.Mathematical analysis（I）[M].Berlin：Springer-Verlag，2004：526-551.

[7]RUDIN W.Principles of mathematical analysis[M].New York：McGraw-Hill，2004：184-190.

[8]BORDER K C.Fixed point theorems with applications to eeconomics and game theory[M].Cambridge：Cambridge University Press，2009：28-30.

The Winding Number of Closed Curve in the Complex Plane and its Applications

LIN Qinɡze1，2，SHANG Yɑdonɡ2

（1.School of Applied Mathematics，Guangdong University of Technology，Guangzhou Guangdong 510520，China；2.School of Mathematics and Information Science，Guangzhou University，Guangzhou Guangdong 510006，China）

A definition of winding number of the continuous closed curve in the complex plane，with real parameter interval，is defined，and its several important properties are proven.Base on these，a generalization of the fundamental theorem of algebra concerned with the complex polynomials is deduced.Finally，by virtue of the properties of the winding number of the continuous closed curve in the complex plane，the two-dimensional form of the Brower's fixed point theorem is proven.

Closed Curve；Winding Number；Fundamental Theorem of Algebra；Fixed Point Theorem

O174.5

A

1009-8666（2017）04-0001-05

10.16069/j.cnki.51-1610/g4.2017.04.001

［責(zé)任編輯、校對：李書華］

2016-11-06

林慶澤（1994—），男，廣東揭陽人。廣東工業(yè)大學(xué)碩士研究生，研究方向：數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析；尚亞東（1963—），男，陜西周至人。廣州大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：非線性偏微分方程理論與應(yīng)用。