小學數學課堂中滲透“雙重變量”解題思想的探索

虞偉紅

【摘要】“雞兔同籠”是經典名題，很多版本的教材都有收錄，解決此類問題的方法也是多種的，但是每次教學效果不盡人意。本文以《雞兔同籠》一課為例，精心設計環節，合理安排內容，注重滲透“雙重變量”的解題思想，挖掘出各種方法的本質。使學生加深了對此類問題的理解，也為后續學習埋下伏筆，取得了良好的教學效果。

【關鍵詞】雙重變量 雞兔同籠

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）22-0201-03

一、研究背景

“雞兔同籠”作為經典名題，在新教材中，有很多版本里都能找到。比如，北師大版安排在五年級上冊，目的是讓學生學會表格列舉；蘇教版六年級上冊卻是作為“假設和替換”策略的一道練習題；而人教版安排在六年級上冊“數學廣角”中，詳細介紹了“雞兔同籠”問題的出處、多種解法及實際應用。有許多的老師對這個內容進行過教學實踐，有些老師甚至放到二、三年級進行嘗試，學生的表現依然可圈可點。但是，我們課后通過追蹤了解，學生還是存在這以下的現象：

（一）存在的現象

1.現象一，解法理解不透

解決最基本的雞兔同籠問題，學生運用假設法能夠達到80%以上的正確率，60%的學生可以依樣畫葫蘆寫出假設法的計算式，可是算出來的到底是雞的數量還是兔的數量有很多學生說不清楚，甚至出現張冠李戴的情況。

2.現象二，不能學以致用

學生知道題目中出現雞兔的是雞兔同籠問題，可是如果改變了情景，就不知道這還是雞兔同籠問題，不能進行知識之間的遷移，不知怎么解決。進入復習以后，學生再次碰到雞兔同籠的問題，很多學生就吃不準了，“這是雞兔同籠問題嗎？”“什么是雞兔同籠問題？”種種困惑油然產生。

（二）現象的背后

1.只關注問題的結果，不注重問題的本質

師：同學們，你是怎么解決這道題目的？

生1：我是采用列表法。

學生上臺展示自己的方法，講述自己的列表過程。

教師在整個過程中并沒有充分利用學生的資源，學生只是走過程式的找到了答案，大多數學生只是知道解決雞兔同籠問題可以用列表法，只要有序的去尋找，我們肯定能找到我們想要的答案。有相當一部分孩子不會首選列表法，原因太麻煩，是一種比較笨的方法。

2.只關注方法的輸出，不注重方法的理解

我們回憶一下我們許多教師在上這堂課的時候是怎么介紹假設法的。我們的教師強調的是“假設全雞或全兔”，學生并不知道“為什么要這樣假設？”“假設法的根本思路”是什么？教師沒有作出解釋，有些教師甚至還編出了順口溜：假雞出兔；假兔出雞。所以，學生只是囫圇吐棗不知所以，之后的練習也只是依樣畫葫蘆，但是一碰到改變的情景就束手無策。筆者認為要改變這個現狀，我們要去了解學生，要讓學生明白假設的依據是什么？做到知其然并知其所以然。

3.只關注方法的多樣，不注重思想的整合

解決雞兔同籠問題，不同年級可以采用不同的方法，畫圖法，列表法，假設法，方程法等，我們需要去展示這些方法但更為重要的是在我們介紹了所有的方法以后，我們應該對解雞兔同籠的各種方法進行溝通，找到它們之間的聯系，抓住各種方法的本質，滲透解決雞兔同籠的思想方法。

通過以上現象的分析可見，在課堂中解決"雞兔同籠"這一問題方法很多，但是作業反饋情況卻不盡人意，鑒于此筆者在思考是不是要將多種方法的本質進行提煉，從而對這一類問題各種方法的本質進行整合。那么我們在課堂上該如何操作呢？于是筆者結合自身的多年的課堂教學實踐提出了在課堂中滲透“雙重變量”的思想來整合這些方法，用這顆星星之火，去點燃學生思維的火把。

