一類具有信息孤島的時滯信息傳播模型

王有剛， 閆洋龍， 齊子健， 虞成躍， 張子振

（安徽財經大學 管理科學與工程學院，安徽 蚌埠 233030）

一類具有信息孤島的時滯信息傳播模型

王有剛， 閆洋龍， 齊子健， 虞成躍， 張子振

（安徽財經大學 管理科學與工程學院，安徽 蚌埠 233030）

針對負面信息傳播的危害性，并考慮到信息傳播的非瞬時性，提出一類具有信息孤島和傳播延遲的信息傳播模型。以信息傳播延遲為分支參數，進一步研究了模型的Hopf分支的存在性。然后通過分析相應特征方程根的分布，得到信息傳播模型的局部穩定和產生局部Hopf分支的充分性條件。最后，給出一個數值模擬例子，驗證了所得理論分析結果的正確性。研究表明，盡量延遲Hopf分支的發生，可以有效控制負面信息在社會上的傳播，減少社會危害性。所得結果為有效控制負面信息傳播提供了理論參考依據。

信息傳播；傳播模型；時滯；穩定性；Hopf分支

信息化社會里，信息傳播在現實世界中起著越來越重要的作用。然而信息傳播是把雙刃劍，對于社會的穩定和發展有著積極和消極兩方面的影響，如何對信息傳播的過程進行有效控制，以減少和削弱負面信息的危害，發揮信息傳播的積極作用成為當前研究的一個熱點問題。利用數學建模方法模擬信息傳播過程已經成為信息科學領域中的一個重要課題[1]。基于SIS模型，文獻[2]提出了一類級聯信息模型，并研究了信息如何通過博客傳播。文獻[3]研究了一類信息在人際網絡上傳播的模型，并對所得理論結果進行了計算機模擬。文獻[4]則提出了一個基于在線社交網絡的信息傳播模型，利用復雜網絡和傳染病動力學理論，模擬了在線社交網絡中的信息傳播過程，為深刻理解在線社交網絡中的傳播行為提供了理論基礎。

但是，上述這些信息傳播模型，并未考慮到信息傳播過程中，對信息的傳播控制問題。眾所周知，信息可以分為多種類型。對于諸如先進文化和有用知識之類的有用信息，應該對其進行廣泛的深度開發，為決策者提供有效的決策依據。然而，對于謠言之類的負面信息，應該采取積極的控制措施對其進行隔離。另外，目前所研究的信息傳播模型，都假設信息從信源到信宿的傳播是瞬時的。這顯然與實際信息傳播過程不相吻合，因為信息的傳播肯定是需要一個時間周期的。即，目前所研究的信息傳播模型忽略了信息從信源到信宿的傳播周期。延遲因素對動力學模型的穩定性具有非常重要的影響，在一定條件下可能會引起Hopf分支的發生。關于具有延遲的動力系統Hopf分支的研究工作，已經取得了一定的成果[5-9]。文獻[5-6]分別研究了一類具有延遲的經濟增長模型的Hopf分支的存在性；文獻[7-8]分別研究了一類具有消極負反饋延遲的捕食系統模型的Hopf分支的存在性，并對Hopf分支的性質進行了研究；文獻[9]則研究了一類具有延遲的商業周期模型的Hopf分支問題；以上文獻均以模型中的延遲為分支參數，對Hopf分支的存在性進行了分析，得到了一些有益的理論結果。

受以上研究工作的啟發，并考慮到信息傳播過程中負面信息的危害性，以及信息傳播過程中的傳播延遲，本文首先構建一個具有信息孤島和信息傳播延遲的信息傳播模型，然后以信息傳播延遲為分支參數，分析信息傳播延遲對模型穩定性的影響。最后，給出一個仿真示例，對理論分析結果的正確性進行驗證。

1 模型描述

文獻[10]基于如下假設，提出了下列具有信息孤島的信息傳播模型（1）：

a）模型中具有三類個體：無知者x，即對信息一無所知的個體；傳播者y，即獲知信息并對信息繼續散播的個體；被隔離者z，即為了防止負面信息繼續傳播而被隔離的個體。

b）模型中存在出生事件和死亡事件，并且所有的新出生人口均為無知者。

d）信息傳播具有不同的階段，因此，隔離項在信息傳播不同的階段也應該具有不同的形式。在模型中采取的信息隔離函數為

e）模型中個體與個體之間，采取相同的形式進行信息傳播。即忽略個體的差異性。

其中，x(t)、y(t)和z(t)分別表示無知者、傳播者和被隔離者在時刻t的數量。A表示人口出生率，d1表示人口自然死亡率。為信息傳播函數，用來描述信息傳播率。為信息隔離函數，用來描述信息隔離程度。