二、探索的過程

雞兔同籠問題有自己的明顯特征：它是把兩種事物放在一起描述，知道兩種事物的不同方面的總和而且兩事物數量之間存在著一定的差距。在初中，“雞兔同籠”問題是放在二元一次方程組解應用題里面的，用設兩個未知數并利用數量關系式列一個方程組來解決問題，而我們小學里采用的眾多解決雞兔同籠問題的方法本質上都是這個解法的具體應用。我們的學生正處在由形象思維向抽象思維轉變的階段，學生對方程陌生，對二元一次方程組更難以理解，因而筆者嘗試著在課堂上滲透“雙重變量”的思想來解決這類問題。我做了如下嘗試：

（一）主線凸顯，貫穿課堂

課的開始 先出現（ ）+（ ）=5，請學生填一填。

再出現（ ）×2+（ ）×4=12，也請學生填。

最后考慮兩個算式都符合的結果。

課的新授 把《孫子算經》中記載的雞兔同籠問題翻譯成現代文再翻譯成數學表達式：

變量一 變量二 變量一 變量二

（雞數） +（ 兔數）=35 （雞數） +（ 兔數 ）=8

（雞數）×2+（ 兔數）×4=94 （雞數）×2+（ 兔數）×4=26

課的鞏固 （1）小松鼠采蘑菇，晴天每天可以采20個，雨天每天可以采12個。6天后共采集蘑菇88個。求晴天有多少天？雨天呢？

變量一 變量二

（晴天） + （雨天）=6

（晴天）×20+（雨天）×12=88

（2）甲種鹽水含鹽，乙種鹽水含鹽 ，把兩種鹽水倒在一起，得到含鹽19%的鹽水100克，甲乙兩種鹽水各多少克？

變量一 變量二

（甲鹽水） + （乙鹽水）=100

（甲鹽水）× +（乙鹽水）× =100×19%

課的結束 如果你會做這樣的問題，你就能解決所有的雞兔同籠問題

變量一 變量二

X — Y =5

2X + 4Y =28

X=（ ） Y=（ ）

我的思考：鄭毓信教授在《數學教育哲學》中說：“數學即是注重思想的科學”，“數學教學的基本任務就在于幫助學習者逐步建立與發展一種解題思想、應用思想、探索思想的能力。”可是我們的對象卻是以形象思維為主的一個群體，怎樣處理這個矛盾？筆者在六年級的數學思維活動課上進行了以上的教學嘗試，在整堂課中始終貫穿用“雙重變量”的思想建立等式組來描述題目的數量關系式，從而幫助學生很好的抓住了雞兔同籠問題的特點。

（二）深耕表格，提煉本質

新課程改革以來，我們改變了以往單一的教材模式，出現了多種不同版本的教材，而且每種版本的教材在保證新課程的思想精髓的前提下，體現各自對數學內容的理解，以求更好地適應我們的學生，順利完成既定的新課程目標。我們教師備課時對同一教學內容可以參考各種版本的教材，分析各教材編排的特點從而找到它們的優點，汲取精華為我所用。比如：筆者今天講的雞兔同籠問題。

對比了人教版、北師大版、蘇教版、青島版的教材，四個版本一個最大的相同點是都介紹了列表法。列表法的本質其實就是通過不斷改變“雙重變量”，獲得各種相應結果，從而找到符合問題的答案。列表法的具體方法如下：

1.雞兔同籠，共有8個頭，26條腿。籠子里各有幾只雞，幾只兔？

逐

師：觀察表格你有什么發現？

生1：腳有變化，增加1只雞，腳卻少了2只。

生2：我發現增加1只雞減少1只兔，腳的總數減少了2只。

生3：嗯，兔增加1只雞減少1只，腳的總數反而增加了2只。

師：如果要增加8只腳，應該把幾只雞變成幾只兔？如果要減少8只呢？怎么辦

……

2.出現《孫子算經》中的雞兔同籠問題。

今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

……

（1）交流填的方法。（2）你能不用表格知道答案嗎？

…………

通過研究，筆者的目的之一就是想讓學生通過列表，經歷嘗試調整的過程，發現“雙重變量”中增減一個變量所引起的變化規律：當多一只兔，少一只雞，總腿數就會多兩只，反之當多一只雞，少一只兔，總腿數就會少兩只。在展示交流的時候，學生就自己說了“我發現100比94多了6，而每次多一只雞少一只兔就少2只腳，我就直接加了3雞。”通過學生的說，我們有理由相信學生已將發現的“雙重變量”中增減一個變量所引起的變化規律自覺的應用到活動中，經過他的表述馬上有人說我兩次就出來了。“當兔有1，雞有34，腳72比94少22，1雞變1兔腳多2，22里有11個2，就直接上兔12，就OK了。”瞧！我要的假設法這不就來了！“如果籠子里全是雞”的假設不恰好與表格的第一列聯系上了嗎？再如“假設全都是兔，”那不正好就是表格最后一列的情況嗎？我們不難發現四版教材列表法的本質就是對具體的“雙重變量”的研究。

（三）替換再現，撥云見日

【片段1】每次學生學習過雞兔同籠的問題，大多數學生都會采用假設法解題，下表是我在教學了《雞兔同籠》這一課后做的一個抽樣統計：

雞兔同籠，共有8個頭，26條腿，雞有幾只？兔有幾只？ 列表 畫圖 假設法 方程法 不會

4% 8.3% 85% 1.2% 1.5%

從表格的數據可以看出假設法還是挺受歡迎的，但是每次對那些采用假設法的學生提問：為什么明明假設的是雞，怎么求出來的卻是兔呢？（很多學生一時難以回答，沉默；或者念念碎碎不知所云），教學中，如何突破？假設法解法，主要是兩種方法：（1）用差來理解，看看總共多出了多少腳，然后看這個里面有幾個2，得出一種動物的只數。（2）用替換的方法，前面的假設中數量有偏差，如果太少了，就用兔子來替換雞，如果多了，就用雞來替換兔子。兩種不同的教學，用差來講解，是在同一平面上的，需要學生更多的分析數量關系的能力，而用替換的思想，是出于不同的平面上的，學生理解起來更直觀形象。同時用替換的思想的話，對于第一步除出來是什么動 物，學生更好理解一些。筆者通過“給雞添腳”實現“用兔替雞”；“給兔減腿”實現“用雞替兔”，并且在課件上清晰重現這一替換過程，順暢的突破了教學難點。設計如下：

（1） （2）

（3） （4）

生1：因為假設的全是雞，一只兔看成了雞，少算了2只腿，所以少掉的腿都是“兔腿”。

生2：所以，把少算的6條腿換回去，就成了兔子。所以，假設的是雞，求出來的是兔。

生3：反過來，假設的全是兔，求出來的是雞。

（1）

（2）

（3）

生4：嘿，我知道了，“假雞出兔”、“假兔出雞”。

師：多么精辟的發言。

……

我的思考：通過前測我們發現列表法對于孩子來說難度低一點，學生會假設法的不多，而且其中假設成雞的同學多一點。同時訪談中我們也發現學生會用假設法，但是不知道為什么假設的是雞求出來的卻是兔，假設的是兔求出來的卻是雞。對于教學難點：除以2，這里的2表示什么意思？是雞的腳的只數還是兔與雞的腳數的差？是假設法學生理解起來最難的地方。筆者通過重現替換的過程，讓學生經歷整個替換過程，從而體會到替換的實質，順利突破難點，更好的理解假設法。

這也正好應驗了數學家華羅庚的一段精辟論述：“數缺形時少直觀；形缺數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休”。

【片段2】我發現大家在用假設法時，為什么要假設全部都是雞，全部都是兔？這樣假設有什么好處？

生1：這個……

生2：如果不假設全部的話，跟我們前面列表格一樣了。

師：一樣在哪里？

生2：都要考慮兩個量，要調整到符合兩個量。

生3：假設法是變成了只有一個了。兩個問題只有一個問題了。

師：那么如果不“全假設成雞”或“全假設成兔”，而是“任意假設雞兔”，例如我們假設有10只雞，25只兔，怎么辦？

生4：可以呀！此時腳數為10×2+25×4=120（只），比實際94只腳多120-94=26（只），這說明雞假設少了，而兔假設多了。

師：雞少了多少只？

生5：（120-94）÷（4-2）=13（只）

所以，雞有10+13=23（只），而兔有35-23=12（只）

………

我的思考：假設的思想是數學思維的重要模式。基于“雞兔同籠”問題模型的建立和以上的思考，假設法可以看作是解決“雞兔同籠”問題的基本方法。假設法的本質就是消元，正因為兩個事物能夠轉化成一個，所以才“全假設成雞”或“全假設成兔”。這也讓學生形成了一個固有的想法：解雞兔同籠問題就用假設法，用假設法就只有全假設雞或兔，這不利于學生構建完整的知識體系。為此，我進行了上面這個環節的設計，一方面可以讓學生抓住雞兔同籠問題的核心怎樣進行雞兔之間的替換，另一方面也讓學生對假設法有一個更全面的了解，一舉兩得。