考慮到信源到信宿的傳播周期，本文在模型（1）中引入信息傳播延遲，得到下列具有信息傳播延遲的信息傳播模型：

2 正平衡點的存在性

鑒于模型（2）的物理含義，本文只考慮模型（2）的正平衡點模型（2）的正平衡點可以通過求解下列方程組得到：

根據方程組 (3)中的第二個方程和第三個方程，可以分別得到把x*，z*的表達式代入方程組（3）中的第一個方程得到關于y*的一元二次方程：

為了方便起見，令

方程（4）可以變為下列形式：

根據文獻[11]對方程（5）根的討論結果，可以得到下列結論。

a）如果A2=0且A0/A1＜0，方程（5）存在唯一正根y*=-A0/A1；

b）如果△=A21-4A2A0＞0，那么當A1/A2＜0且A0/A2＞0時，方程（5）存在兩個正根和；當A0/A2＜0且A2＞0（A2＜0），方程（5）存在唯一正根y+*（y-*）。當A0=0且A1/A2＜0時，方程（5）存在唯一正根y*=-A1/A2；

c）如果△=A21-4A2A0=0且A1/A2＜0時，方程（5）存在唯一正根y*=-A1/（2A2）。

經過以上分析可知，如果模型（2）中的參數滿足以上a）-b）中的任何一個條件，則模型（2）至少存在一個正平衡點。

3 信息傳播延遲對模型的影響分析

作平移變換u1(t)=x(t)-x*，u2(t)=y(t)-y*，u3(t)=z(t)-z*，仍然記u1(t)，u2(t)，u3(t)為x(t)，y(t)和z(t)。

模型（2）在正平衡點E(x*，y*，z*)處的線性化系統為：

其中，

得到系統（6）的特征方程：

其中，

進而，得到

令w2=，方程（10）變為

為了給出本文主要結果，我們給出如假設：（H2）∶方程(11)至少存在有一個正根。如果條件（H2）成立，那么方程（11）存在一個正根0使得方程（10）存在一對純虛根所以，有

因此，

定理1 對于模型（2），如果（H1）-（H3）成立，則當∈[0，）時，模型（2）的正平衡點E*(x*，y*，z*)是局部漸近穩定的；當=時，模型（2）在正平衡點 E(x*，y*，v*)處產生 Hopf分支，其中

4 仿真示例

為了驗證本文理論分析結果的正確性，我們給出一個仿真示例。需要強調的是本文只是對具有信息孤島和傳播延遲的信息傳播模型動力學性質進行了理論分析，希望可以對現實生活中有害信息的傳播控制提供理論指導依據。因此，所用到仿真示例系統參數并不是來自于現實生活中的實際實驗。選取文獻[10]中的部分系統參數值，并考慮到系統（2）產生Hopf分支的條件，我們對系統（2）選取下列一組參數值：A=10，d1=0.1，a=0.2，b=0.01，c1=1，c2=0.5。得到模型(2)的如下示例系統：

經過計算可以得知，此時方程（5）變為

顯然，對于方程（13）有△=3.8633＞0，A2=0.1202＞0，A0/A2=-15.7238＜0。因此，根據第3部分的分析可知，方程（14）存在唯一正根。利用Matlab軟件計算可以得到=15.3263。進而得到系統(13)的唯一正平衡E（*3.6364，15.3263，81.3252），并計算得到a1=-0.1，a2=-0.6019，a3=0.5019，a4=-0.1，a5=-2.6579，a6=-0.5468，a7=2.6579，a8=0.5468，g0=0.0060，g1=0.1304，g2=0.8019，h0=0.1545，h1=1.7562，h2=2.1111。因此，可以驗證條件（H1）成立。進而，方程（11）變為：

利用 Matlab軟件計算可以得到方程（15） 的唯一正根0=5.9170。從而得到 ω0=2.4325，，即，條件（H2）與（H3）成立。根據表達式（12）計算得到傳播延遲時滯臨界點0= 0.7014。當我們取=0.6350∈[0，0.7014）時，系統(12)是局部漸近穩定的，仿真效果如圖1所示。而當我們取=0.7325＞0.7014時，系統（12）失去穩定性，在正平衡點處產生Hopf分支并分支處一簇分支周期解。仿真效果如圖2所示。

圖1 當=0.6350＜0.7014時的相圖軌跡

圖2 當=0.7325＜=0.7014時的相圖軌跡

5 結論

本文研究了一類具有信息孤島的時滯信息傳播模型。通過分析模型相應特征方程根的分布，給出了模型局部漸近穩定和局部Hopf分支存在的充分性條件。研究表明，當信息傳播延遲所引起的時滯取值小于特定臨界值（）時，模型局部漸近穩定。此時，對于信息的傳播控制，可以采取合理的有效控制措施。而一旦時滯的取值超過臨界值（），模型將失去穩定性并產生Hopf分支。此時，將不利于信息傳播的控制。由此可以發現，信息傳播延遲對信息傳播模型的動力學性質具有重要的影響。最后，利用數值模擬對理論分析結果的有效性進行了驗證。