（四）溝通方法，打通壁壘

到了六年級，只要接觸過雞兔同籠問題的學生，當你問他們雞兔同籠可以有哪些解決方法的時候？他們都會給你列出很多種方法，在他們的腦海里每種方法都是孤立的，為了能讓學生去發現這些方法的聯系我設計了下面這一環節：

板書設計：

師：我們前面主要探究了雞兔同籠問題的各種解決方法。其實這些方法是有聯系的。

我們可以用前面列的等式組來解釋。

（雞數）+（兔數）=8 ①

（雞數）×2+（兔數）×4=26 ②

列表法：就是先把雞兔數量合起來是8的全部找出來符合等式組①，然后再利用等式②求出腳的數量，最后找到腳數是26的那一組就是我們要的答案。

假設法：

如果都是雞，那么（雞數）×2+（兔數）×2=8×2 ③

然后②-③得到：（兔數）×4-（兔數）×2=26-16

（兔數）×2=10

（兔數）= 5

（雞數）=8-5=3

如果都是兔，那么（雞數）×4+（兔數）×4=8×4 ③

然后②-③得到：（雞數）×4-（雞數）×2=32-26

（雞數）×2=6

（雞數）=3

（兔數）=8-3=5

古人的方法：

就是②÷2得到：（雞數）×2÷2+（兔數）×4÷2=26÷2

（雞數）+（兔數）×2=13 ③

③- ①：（兔數）×2-（兔數）=13-8

（兔數）=5

（雞數）=8-5=3

師：其實他們的想法是一樣的都是把兩個問題轉化為一個問題來解。

我的思考：解決“雞兔同籠”問題的常用方法有直觀圖示法、列表推算法、假設置換法、金雞獨立法、簡易方程法等，由于學生的認知水平和風格的不同，可能會出現上述不同的解決方法，但并非要求學生盡可能多地想出不同的解題方法進行展示，可也不想讓學生誤認為解雞兔同籠問題有這么多相對獨立的解題方法。為此，筆者運用“雙重變量”的解題思想整合了這幾種方法，使得學生明確這些方法背后的聯系，促進學生在原有基礎上向更高水平發展。同時，也為學生后續學習二元一次方程組埋下伏筆。

三、實施成效

通過這樣的課堂設計，筆者發現學生對雞兔同籠問題有了更深刻的認識，學生能自然而然的養成從不同的情景中找出同一結構關系的數量模型的思維習慣和數學觀念。能更好的從浩瀚的數學題海中認識此類問題，做到學而精。能清楚的理解各種方法之間的聯系，不再認為每種方法是孤立的。能很好的領會雞兔同籠問題的本質即是“雙重變量”的數學思想。以下是在期末自測中出現的雞兔同籠問題我們班的答題情況統計：

分析上表不難發現學生的解題方法發生了變化，他們在理解各種方法的聯系之后，有了自己的選擇，針對不同的問題會合理選擇方法，不同的學生在雞兔同籠的解法上有了自己的成長，能給出合理的解釋。

雞兔同籠為我們廣大師生創設了一個很好的舞臺，不同的人有不同的解題方法，運用“雙重變量”的解題思想能更好的把雞兔同籠的解題方法進行整合，并能為將來的學習做好鋪墊。同時“雙重變量”的解題思想又不僅僅局限于解決雞兔同籠問題，靈活運用“雙重變量”的解題思想能夠幫助學生提升解決問題的能力，從而激發學生的數學學習興趣。

參考文獻：

[1]顧亞龍：《別有滋味兒的“夾生飯” 》 [J]，小學數學教師，2011年第10期；

[2]中華人民共和國教育部：《義務教育數學新課程標準（解讀）》 [M]，北京師范大學出版社，2012年版；

[3]盧江 楊剛主編：《義務教育課程標準實驗教科書·數學》[M]，人民教育出版社，2012年5月。