另外，需要指出的是，我們只是從理論上分析了信息傳播延遲所引起的時滯對模型（2）的影響，并利用數值模擬對所得結果進行了驗證，并未將其應用到實際的信息傳播過程中。我們希望本文所得結果能夠對實際的信息傳播過程進行適當控制提供理論指導依據。為了衡量模型在實際的信息傳播過程中的應用效果，我們需要收集大量的相關數據，并通過統計分析相關數據，不斷調整模型中的參數。如果實際的信息傳播過程能和本文所研究的模型動力學性質相吻合，則說明模型在實際的信息傳播過程中是有效的。否則，我們將需要修改完善本文所研究的模型。這也是我們下一步需要解決的研究問題。

參考文獻：

[1]MORENO Y，NEKOVEE M，PACHECO A F.Dynamics of rumor spreading in complex networks[J].Physical Review E.Statistical，Nonlinear，and Soft Matter Physics，2004，69（6）：1-8.

[2]LESKOVEC J，McGlohon，FALOUTSOS C，et al.Patterns of cascading behavior in large blog ggraphs[C]//proceedings of the 7th SIAM International conference on Data Mining，2007：551-556.

[3]孫慶川，山石，蘭田田.一個新的信息傳播模型及其模擬[J].圖書情報工作，2010，54（6）：52-56.

[4]張彥超，劉云，張海峰，等.基于在線社交網絡的信息模型[J].物理學報，2011，60（5）：60-66.

[5]BIANCA C，FERRARA M，GUERRINI L.The cai model with time delay：Existence of periodic solutions and asymptotic analysis[J].Applied Mathematics and Information and Sciences，2013，7（1）：21-27.

[6]BIANCA C，FERRARA M，GUERRINI L.Hopf Bifurcations in a Delayed-energy-based Model of Capital Accumulation[J].Applied Mathematics&Information Sciences，2013，7（1）：139-143.

[7]KAR T K，GHORAI A.Dynamica behavior of a delayed predator-prey model with harvesting[J].Applied Mathematics and Computation，2011，217（22）：9085-9104.

[8]ZHANG J F.Bifurcation analysis of a modified holling-tanner predator-prey model with time delay[J].Applied Mathematical Modelling.2012，36（3）：1219-1231.

[9]于晉臣，彭名書，張彩艷.一類具有時滯的商業周期模型的Hopf分支[J].北京交通大學學報，2013，37（3）：139-142.

[10]ZHAO X X，WANG J Z.Dynamics of an information spreading model with isolation[J].Abstract and Applied Analysis，2014（5）：6.

[11]LI C D，HU W F，HUANG T W.Stability and bifurcation analysis of a modified epidemic model for computer viruses[J].Mathematical Problems in Engineering，2014，（1）：14.

[12]HASSARD B D，KAZARINOFF N D，WAN Y H.Theory and applications of hopf bifurcation[M].Cambridge University Press，Cambridge，1981.

An Information Spreading Model with Isolation and Delay

WANG Youɡɑnɡ，YAN Yɑnɡlonɡ，QI Zijiɑn，YU Chenɡyue，ZHANG Zizhen

（School of Management Science and Engineering，Anhui University of Finance and Economics，Bengbu Anhui 233030，China）

A delayed model for information spreading with isolation is investigated in this paper.Existence of Hopf bifurcation of the model is studied by regarding the time delay，using information spreading as a bifurcation parameter.The sufficient conditions for the local stability and existence of local Hopf bifurcation of the model are obtained by analyzing distribution of roots of the associated characteristic equation.Finally，a numerical example is presented to testify the effects of theoretical results，which provide theoretical reference to control information spreading.Studies have shown that delaying the occurrence of Hopf bifurcation can effectively control the spread of negative information on the society and to reduce harmfulness on the society.The results provide theoretical reference basis to effectively control the spread of the negative information.

Information Spreading；Spreading Model；Delay；Stability；Hopf Bifurcation

D175

A

1009-8666（2017）04-0047-06

10.16069/j.cnki.51-1610/g4.2017.04.010

［責任編輯、校對：王興全］

2017-04-10

安徽省2016年自然科學基金資助項目“具有分級感染率的時滯網絡病毒傳播模型動力學性質研究”（1608085QF151）

王有剛(1967—)，男，山東煙臺人。安徽財經大學副教授，碩士，研究方向：信息安全；閆洋龍（1997—），男，安徽阜陽人。安徽財經大學本科生。